コンパクト空間Xの離散部分集合Aは有限集合であると無条件にいえるのでしょうか?

できない場合、Xにどのような条件が必要になるのでしょうか?

A 回答 (2件)

離散部分集合A自体がコンパクトならば(有限被覆が取り出せるので)有限集合ですが,


一般にコンパクト集合の部分集合はコンパクトではありません。
そのため,Xが閉区間[0,1],A={1/n|n∈N} などの反例が出てきてしまいます。

「コンパクト空間の閉部分集合がコンパクトである」ことなら成り立ちますので,
サポート自体はコンパクトとなって,離散集合なら有限集合になりそうですね。

なぜ,はじめから「コンパクト空間の閉部分集合」という仮定があるのを言わな
かったのですか?これは本質的にはずせない仮定だと思います。

この回答への補足

supportが閉であることはどうやって言うのでしょうか?

補足日時:2009/05/17 23:18
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言えない。



例えば、
円周に、中心角を距離とした位相を入れたもの
を X とする。(S1 と呼ばれることが多い。)
これの部分集合
A ={ (cosθ,sinθ) : 2π/θは自然数 }
は、どうなっている?
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この回答へのお礼

実はXがコンパクトリーマン面のとき、X上の因子Dのサポートが有限集合であることがいいたいのですが、、。

お礼日時:2009/05/17 10:30

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結論は,
「普通の扇風機より余計に電気を食う」
ことになります.

この世には悲しいかな,いろいろな「損失」があります.
例えば羽根を回す際,シャフトとベアリングの間にある「摩擦」です.
摩擦による損失は「熱」として散逸してしまいます.

そんなこんなで,何事も「効率100%」は絶対にあり得ません.

>(1)最初は充電のため手動で扇風機を回し電力が
>たまったら上記の装置の電力で扇風機が回る。

これは問題ありません.

>(2)扇風機が回ることでまた上記の装置に電力が充電される。

このとき,充電池から出る電力で
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故に結論として,最初に書いた通りになります.

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結論は,
「普通の扇風機より余計に電気を食う」
ことになります.

この世には悲しいかな,いろいろな「損失」があります.
例えば羽根を回す際,シャフトとベアリングの間にある「摩擦」です.
摩擦による損失は「熱」として散逸してしまいます.

そんなこんなで,何事も「効率100%」は絶対にあり得ません.

>(1)最初は充電のため手動で扇風機を回し電力が
>たまったら上記の装置の電力で扇風機が回る。

これは問題ありません.

>(2)扇風機が回ることでまた上記の装置に電力が...続きを読む

QQ.Xを自然数全体の集合Nの部分集合とするとき、|X|>アレフゼロを証

Q.Xを自然数全体の集合Nの部分集合とするとき、|X|>アレフゼロを証明せよ。


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∀n∈N ⇒ f(n)=M, ∃M∈X
∀M∈X ⇒ f(n)=M, ∃n∈N
つまり
1 ←→ M1
2 ←→ M2


n ←→ Mn


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A.
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∀n∈N ⇒ f(n)=M, ∃M∈X
∀M∈X ⇒ f(n)=M, ∃n∈N
つまり
1 ←→ M1
2 ←→ M2


n ←→ Mn


このとき、左右の対応関係について、属するか属さないかを分類でき、
N∈Mn または n?Mn...続きを読む

Aベストアンサー

修正版見ました、良いと思います。

細かいことですが、


|X|=|N|と仮定すると、NからXへの全単射fが存在する。
つまり
1 ←→ M1
・・・

の部分で、M1が突然現れることと、実はMnという表現は、以降に現れないので、

つまり、
1←→f(1)
2←→f(2)
・・・
としたほうが良いと思います。






最初の回答で補足を求められているにもかかわらず上から目線で採点などど僭越な物言いをしたことをお許しください。
眠かったんです。
 


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