コンパクト空間Xの離散部分集合Aは有限集合であると無条件にいえるのでしょうか?

できない場合、Xにどのような条件が必要になるのでしょうか?

A 回答 (2件)

離散部分集合A自体がコンパクトならば(有限被覆が取り出せるので)有限集合ですが,


一般にコンパクト集合の部分集合はコンパクトではありません。
そのため,Xが閉区間[0,1],A={1/n|n∈N} などの反例が出てきてしまいます。

「コンパクト空間の閉部分集合がコンパクトである」ことなら成り立ちますので,
サポート自体はコンパクトとなって,離散集合なら有限集合になりそうですね。

なぜ,はじめから「コンパクト空間の閉部分集合」という仮定があるのを言わな
かったのですか?これは本質的にはずせない仮定だと思います。

この回答への補足

supportが閉であることはどうやって言うのでしょうか?

補足日時:2009/05/17 23:18
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言えない。



例えば、
円周に、中心角を距離とした位相を入れたもの
を X とする。(S1 と呼ばれることが多い。)
これの部分集合
A ={ (cosθ,sinθ) : 2π/θは自然数 }
は、どうなっている?
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この回答へのお礼

実はXがコンパクトリーマン面のとき、X上の因子Dのサポートが有限集合であることがいいたいのですが、、。

お礼日時:2009/05/17 10:30

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xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
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となります。

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とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
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とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
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