断面の半径がaの無限に長い直線導線に、単位長さあたりλの電荷があって、中心からrはなれたところの電場を求めろ・・・
ただし、r<aの場合も考えること。

という、よくある問題なのですが、少々、「こういう考えでいいんだよね?」という感じで疑問がわいたのですが、確信を持ちたいので質問させていただきます。

こういう類の問題ではよく、円筒だったり、「一様に分布している」だったり、電荷の断面上の分布状態に明確な表現があったりすると思います。

問題のように、半径aの直線導線に単位長さあたり電荷λ としか断られていない場合、導線は「導体」なのですから(今回の問題では電流が流れてるとかそういう状況でもないですし)、電荷は導線表面のみに分布していると解釈して、そのため、導線内部(r<a)では電場はゼロで等電位。ということでいいんですよね?

お暇があれば、回答いただければと思います。
よろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

単位長さ当たりの電荷と導体ということで、電荷分布はおっしゃる通りに確定します。



そのような理解ができることの確認を含めた問題設定だと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
問題が内容で安心しました。

では失礼します。

お礼日時:2009/05/17 01:47

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hikamiuさんが既にお答えされていますので、以下は具体的な計算のやり方についての話です。計算のやり方は大学の先生のご好意による講義ノート(参考URL)が公開されていますので、そこの7の6を参照してみてください。もっともその前に講義ノートの6の5で少し計算の地ならしをしてから進まれたほうが理解が速いかもしれません。

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とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
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∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q電荷が無限に長い直線状導線に電荷密度σ

電荷が無限に長い直線状導線に電荷密度σで分布しているものとする。
(1)導線の長さLの中に存在する電荷の総量はいくらか。
(2)長さLの導線の中に存在する電荷から出る電気力線の本数はいくらか。
(3)導線から電気力線が一様対象に出ているものとして、導線からdの距離にある点の電界の大きさを求めよ。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3813221.html

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なんとなく電気力線が端から違う方向へ出ていきそうなのですが。

お願いします。

Aベストアンサー

ANo.2 です。数式の訂正をします。導線の長さの評価を間違えてました。

修正をしながら、積分の方法も書いておきます。
添付図のように、導線の中心を原点に、導線の長さ方向にz軸、導線に垂直な方向にr軸を取ってみます。いま、r=d の点Pを考え、P点での電場Eを計算します。
導線の、z座標=z の地点Aに、長さ dz の微小部分を考えます。ここの電荷dqは
dq=ρ・dz
です。

これがPの地点に作る電場dEは

dE=k(ρ・dz)/(r^2+z^2)

導線の全ての長さに渡って足し合わせると、dEのz方向成分は、(対称性から)打ち消されることが明らかなので、実質的に寄与する量は r方向成分dErだけになって
dEr=dE・cosθ=dE・(r/√(r^2+z^2))
です。

これを z=-L/2~L/2 までの範囲で積分します。

E=∫[-L/2..L/2] (k(ρ・dz)/(r^2+z^2))・(r/√(r^2+z^2))
=2kρ∫[0..L/2]r/((r^2+z^2)^(3/2))・dz
=kρL・(1/(r・√(r^2+(L/2)^2))

求める電場は、r=dの地点での電場ですから、rをdに書き戻して

E=kρL・(1/(d・√(d^2+(L/2)^2))

d>>L のときの収束の話は、前回の回答のまま成立しています。
ついでに、逆に、導線の極く極く近傍では d→0 なので

√(d^2+(L/2)^2)→L/2 となりますので、

kq/(d・√(d^2+(L/2)^2)) → kq/(d・(L/2))=2k・ρ/d

となり、Lが無限の長さの場合の値に収束します。

ANo.2 です。数式の訂正をします。導線の長さの評価を間違えてました。

修正をしながら、積分の方法も書いておきます。
添付図のように、導線の中心を原点に、導線の長さ方向にz軸、導線に垂直な方向にr軸を取ってみます。いま、r=d の点Pを考え、P点での電場Eを計算します。
導線の、z座標=z の地点Aに、長さ dz の微小部分を考えます。ここの電荷dqは
dq=ρ・dz
です。

これがPの地点に作る電場dEは

dE=k(ρ・dz)/(r^2+z^2)

導線の全ての長さに渡って足し合わせると、dEのz方向成...続きを読む


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