Ф70の円柱がX軸20度、Y軸10度傾いた状態で切断すると楕円になると思いますが、その場合の楕円の中心軸の傾きと断面形状の計算式はどの様になるのでしょうか。

A 回答 (1件)

円柱の軸は初めはZ軸に平行で、そこからX軸周りに20度、Y軸周りに10度、この順で傾ければいいんでしょうか?



だとすれば、Z軸に平行な単位ベクトルez=(0,0,1)をX軸周りに20度まわすと (0、sin20°、cos20°)
これを更にY軸周りに10度まわすと (cos20°sin10°、sin20°、cos20°cos10°)
これが軸の方向ベクトル(pとします)。小数で示すとだいたい (0.1632,0.3420,0.9254)

Z軸とのなす角をθとすると ezとpの内積は 1・1・cosθ=0+0+cos20°cos10°
  θ≒arccos(0.9254)≒22.27°
XY平面との断面形状は 長径が70/cos22.27°≒75.64
短径は70の楕円。
 計算違いがあったらゴメンなさい。
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この回答へのお礼

早速の解答ありがとうございました。悩んでいた問題が解決しました本当にありがとうございます。

お礼日時:2009/05/16 14:55

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Q円柱を有る角度で切った場合の長軸の角度の求め方を教えてください

以前円柱を有る角度で切断した場合に出来る楕円の計算方法をお教え頂きましたが。今回Ф76.2の円柱で軸は初めはZ軸に平行で、X軸周りに13度、Y軸周りに8度に傾けて切断した時の断面形状の計算式はお教え頂いた計算の仕方から、Z軸に平行な単位ベクトルez=(0,0,1)をX軸周りに13度まわすと (0、sin13°、cos13°)これを更にY軸周りに8度まわすと (cos13°sin8°、sin13°、cos13°cos8°)でZ軸とのなす角をθとすると ezとpの内積は 1・1・cosθ=0+0+cos13°cos8°
  θ≒arccos(0.9648)≒15.228°
  楕円形状は 短円=76.2
  長円=76.2/cos15.228°≒78.972
だと思うのですが(余り自身が有りませんが)、長円はx軸に対して角度が付いた状態で有ると思いますが、その角度の計算方法が分かりません申し訳ありませんが再度お教え下さい。

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足質問の回答
>X軸13度回転の断面長=76.2/COS(13度)≒78.204
OKです。
>θ≒arccos(0.9648)≒15.228°
OKです。

>長軸直径=76.2/cos15.228°≒78.972 
私の計算では78.973ですのでほぼ合っていますね。

>長軸直径方向とはx軸との角度θを求めるなら
>θ=arccos(長い方の直径/13度位置長さ)=arccos(78.972/78.204)=8度
この計算ではダメです。
pを成分に分けたものをp(px,py,pz)とすると
θ=arccos(px/√(px^2+py^2))≒58.917°
となります。この場合の長軸の直径の方向をz軸から遠ざかる方向にとっています。逆のz軸に向かう方向の長軸方向をとるなら
θ'=180°-θ
とします。

Q円柱の切断面

円柱を切断してできる楕円の短径は
どのような角度で切っても同じなんでしょうか?

またその証明方法を教えて下さい。

Aベストアンサー

円柱の定義として、「中心線に対して、同じ距離に存在する点の集合」とします。

円柱の中心線Lを考える。
切断面と、円柱の中心線の交点をPとする。

ここで、円柱を切断してできる楕円の弧上に存在する点Qで、
PQとLが、垂直であるものが存在する。

(∵切断面が、円柱に直角だった場合は自明。
円柱に直角で無い場合、Lに対して鋭角になる点と、鈍角になる点が存在する。
楕円弧上を点Qが連続して動く場合、鋭角から鈍角に移行するので、ちょうど直角になる点が存在する。
これは解析の方の中間値の定理より言える)

PQ⊥Lであることから、PQの長さはLとQの距離に等しい。
(証明は略。三平方の定理より導出可能)
よって、PQの長さは円柱の半径rに等しい。

中心線からrの距離にある点が楕円の中に存在することは証明できたと思います。
あとはこれが楕円の短径に一致することを言えばいいのですが、
他の点がPからLに対し鋭角もしくは鈍角であることを使えば
出るでしょう。

Q円柱と円の方程式

円柱と円の方程式

円柱の方程式を調べてみたところ、

x^2+y^2=1

と分かりました。
しかし、これは、半径1の円の方程式ではないのでしょうか?

また、x^2+y^2=x というようなものも発見しました。
これも円柱の方程式なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

x^2+ y^2= 1に加えて
・「z= 0」や「z= 1」や「xy平面上において」などとあれば、円になります。
・特に、何も書かれてなければ、zはなんでもよいことになるので、無限に長い円柱(円筒?)になります。
・「0≦ z≦ 5」などと書かれていれば、高さが 5の円柱になります。

空間図形を考えるときには、x, y, zの 3つの座標を考えることになりますから、何も書かれてなければ自由に値をとっていいことになります。

ただし、座標の値は実数ですから、x^2+ y^2+ z^2= 1(半径 1の球)といった場合には、何も書かれてなくても取り得る値に制限がかかります。
(実数であることがある意味制限ですね。)

Q円柱の体積の求め方で・・・・

円柱の体積の求め方は公式に当てはめればわかるのですが、円柱を斜めに切り取った場合、体積がどうなるのかがわかりません。
こういう場合、体積はどうやって求めればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

高さ30cmの円柱の体積は公式で求められると思います
斜めに切られているところは、単純に体積1/2になります

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q円錐の断面の形について

円錐を水平に切ったときの断面図は、円になりますが、円錐を傾けていくと断面図の円は、どのように変化するのでしょうか?式での表現がうまくいきません。

Aベストアンサー

原点に頂点があり,軸がz軸になっている円錐の方程式は
(1)  ax^2 + ay^2 - z^2 = 0
(a は正の定数)ですから,
平面の式と連立させればOKです.

a=1 の場合の円錐を xz 平面で見たのが下図です
普通の円錐は z<0 の部分ですが,z>0 には逆立ちした円錐があると思ってください.
こうしておくと,双曲線が見やすいのです.


      z  
  \   │   /
   \  │  /
    \ │ /
     \│/
  ───────── x
     /│\
    / │ \
   /  │  \
  /   │   \


xy 平面に平行な面で切るなら,例えば z=1 と連立させて
切り口は
(2)  x^2 + y^2 = 1
で,円.

以下同様ですので,細かい計算はお任せします.

少し傾けて,z = (x/2) - 1 で切るなら,(1)と連立させて楕円の式になります.

z = x - 1 (母線に平行)で切れば放物線の式.

x = 1 で切れば双曲線の式.
この場合は,上の円錐と下の円錐の両方を切ることに注意して下さい.
曲線が2本出るので,双曲線という名前がついたのです.

原点に頂点があり,軸がz軸になっている円錐の方程式は
(1)  ax^2 + ay^2 - z^2 = 0
(a は正の定数)ですから,
平面の式と連立させればOKです.

a=1 の場合の円錐を xz 平面で見たのが下図です
普通の円錐は z<0 の部分ですが,z>0 には逆立ちした円錐があると思ってください.
こうしておくと,双曲線が見やすいのです.


      z  
  \   │   /
   \  │  /
    \ │ /
     \│/
  ───────── x
     /│\
    / │ \
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Qアークタンジェントの求め方

電気回路などで計算に出てくるのですが、タンジェントの逆関数θ=Tan^-1(y/x)の求め方が分かりません。y/xを計算して、そのあとどうすればいいのですか?
サインやコサインみたいに表があるのですか?関数電卓で求める方法もイマイチわかりません。
教えて下さい。

Aベストアンサー

関数電卓では、一般に数値を入力して、[Shift]キーを押してから[tan]キーを押すと、アークタンジェント arctan(x)の値が求まります。
※機種によって操作方法が異なる場合があります。
Windowsの電卓で、arctan(x)を計算する場合、関数電卓の画面になっていることを確認して、以下の方法で求められます。
1. 数値を入力する。
2. 右のラジオボタン(Deg/Rad/Grad)を選択し、左の[Inv]をチェックする。
3. [tan]ボタンまたは[T]キーを押す。
なお、Deg/Rad/Gradは、角度の単位です。詳細はヘルプ画面をご覧下さい。

Q楕円の体積の求め方、教えてください!

タイトルどおりなのですが、楕円の体積の公式を知っていらっしゃる方、教えていただけないでしょうか。。。むかしにやった覚えだけはあるのですが、はっきりとおもいだせないのです。
ちなみに、楕円の縦の長さと横の長さがわかっています。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

数学や科学については、公式を丸暗記するだけではなく、その性質を理解するように努めれば、たとえ公式を忘れたとしても他の問題から導くことが多いことを頭にいれておいてくださいね。

楕円は、正円を1方向につぶしただけの図形ですから、円の面積を単純にその扁平分だけ減少(または増加)させればいいだけです。#1の人に倣って、
 長半径=a(こちらを元の円の半径とします)
 短半径=b
とすれば、
 楕円の面積=円の面積×b/a
      =πa^2×b/a
      =πa×b
ですね。

同様に、楕円の回転体も球を変形させただけですから、
 楕円の体積=球の体積×b/a
      =4/3×πa^3 ×b/a
      =4/3×πa^2×b
でよいでしょう。

球の体積を忘れたら、底面の半径と高さが球の半径と同じ円錐を用意して、半球と(逆さまに見た)円錐の断面積の和が常に底面の面積と同じという性質を利用すれば、簡単に導けます。(円錐の底面に平行に断面を取りましょう。)

以上。

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

Q楕円の外周の計算方法

楕円の外周を求める計算式というのはあるのでしょうか?
例えば、横16cm、縦12cmの楕円の外周は、いったい何cmになるのでしょうか?

Aベストアンサー

横 2a,縦 2b (a>b) の楕円の周長 L は
(1)  L = 4 ∫{0~π/2} √{a^2 - (a^2-b^2)sin^2 θ} dθ
ですが,これは初等関数では表現できません.
そういうことで,(1)の本質部分
(2)  E(k) = ∫{0~π/2} √{1 - k^2 sin^2 θ} dθ
に楕円積分(正確には第2種楕円積分)という名前がついているくらいです.
E(k) で表すなら
(3)  L = 4a E(k),  k^2 = 1 - (b^2/a^2)
ということですね.

a,b を決めれば(1)あるいは(2)の積分の値は決まりますが,
具体的な値を知るには数値計算,あるいは楕円積分の表を見るより
仕方がありません.
まあ,例えば三角関数で表現できたところで,
具体的値を知るには電卓叩くより仕方がありませんから
似たようなものです.
sin k などの代わりに余りなじみのない K(k) になっているだけです.

ちょいと数値計算してみたところ,a=8 cm,b=6 cm では
(4)  L = 40.4541 cm
になります.
半径 a = 8 cm の円ですと周長は 2πa = 50.2655 cm,
半径 b = 6 cm の円ですと周長は 2πb = 37.6991 cm,
ですから,当然ながら(4)の L は両者の間の値になっています.

なお.楕円の面積は πab です.

横 2a,縦 2b (a>b) の楕円の周長 L は
(1)  L = 4 ∫{0~π/2} √{a^2 - (a^2-b^2)sin^2 θ} dθ
ですが,これは初等関数では表現できません.
そういうことで,(1)の本質部分
(2)  E(k) = ∫{0~π/2} √{1 - k^2 sin^2 θ} dθ
に楕円積分(正確には第2種楕円積分)という名前がついているくらいです.
E(k) で表すなら
(3)  L = 4a E(k),  k^2 = 1 - (b^2/a^2)
ということですね.

a,b を決めれば(1)あるいは(2)の積分の値は決まりますが,
具体的な値を知るには数値計算,あるいは楕円積分の表を見...続きを読む


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