http://tzik.homeunix.net/ap2007/wiki/index.php?% …
の第三問の解説についてなんですが、どの様にして

S(h)=abH^4∫[0~1](1-√X)^2dX

という式を出したのでしょうか?
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

第三問の解説で十分詳しいのですが、質問者さんが分からないとのことですので、分かる所までで良いですから、質問者さんなりに式を立て詳細な解答を作って補足に書いて下さい。

その上で、どこで行き詰まっているのか、どこが分からないのかを書いて下さい。
そうすれば、その部分に対して的確に説明して貰えると思います。

もしかして、変数(x,y)による元のS(h)の積分の式も分かりませんか?
そうなら
S(h)=∫[0,aH^2] ydx …(■)
です。

yをXでの表し方が分からないのなら
√(x/a)+√(y/b)=H
にx=aXH^2,y=bYH^2を代入して
X^2+Y^2=1
これからYを求めて
y=(bH^2)Y
に代入すれば
y=b(H^2)(1-√X)^2 …(●)
が出てきます。

また積分変数をxからXに変換するには
x=aXH^2
の微分をとって
dx=a(H^2)dX …(▲)
が出てきます。

また、積分範囲はx=(aH^2)Xの関係から
x=[0,aH^2]からX=[0,1] …(◆)
に変わります。

(■)のS(h)の式に(●)、(▲)、(◆)の式を代入してやれば
(x,y)→(X,Y)の変数変換ができて、
> S(h)=ab(H^4)∫[0,1](1-√X)^2dX
の式が導けると思いますが、
いかがですか?
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この回答へのお礼

よく分かりました。
どうも有り難うございました。

お礼日時:2009/05/17 03:23

yを積分しているだけの話です。

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数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Qe^x-(x^0/0!+…+x^n/n!)>0

f[n](x)=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^n/n!)>0を示せ
n=0のとき成立
n=kのとき成立すると仮定すると
n=k+1のときf[k+1](x)=f[k](x)-x^(k+1)/(k+1)!となってこれが正を示すときに別の質問で(f[k+1](x))'を使って増減表を書くと聞いたのですが(f[k+1](x))'=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^k/k!)が0になる場所はわかるのでしょうか?

Aベストアンサー

A#2の補足について
A#2を良く読めば分かると思いますが?

分からないから補足で質問されてると思うので
より詳しく解説させていただきます。

>>f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由
と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)…(※)を何に使ったのか良ければ教えてください

n=kの時 x>0でf[k](x) > 0…(A) が成立すると仮定したはずですね。

f[k+1]'(x) = f[k](x) …(B)

この(B)はf [k+1](x)をxで微分した式が「= f[k](x)」
となることを示した式ですね。
(B)式が成立するところまでは分かりますね。
仮定(A)により(B)の右辺のf[k](x)は正ゆえ(B)の左辺も

f[k+1]'(x) > 0 (x > 0 ) …(C)

となりますね。

(C)は x > 0 でf[k+1](x)が増加関数であることを表します。

ここで(※)の式は f[k+1](x) が増加関数であることを示す為に使っていますね。

x=0における増加関数f[k+1](x)の値
f[k+1](0)=e^0 - 1 = 0 …(D)
なので x > 0 では増加関数f[k+1](x)に対して
f[k+1](x) > f[k+1](0) = 0 (x>0)
成立します。

(注)増加関数f(x)とは任意のxa,xbに対して
xa<xbのとき f(xa)<f(xb)
を満たす関数です。
性質として xa<xc<xbを満たすx=xcで
 f(xc)=0 なら
 「x<xcに対してf(x)<0」かつ [xc<xに対してf(x)>0」
が成立します。

お分かりになりましたか?

A#2の補足について
A#2を良く読めば分かると思いますが?

分からないから補足で質問されてると思うので
より詳しく解説させていただきます。

>>f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由
と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)…(※)を何に使ったのか良ければ教えてください

n=kの時 x>0でf[k](x) > 0…(A) が成立すると仮定したはずですね。

f[k+1]'(x) = f[k](x) …(B)

この(B)はf [k+1](x)をxで微分した式が「= f[k](x)」
となることを示した式ですね。
(B)式が成立するところまでは分かりますね。
仮定(A)...続きを読む

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

積分公式よりS=~



積分公式は教科書に載っていないので、こういう使い方が受験に通じるのか不安です。回答お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

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∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
すでに、ここの質問でも通用していないくらいですから。

単に積分の計算であれば、とくに明記せずに用いてもいいと思います。
この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

Qe^log(n)/n が e^0 になり、e^0=1 とあるのですが、

e^log(n)/n が e^0 になり、e^0=1 とあるのですが、どうしてもわかりません。
log(n)/n が 0 ということですよね、、どうしてそうなるのか、教えてください。

Aベストアンサー

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流石に答えにくいですね。
質問文に書かなきゃと思わなかったのかな。

n→+∞ の話であれば、
e~x が x=0 で連続なことから
lim e~{(log n)/n}= e~{lim (log n)/n}= e~0
とできるので、lim (log n)/n = 0 を示せばよい。

それには、log n = z で置換するのが楽で、
lim[n→+∞] (log n)/n = lim[z→+∞] z/e~z
となる。

e~z は、任意の z に対して、マクローリン展開
e~z = 1 + z + (1/2)z~2 + …
で表せるが、z>0 では右辺各項が正なので、
e~z > 第 2 項 = (1/2)z~2。

これを使って、
0 < z/e~z < z/{(1/2)z~2}= 2/z
から z→+∞ でのハサミウチを行えば、
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Q分点座標が±0.5のGauss-Legendre積分公式を知りませんか。

高精度化が必要な数値計算をやっています。
特に、数値積分の高精度化が必要なため、Gauss-Legendre積分公式の使用を考えています。
ただし、解く方程式が積分方程式であるなどの理由からそのままでは使用できません。
使用するためには、Gauss-Legendre積分公式の分点座標が区間の中心である必要があります。
例えば、分点数が2の場合、通常は座標x=±0.57735...重みw=1ですが、これを座標x=±0.5とできるような積分公式はないでしょうか?

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ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の多項式で近似できるf(x)を扱う場合に旨く行きます。

 さて、ご質問は、おそらく積分範囲 x=-1~1に対してガウス・ルジャンドルの数値積分を使いたいけれど、次数を2にして、分点、すなわちサンプリングする点を±0.5だけにしたい、という注文です。たぶん、±0.5における被積分関数f(x)の値なら簡単に求められる、というのでしょう。
 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
dx/dt = g'(t)
の積を被積分関数としてt=-1~1について積分することになります。この場合、被積分関数 f(g(t)) g'(t) がtの2次多項式で近似できるんでないと、2次のガウス・ルジャンドル法を使って精度が出るという保証はありません。
 高精度の数値積分をやりたいと仰っている割に、f(x)が高々低次の多項式で近似してしまえるんだったら、何もガウス・ルジャンドル法に拘る必要はないんで、例えばニュートン・コーツ型の数値積分、すなわち分点を等間隔に取る方法でも十分じゃないの?と思うんですが、どうなんでしょうね。

 或いは分点の数をもっと増やして良い、というのだったら、代わりに例えば-1~-0.5, -0.5~0.5, 0.5~1の3つの区間に分けてそれぞれ積分するのでも良い。被積分関数の傾きが急な部分でサンプリングを細かくしてやるというのも精度が出ますし、その代わりに適当な変数変換をして等間隔サンプリングしたり、ガウス・ルジャンドル法を使ったり…いろんな処方が考えられます。

 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
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f'''(0) = 2, g'''(0) = -1
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= lim[x->0] f''(x)/g''(x)
= lim[x->0] f'''(x)/g'''(x)
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