1/xを積分した答えが、logex+C
になる理由がわからないので教えてください。

自然対数eの意味がまったくわからないものとして回答お願いいたします。また、e=2.7ぐらいになるようですが、どのように計算していくと2.7・・・という数字が得られるのか、なんのために自然対数というものが作られたのか教えてください。
お願いいたします。

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A 回答 (7件)

まいどっ



>>>
また疑問に思うところがでてきました。
= lim[h→0] [ln(1 + h/x)]/h
ここで、x/h = n と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)]/(x/n)
・・・・・
という部分で、
どのように計算したら
[ln(1 + h/x)]が、[ln(1 + 1/n)]になるのでしょうか?


すぐ上の行に「x/h = n と置けば」と書いてあるのを見逃さないでください。
両辺の逆数を取れば、h/x = 1/n です。



>>>また、eの定義ですが、 lim[n→∞](1 + 1/n)^n というふうになるのはなぜでしょうか。


普通、定義に関して、「なぜ」はありませんよ。
「1つの角が直角である三角形を直角三角形と定義する」
としたとき、
「なぜ1つの角が直角な三角形を直角三角形というふうになるのはなぜでしょうか。」
と言うのと同じことです。

もしかして、
なぜeという数を定義するのか? eというものの存在意義とは何なのか?
ということですか?
そういうことであれば、最初の回答(No.3)をもう一度読んでください。



>>>真理を追求してしまう性格なので本当にすいません。

それは非常に良いことです。全然悪くありません。
ただし、
すでに投稿された回答を熟読せず、見落としによって「新たな疑問」のように追加質問するのは、いかがなものかと思います。
正直申しますと、このたびの追加質問で、ちょっと、がっくりきました。



>>>小学生のころもよく、時間や空間は、インフレーションという現象によって無の世界から誕生したのに、なぜ0という数字は、無の数字なんだ。本当の0という数は、存在しないものなのではないか。などという質問ばかりをしていて、よく怒られていました。

科学、特に、この世の根源を追求することに興味を持たれているんですね。
そういう意味では、私と似たタイプでいらっしゃるかもしれません。
(ちなみに、インフレーションって、無から有ができた後の段階じゃなかったでしたっけ?)



本件の私の回答は、今回もって最後とさせてください。
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補足にお答えします。



>>>lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
>>>のところなのですが、どのようにしたら^nになるのでしょうか。

底がなんであっても、
log(A^n)= nlogA
です。
なんでそうなるかは教科書に書いてあるのですが、
簡単に言えば、

x = ln(A^n)
という式は、「A^n というのは、eの何乗ですか?」という式です。
ですから、両辺の指数を取れば、
e^x = A^n
となりますよね。

そして、e^(ab) = (e^a)^b という基本的な法則がありますよね。
(2^3)^2 = (2^2)^3 = 2^6
8^2 = 4^3 = 2×2×2×2×2×2

nlogA の指数を取れば、上記の法則により、
y = e^(nln(A)) = {e^(ln(A))}^n = A^n
となります。

このように、x=y=A^n となりましたから、つじつまは合っています。


>>>また、x/h=nのx/hというのは、どこからでてきたのでしょうか?

私の発明です。
・・・というか、普通のテクニックです。
三角形の内角の和が180度であることを証明するために、
頂点を通り、底辺と平行な直線(補助線)を引きますよね。
それと同じことです。


>>>1/x以外にも1/x^2を積分した場合どうなるのでしょうか。
>>>簡単な計算方法を教えてください。

1/x 以外なら、簡単です。
まず、微分の基本を復習しましょう。
(x^n)’= nx^(n-1) なのですから、
(x^4)’ = 4x^3
(x^3)’ = 3x^2
(x^2)’ = 2x^1
ですよね?

そして、1/x^a = x^(-a) なので、
上記と同様に、
(1/x)’ = (x^(-1))’= -x^(-2) = -1/x^2
(1/x^2)’ = (x^(-2))’= -2x^(-3) = -2/x^3
(1/x^3)’ = (x^(-3))’= -3x^(-4) = -3/x^4
(1/x^4)’ = (x^(-4))’= -4x^(-5) = -4/x^5
・・・・・

です。

では、1/x^2 の積分はどう考えればよいかというと、
上の中から、右辺が、「なんちゃら/x^2」の形になっているものを探します。
すると、
(1/x)’ = (x^(-1))’= -x^(-2) = -1/x^2
が該当します。

つまり、
-1/x^2 = (1/x)’ 
です。
両辺をxで積分すれば、
∫(-1/x^2)dx = 1/x + 定数
両辺に -1 をかけて
∫(1/x^2)dx = -1/x + 定数その2
できあがりです。

一度覚えてしまえば、上に書いたことをいちいち書かなくても簡単にできるようになりますから、
ぜひマスターしてください。
繰り返しになりますが、原理は、
x^n = nx^(n-1)
です。


では。

この回答への補足

^nになる理由は、理解することができました。
ですが、また疑問に思うところがでてきました。

= lim[h→0] [ln(1 + h/x)]/h
ここで、x/h = n と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)]/(x/n)
 = lim[n→∞] n[ln(1 + 1/n)]/x
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
ここで、eの定義 e = lim[n→∞](1 + 1/n)^n を思い出せば、
 = [lne]/x
 = 底がeのloge /x
 = 1/x
という部分で、どのように計算したら
[ln(1 + h/x)]が、[ln(1 + 1/n)]になるのでしょうか?

また、eの定義ですが、 lim[n→∞](1 + 1/n)^n というふうになるのはなぜでしょうか。

本当に質問ばかりすいません。
ネイピア数、三角関数、
数列、ベクトルはほとんど学んでおらず、私にとってはまだ未知の分野なので。

あと、またわからないことがあれば分かるまで質問してもよろしいでしょうか?
真理を追求してしまう性格なので本当にすいません。
小学生のころもよく、時間や空間は、インフレーションという現象によって無の世界から誕生したのに、なぜ0という数字は、無の数字なんだ。本当の0という数は、存在しないものなのではないか。
などという質問ばかりをしていて、よく怒られていました。


とりあえず回答お待ちしております。

補足日時:2009/05/17 15:22
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>1/xを積分した答えが、logex+C


>になる理由がわからないので教えてください。

模範解答は既に出ているので、少々人を食った回答を。

  y=∫dx/x 

両辺を微分して

 (dy/dx)=1/x

dx/dy=1/(dy/dx)だから

   dx/dy=x

これはyの逆関数x(y)をyで微分するとx自身になるということ。
つまりxは指数関数。  x=k・e^y (kは積分定数)
   ∴y=loge(x/k)
     =loge(x)-loge(k)
C=-loge(k)とおけば
    y=loge(x)+C
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再びお邪魔します。



eの応用例として、科学技術関連ではないものを1つ思い出しましたので、挙げておきます。

金融機関で実際に使われているかはわかりませんが、
ネイピア数を使うことにより、金利計算を簡単にできます。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf
実際の金利計算は1円単位という整数単位なので、ほんの少し違いが出ますけれども、
かなり、正確に近い計算ができます。

ですから、自分の預貯金、借金の金利計算を、Excelなどの表計算ソフトで手軽に計算することもできます。
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こんばんは。



>>>自然対数eの意味がまったくわからないものとして

その書き方は、ちょっと変ですね。
eは、「自然対数」ではなく「自然対数の底」あるいは「ネイピア数」と言います。


>>>1/xを積分した答えが、logex+C になる理由がわからないので教えてください。

loge を ln と書くことにします。

(lnx)’ = lim[h→0] [(ln(x+h)-lnx)]/h
 = lim[h→0] [ln{(x+h)/x)}]/h
 = lim[h→0] [ln(1 + h/x)]/h
ここで、x/h = n と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)]/(x/n)
 = lim[n→∞] n[ln(1 + 1/n)]/x
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
ここで、eの定義 e = lim[n→∞](1 + 1/n)^n を思い出せば、
 = [lne]/x
 = 底がeのloge /x
 = 1/x
となります。

これで、(lnx)’を微分すれば、1/x になることがわかりました。

微分の逆は積分ですから、
1/x を積分すれば、 lnx + C になるのです。


>>>e=2.7ぐらいになるようですが、どのように計算していくと2.7・・・という数字が得られるのか、

色々とやりかたはあるのでしょうが、高校で習うテイラー展開でもできます。
f(x)=e^x をx=1の周りにテイラー展開しますと、

f(1+a) = e^(1+a)
 = (1+a)^0/0! + (1+a)^1/1! + (1+a)^2/2! + (1+a)^3/3! + (1+a)^4/4! + (1+a)^5/5! ・・・

ということは、

f(1) = e^1
 = 1^0/0! + 1^1/1! + 1^2/2! + 1^3/3! + 1^4/4! + 1^5/5! ・・・
 = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! ・・・
( = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 ・・・)

ところが、e^1=e なので、
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! ・・・
( = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 ・・・)

となります。

ちなみに、
1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
までを計算してみますと、
2.71666667
です。
ここまででも、結構いい線いってますね。
後ろの項をどんどん足していけば、もっと2.718281828・・・に近づきます。


>>>なんのために自然対数というものが作られたのか教えてください。

1.
最も重要なのは、指数関数
f(x) = a^x
があるとき、f(x)を何度微分しても、微分する前と同じa^x になるのは、e^x だけである、という点です。
(e^x)’= e^x

2.
科学技術、物理学、化学、宇宙科学では、ネイピア数eがやたらと登場します。
実用面でも、多大な貢献をしています。
そしてまた、身の回りに、eと無関係なものは、一つとして存在しません。
つまり、eという数は、数学の枠を越える、非常に重要なものなのです。

3.
虚数単位i=√(-1) や、円周率π と組み合わせると、
このような、不思議な式が成り立ちます。
e^(ix) = cosx + isinx
これは、「オイラーの公式」と呼ばれます。
一見、奇妙な式に見えますけれども、2と同様、学問の面でも実用面でも大活躍します。
私自身、エレクトロニクス関係の製品開発の計算で使ったことがあります。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

 lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
のところなのですが、どのようにしたら^nになるのでしょうか。
また、x/h=nのx/hというのは、どこからでてきたのでしょうか?

1/x以外にも1/x^2を積分した場合どうなるのでしょうか。
簡単な計算方法を教えてください。

本当に基礎的な質問すいません。

補足日時:2009/05/16 22:55
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e=1+1/2! +1/3! +… =Σ[n=0,∞]1/n !



f(x)=logc_xのx=aにおける微分係数について、
lim[b→a] {f(b)-f(a)}/b-a
b-a=h とおくと b→a のときh→0 b=a+h
lim[h→0] {logc_(a+h)-logc_a}/h
=lim[h→0]1/h×logc_{(a+h)/a}=lim[h→0]1/a×a/h×logc_{1+(h/a)}=lim[h→0]1/a×logc_{1+(h/a)}^(a/h) (h分のa乗)
t=a/h とおくと
lim[h→0](1+ h/a)^(a/h) =lim[t→∞]{1+(1/t)}^t =e

よって(logc_a)’=1/a×logc_e
(log e_x)’=1/x×log e_e=1/x

F’(x)=f(x) のとき ∫f(x)dx=F(x)+C
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いろいろな見方はあるけど, 「え? log x ってそう定義したでしょ?」って返し方はありますね.

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Aベストアンサー

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多項式には、掛け算も考えられます。
そして、割り算も考えることで、有理関数が生まれます。
(または、無限和を考えても、有理関数が生まると言っていいかもしれません)

次に微分を考えます。
有理関数(多項式を含む)を微分しても、新しい関数は生まれません。
そこで、積分を考えます。
積分とは、面積を元にして考えられたリーマン積分とします。
すると、1/xを積分することでlogxという新しい関数が生まれます。
もちろん、理屈は分かります。

x^n(nは整数)を微分すると、
x^(-2),x^(-1),x^0=1,x^1,x^2
はそれぞれ、
-2x^(-3),-x^(-2),0,1,2x
となり、x^(-1)が抜けます。そこで、逆にx^(-1)を積分すると、logxが生まれます。不思議で仕方ありません。

どういった哲学があるのでしょか?
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複素関数論の留数定理と関係があるのは分かります。
他に意味合いはあるのでしょうか?

まず、xという未知数があり、それに加減、実数倍をすることで、多項式が生まれます。
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そして、割り算も考えることで、有理関数が生まれます。
(または、無限和を考えても、有理関数が生まると言っていいかもしれません)

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まず多項式を考えることにしましょう。
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により定義します。この線形写像は単射でも全射でもありません。
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この制限した空間上でのfの逆写像を「積分」と考える事にします。

fの{x,x^2,...,x^N}, {1,x,...,x^{N-1}}に関する表現行列を考えてみます。これは1,2,...,Nを対角成分にもつN次正方行列です。
fの逆写像はこの無限次元行列の逆行列で表現されます。
この逆行列は1,1/2,...,1/Nを対角成分にもつ逆行列です。

多項式 1+x+x^2+...+x^{N-1} はfの像に入ってます。
これのfによる逆像は x+(1/2)x^2+(1/N)x^N です。

ここでベクトル空間の次元Nを形式的に無限大で置き換えてみると
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(空間は逆写像が考えられるよう適当に制限して考えています)
x+(1/2)x^2+...+(1/N)x^{N}+...
が得られます。これは -log(1-x) のマクローリン展開の式です。

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哲学的意味と言われる位なら何か言いようの無い不思議さを感じているのだと思われますので、多分どんな説明があっても「ああそうか!」と心から納得できるものは無いだろうとお察しします。逆に言えばその不思議さは抱えたままにしておくのが面白いのではないかと。不思議なことについて自分で思索を深めることで新しい数学・新しい哲学を生み出すことができるかもしれません。

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

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まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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