1/xを積分した答えが、logex+C
になる理由がわからないので教えてください。

自然対数eの意味がまったくわからないものとして回答お願いいたします。また、e=2.7ぐらいになるようですが、どのように計算していくと2.7・・・という数字が得られるのか、なんのために自然対数というものが作られたのか教えてください。
お願いいたします。

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A 回答 (7件)

まいどっ



>>>
また疑問に思うところがでてきました。
= lim[h→0] [ln(1 + h/x)]/h
ここで、x/h = n と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)]/(x/n)
・・・・・
という部分で、
どのように計算したら
[ln(1 + h/x)]が、[ln(1 + 1/n)]になるのでしょうか?


すぐ上の行に「x/h = n と置けば」と書いてあるのを見逃さないでください。
両辺の逆数を取れば、h/x = 1/n です。



>>>また、eの定義ですが、 lim[n→∞](1 + 1/n)^n というふうになるのはなぜでしょうか。


普通、定義に関して、「なぜ」はありませんよ。
「1つの角が直角である三角形を直角三角形と定義する」
としたとき、
「なぜ1つの角が直角な三角形を直角三角形というふうになるのはなぜでしょうか。」
と言うのと同じことです。

もしかして、
なぜeという数を定義するのか? eというものの存在意義とは何なのか?
ということですか?
そういうことであれば、最初の回答(No.3)をもう一度読んでください。



>>>真理を追求してしまう性格なので本当にすいません。

それは非常に良いことです。全然悪くありません。
ただし、
すでに投稿された回答を熟読せず、見落としによって「新たな疑問」のように追加質問するのは、いかがなものかと思います。
正直申しますと、このたびの追加質問で、ちょっと、がっくりきました。



>>>小学生のころもよく、時間や空間は、インフレーションという現象によって無の世界から誕生したのに、なぜ0という数字は、無の数字なんだ。本当の0という数は、存在しないものなのではないか。などという質問ばかりをしていて、よく怒られていました。

科学、特に、この世の根源を追求することに興味を持たれているんですね。
そういう意味では、私と似たタイプでいらっしゃるかもしれません。
(ちなみに、インフレーションって、無から有ができた後の段階じゃなかったでしたっけ?)



本件の私の回答は、今回もって最後とさせてください。
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補足にお答えします。



>>>lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
>>>のところなのですが、どのようにしたら^nになるのでしょうか。

底がなんであっても、
log(A^n)= nlogA
です。
なんでそうなるかは教科書に書いてあるのですが、
簡単に言えば、

x = ln(A^n)
という式は、「A^n というのは、eの何乗ですか?」という式です。
ですから、両辺の指数を取れば、
e^x = A^n
となりますよね。

そして、e^(ab) = (e^a)^b という基本的な法則がありますよね。
(2^3)^2 = (2^2)^3 = 2^6
8^2 = 4^3 = 2×2×2×2×2×2

nlogA の指数を取れば、上記の法則により、
y = e^(nln(A)) = {e^(ln(A))}^n = A^n
となります。

このように、x=y=A^n となりましたから、つじつまは合っています。


>>>また、x/h=nのx/hというのは、どこからでてきたのでしょうか?

私の発明です。
・・・というか、普通のテクニックです。
三角形の内角の和が180度であることを証明するために、
頂点を通り、底辺と平行な直線(補助線)を引きますよね。
それと同じことです。


>>>1/x以外にも1/x^2を積分した場合どうなるのでしょうか。
>>>簡単な計算方法を教えてください。

1/x 以外なら、簡単です。
まず、微分の基本を復習しましょう。
(x^n)’= nx^(n-1) なのですから、
(x^4)’ = 4x^3
(x^3)’ = 3x^2
(x^2)’ = 2x^1
ですよね?

そして、1/x^a = x^(-a) なので、
上記と同様に、
(1/x)’ = (x^(-1))’= -x^(-2) = -1/x^2
(1/x^2)’ = (x^(-2))’= -2x^(-3) = -2/x^3
(1/x^3)’ = (x^(-3))’= -3x^(-4) = -3/x^4
(1/x^4)’ = (x^(-4))’= -4x^(-5) = -4/x^5
・・・・・

です。

では、1/x^2 の積分はどう考えればよいかというと、
上の中から、右辺が、「なんちゃら/x^2」の形になっているものを探します。
すると、
(1/x)’ = (x^(-1))’= -x^(-2) = -1/x^2
が該当します。

つまり、
-1/x^2 = (1/x)’ 
です。
両辺をxで積分すれば、
∫(-1/x^2)dx = 1/x + 定数
両辺に -1 をかけて
∫(1/x^2)dx = -1/x + 定数その2
できあがりです。

一度覚えてしまえば、上に書いたことをいちいち書かなくても簡単にできるようになりますから、
ぜひマスターしてください。
繰り返しになりますが、原理は、
x^n = nx^(n-1)
です。


では。

この回答への補足

^nになる理由は、理解することができました。
ですが、また疑問に思うところがでてきました。

= lim[h→0] [ln(1 + h/x)]/h
ここで、x/h = n と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)]/(x/n)
 = lim[n→∞] n[ln(1 + 1/n)]/x
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
ここで、eの定義 e = lim[n→∞](1 + 1/n)^n を思い出せば、
 = [lne]/x
 = 底がeのloge /x
 = 1/x
という部分で、どのように計算したら
[ln(1 + h/x)]が、[ln(1 + 1/n)]になるのでしょうか?

また、eの定義ですが、 lim[n→∞](1 + 1/n)^n というふうになるのはなぜでしょうか。

本当に質問ばかりすいません。
ネイピア数、三角関数、
数列、ベクトルはほとんど学んでおらず、私にとってはまだ未知の分野なので。

あと、またわからないことがあれば分かるまで質問してもよろしいでしょうか?
真理を追求してしまう性格なので本当にすいません。
小学生のころもよく、時間や空間は、インフレーションという現象によって無の世界から誕生したのに、なぜ0という数字は、無の数字なんだ。本当の0という数は、存在しないものなのではないか。
などという質問ばかりをしていて、よく怒られていました。


とりあえず回答お待ちしております。

補足日時:2009/05/17 15:22
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>1/xを積分した答えが、logex+C


>になる理由がわからないので教えてください。

模範解答は既に出ているので、少々人を食った回答を。

  y=∫dx/x 

両辺を微分して

 (dy/dx)=1/x

dx/dy=1/(dy/dx)だから

   dx/dy=x

これはyの逆関数x(y)をyで微分するとx自身になるということ。
つまりxは指数関数。  x=k・e^y (kは積分定数)
   ∴y=loge(x/k)
     =loge(x)-loge(k)
C=-loge(k)とおけば
    y=loge(x)+C
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再びお邪魔します。



eの応用例として、科学技術関連ではないものを1つ思い出しましたので、挙げておきます。

金融機関で実際に使われているかはわかりませんが、
ネイピア数を使うことにより、金利計算を簡単にできます。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf
実際の金利計算は1円単位という整数単位なので、ほんの少し違いが出ますけれども、
かなり、正確に近い計算ができます。

ですから、自分の預貯金、借金の金利計算を、Excelなどの表計算ソフトで手軽に計算することもできます。
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こんばんは。



>>>自然対数eの意味がまったくわからないものとして

その書き方は、ちょっと変ですね。
eは、「自然対数」ではなく「自然対数の底」あるいは「ネイピア数」と言います。


>>>1/xを積分した答えが、logex+C になる理由がわからないので教えてください。

loge を ln と書くことにします。

(lnx)’ = lim[h→0] [(ln(x+h)-lnx)]/h
 = lim[h→0] [ln{(x+h)/x)}]/h
 = lim[h→0] [ln(1 + h/x)]/h
ここで、x/h = n と置けば、[h→0]は、[n→∞]と同じことなので、
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)]/(x/n)
 = lim[n→∞] n[ln(1 + 1/n)]/x
 = lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
ここで、eの定義 e = lim[n→∞](1 + 1/n)^n を思い出せば、
 = [lne]/x
 = 底がeのloge /x
 = 1/x
となります。

これで、(lnx)’を微分すれば、1/x になることがわかりました。

微分の逆は積分ですから、
1/x を積分すれば、 lnx + C になるのです。


>>>e=2.7ぐらいになるようですが、どのように計算していくと2.7・・・という数字が得られるのか、

色々とやりかたはあるのでしょうが、高校で習うテイラー展開でもできます。
f(x)=e^x をx=1の周りにテイラー展開しますと、

f(1+a) = e^(1+a)
 = (1+a)^0/0! + (1+a)^1/1! + (1+a)^2/2! + (1+a)^3/3! + (1+a)^4/4! + (1+a)^5/5! ・・・

ということは、

f(1) = e^1
 = 1^0/0! + 1^1/1! + 1^2/2! + 1^3/3! + 1^4/4! + 1^5/5! ・・・
 = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! ・・・
( = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 ・・・)

ところが、e^1=e なので、
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! ・・・
( = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 ・・・)

となります。

ちなみに、
1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
までを計算してみますと、
2.71666667
です。
ここまででも、結構いい線いってますね。
後ろの項をどんどん足していけば、もっと2.718281828・・・に近づきます。


>>>なんのために自然対数というものが作られたのか教えてください。

1.
最も重要なのは、指数関数
f(x) = a^x
があるとき、f(x)を何度微分しても、微分する前と同じa^x になるのは、e^x だけである、という点です。
(e^x)’= e^x

2.
科学技術、物理学、化学、宇宙科学では、ネイピア数eがやたらと登場します。
実用面でも、多大な貢献をしています。
そしてまた、身の回りに、eと無関係なものは、一つとして存在しません。
つまり、eという数は、数学の枠を越える、非常に重要なものなのです。

3.
虚数単位i=√(-1) や、円周率π と組み合わせると、
このような、不思議な式が成り立ちます。
e^(ix) = cosx + isinx
これは、「オイラーの公式」と呼ばれます。
一見、奇妙な式に見えますけれども、2と同様、学問の面でも実用面でも大活躍します。
私自身、エレクトロニクス関係の製品開発の計算で使ったことがあります。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

 lim[n→∞] [ln(1 + 1/n)^n]/x
のところなのですが、どのようにしたら^nになるのでしょうか。
また、x/h=nのx/hというのは、どこからでてきたのでしょうか?

1/x以外にも1/x^2を積分した場合どうなるのでしょうか。
簡単な計算方法を教えてください。

本当に基礎的な質問すいません。

補足日時:2009/05/16 22:55
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e=1+1/2! +1/3! +… =Σ[n=0,∞]1/n !



f(x)=logc_xのx=aにおける微分係数について、
lim[b→a] {f(b)-f(a)}/b-a
b-a=h とおくと b→a のときh→0 b=a+h
lim[h→0] {logc_(a+h)-logc_a}/h
=lim[h→0]1/h×logc_{(a+h)/a}=lim[h→0]1/a×a/h×logc_{1+(h/a)}=lim[h→0]1/a×logc_{1+(h/a)}^(a/h) (h分のa乗)
t=a/h とおくと
lim[h→0](1+ h/a)^(a/h) =lim[t→∞]{1+(1/t)}^t =e

よって(logc_a)’=1/a×logc_e
(log e_x)’=1/x×log e_e=1/x

F’(x)=f(x) のとき ∫f(x)dx=F(x)+C
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いろいろな見方はあるけど, 「え? log x ってそう定義したでしょ?」って返し方はありますね.

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ズバリ言って、微分積分したときの性質の良さというのに尽きます。
xの自然対数をln(x)と書くとき、
  (e^x)' = e^x
  (ln(x))' = 1/x
と、無駄な係数がつかないので、微分するにはとても便利です。

これが10^xやlog(x)だと
  (10^x)' = ln(10)*10^x = 2.30258509…*10^x
  (log(x))' = 1/(ln(10)*x) = 0.434294482…/x
と、一回微分しただけでなんだかよくわからない係数がついてゴチャゴチャします。
解析学では1階微分だけでなく2階微分、3階微分、n階微分とたくさん微分することもあるのでそのたびに無駄な係数がつくよりは、何階微分しても係数が1ですっきりしている自然対数をつかう方が便利なのです。
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  (10^x)' = ln(10)*10^x = 2.30258509…*10^x
  (log(x))' = 1/(ln(10)*x) = 0.434294482…/x
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ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の...続きを読む

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こんにちは。色々と用途はありますよ。

まず、eは「自然対数」ではありません。
「ネイピア数」あるいは「自然対数の底」と呼ばれる定数です。
まー、あなただけでなく、間違える人は結構多いですけれども。

私は学生のときに放射性同位体の半減期の件を習いましたが、
半減期Tを用いるならば、
t秒後の個数 = 初期の個数 × (1/2)^(t/T)
というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

No.1さんが挙げられているのは、オイラーの公式と呼ばれるものです。
実用でも非常に有用な式ですが、この世の真理(量子力学)を記述する際には欠かせません。
「実数eの純虚数乗」なので、私は初めて見たとき「なんのこっちゃ」と思いましたが、
sinx、cosx のテイラー展開と e^x のテイラー展開とを見比べると正しいことがわかります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

あるいは、オイラーの公式には「計算を楽にする」という「ずるい応用」もあります。
「cos(aθ)をθでn回微分した式を書け」
という問題があるとしましょう。
ストレートにやろうとすると、
0回 cos(aθ)
1回 -a・sin(aθ)
2回 -a^2・cos(aθ)
3回 a^3・sin(aθ)
4回 a^4・cos(aθ)
・・・・・
というふうにややこしくなり、やる気がしないですが、
cosθ = 「cosθ + isinθ の実数部分」 = 「e^(iθ) の実数部分」
としてしまえば、
cosθのn回微分 = 「i^n・e^(iθ) の実数部分」
と一発で式が書けます。
私は、仕事で光学を扱ったころ、この「ずるい」計算方法に助けられました。

虚数単位iは電気工学ではjと書きます。
(電気では電流をiと書く習慣があるので、同じにならないように隣の文字を使っているだけです。)
高校物理や工業高校の電気科の交流回路の計算で「jωc」「jωL」というのが出てきますが、
それは、e^(iωt) に関係します。
つまり、高校生は、オイラーの公式や微分方程式を、知らず知らずのうちに利用しています。

科学や工学への応用だけではありません。
eは、金利の計算でも用いられます。第3章をご覧ください。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf

あと、役に立つ例としては、電気回路の動作速度にかかわる配線遅延の計算です。
これも、私は仕事でよく使いました。
たとえば、こんな単純な回路です。

Eボルト(一定)-------スイッチ------抵抗R---(V)-----|容量C|-------0ボルト

初期(スイッチを入れる前)のRの左右の電位がともに0ボルトだとしましょう。
そして、スイッチをONにしてからVがどのように変化するかを考えます。
すなわち、Eボルトという電圧がVの部分にどのように充電されていくか(伝わるか)です。

抵抗Rの両端のオームの法則は、
E - V = Ri
コンデンサにたまっている電荷Qは
Q=CV
ところが、回路は一本道なのでiはQの時間変化dQ/dtと等しいです。
よって、両辺を微分すれば、
i = dQ/dt = CdV/dt

以上のことから
E - V = RCdV/dt
簡単な微分方程式なのですが、字数制限に引っかかりそうなので、はしょります。
1-V/E = 1/e^(t/RC) = Vの部分の満充電に対する割合
という答えが出ます。
というわけで、時間がRC秒(抵抗と容量の積)だけ経過すると、
満充電に対する割合は、e分の1、
2RC秒後は、e^2分の1
3RC秒後は、e^3分の1
・・・
無限秒後は、e^∞分の1 ⇒ 1 (100%)
となります。
ですので、仕事仲間と回路の話をするとき、よく
「1RC分で2.7分の1」とか、よく言ってました。
抵抗と容量の積である「RC」は「時定数」と呼ばれます。
オームという単位にファラッドという単位を掛け算すると秒という単位になるということでもあります。

こんにちは。色々と用途はありますよ。

まず、eは「自然対数」ではありません。
「ネイピア数」あるいは「自然対数の底」と呼ばれる定数です。
まー、あなただけでなく、間違える人は結構多いですけれども。

私は学生のときに放射性同位体の半減期の件を習いましたが、
半減期Tを用いるならば、
t秒後の個数 = 初期の個数 × (1/2)^(t/T)
というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

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Q積分の公式の導出について

積分の公式の導出について

∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1))
なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ax+b=s とおくと ds/dx=a つまり dx=ds/a
従って 与式=∫s^n/a ds
あとは積分してsを元に戻すだけです。

Q自然対数の底 「e」ってなんのためにあるんですか??

自然対数の底は「e」で表され、その近似値は2.72とされます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
Wikipediaを見てみたんですが、恥ずかしい事に意味を理解ができませんでした。
大昔ですが、一応理系の大学は卒業しているんですが…

このeはいったい何のためにあるんでしょうか?

eの意味を分かりやすく教えていただけると有難いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「何のため」といわれると答えにくいですね。

 円周率π(3.141592…)はご存じですね。でもπが何のためにあるか、といわれて答えられますか。
 πやeなどの数は、「何かのために」存在しているというものではないと思います。というか、どんな数でも何かのために存在しているわけではないでしょう。(「3」は何のためにあるんでしょう?)

 「eの性質」なら、いろいろ説明できそうです。
 私が一番初めに思いつくのは、「f(x) を微分すると f(x) になる」という数学的の特徴のある関数 f(x) が e^x である、ということです。

 もう一つどこかで聞いたことで印象深いのは、複利に関係することです。
 「年利100%」で増えるお金があったとします。1円が1年後に2円になります。
 これが「半年で50%」という半年複利にすると、1年後には 1.5×1.5 で 2.25円になります。
 「3ヶ月で25%」という利率だと、1年後には1.25×1.25×1.25×1.25 で 2.44140625円になります。

 複利を取る期間をどんどん短くすると、1年後のお金も増えていきますが、どこまでも増えるわけではなく、極限になると 1年後にe円になります。

 要するに ( 1 + 1/n )^n の極限の話ですが。

「何のため」といわれると答えにくいですね。

 円周率π(3.141592…)はご存じですね。でもπが何のためにあるか、といわれて答えられますか。
 πやeなどの数は、「何かのために」存在しているというものではないと思います。というか、どんな数でも何かのために存在しているわけではないでしょう。(「3」は何のためにあるんでしょう?)

 「eの性質」なら、いろいろ説明できそうです。
 私が一番初めに思いつくのは、「f(x) を微分すると f(x) になる」という数学的の特徴のある関数 f(x) が e^x ...続きを読む


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