4次元実ベクトル空間R^4の標準的な内積を(,)で表す。
即ち、
x=t^(x1 x2 x3 x4)、y=t^(y1 y2 y3 y4)に対して、
(x,y)=(x1)(y1)+(x2)(y2)+(x3)(y3)+(x4)(y4)とする 。
R^4のベクトルaを、a=t^(1 1 1 1)とし、R^4からR^4への写像Tを
T(x)=x-{2(x,a)/(a,a)}a で定める。

上で定めたTは、R^4からR^4への線形変換であることを示せ。

という問題で、T(px+qy)=pT(x)+qT(y)となることを証明すればよいのだと思います。(p,qはスカラー、x,yはvに属するベクトル)
成分に立ち返って計算すれば証明できることはわかるんですけど、そのやり方だとかなり手間がかかります。
成分に立ち返らなくても証明できる方法があったらやり方を教えてください。

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A 回答 (1件)

内積の定義から線型性((x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)および(cx,y)=c(x,y))は簡単に示せますから、以下T

(cx)=cT(x), T(x+y)=T(x)+T(y)は明らかではないですか?
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