1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、…
は0に収束ですよね
1、1/2、1/3、1/4、…
はどうなりますか?

A 回答 (1件)

違いは初項だけでしょうか?


ゼロに収束します。
1/nの数列は初項がどうあれゼロに収束します。
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2009/05/17 20:44

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Q終息と収束の違い

先日Alizとかいうワームが会社中に蔓延し、大変な労力を取られたのですが、やっと落ち着いてきました。
この場合、「収束宣言」なのか「終息宣言」なのか、どちらでしょうか。
「サメ事件の収束宣言」
「火山の終息宣言」
と新聞はいろいろな書き方をしているように思われますが、正しい使い方をご教授いただけないでしょうか。

Aベストアンサー

 
  一般的な言葉の用法というか、意味について述べます。
 
  収束も終息も、ものごとや事態が、ある時間的推移の後、別の状態になることを意味する一般的な言葉で、ものごとや事態が、人間にとって都合がよいか悪いかは関係がありません。
 
  非常に簡単に言えば、「収束」とは、事態が「あるまとまりになること・収まる」ことです。「終息」は、単純に、事態が「終わる」ことです。
 
  収束というのは、文字を見ると分かりますが、「束に収まる」という意味です。これは、広がりがある事態が、「束」つまり、ある「まとまり」へと移行することで、まとまりに収まることが、秩序状態だとすると、無秩序だったのが、秩序になるという風な意味になります。
 
  終息というのは、「息が終わる」と読めます。これは人が死んで息がなくなるというような感じがしますが、人の死についてというより、物事の事態が、死ぬように、終わりを迎えるということです。
 
  「よき時代の収束」とは言いませんが、「よき時代の終息」とは言います。
  「収束」の場合も、よい事態が、悪い方へ収束するというのもあるはずですが、例文を造ろうと思うと適当なものがとりあえず思いつきません。「収まる」というのが、やはり、よいことだというような感じがあるためでしょう。
 
  というような意味・ニュアンスなのが、「収束」と「終息」です。
 
  ですから、「サメ事件」は、「収束」でも「終息」でもいいのですが、サメ事件は、毎年起こる可能性があるので、今年は「収束」を迎えた、あるいは、今回の事件は収束を迎えた、しかし、そう思っているとまた、サメに襲われたという通報があって、収まったものが、またばらけるという可能性があるので、「収束」を使っているのでしょう。
 
  他方、火山の「終息宣言」というのは、火山騒動も「収束」を迎えたというなら使えますが、火山活動は、始まるか終わるで、あまり、「収まる」ものではありません。「治まる」というような感じです。従って、火山活動の場合は、「終息」の方が相応しいということになります。

  終息宣言を出したと思ったら、翌日にまた活動を再開した場合、これは火山活動についての学者の予測あるいは判断が間違っていて、火山活動は実はまだ終息していなかったのです。他方、サメ事件の場合は、一頭あるいは数頭のサメで起こっていたサメ事件が、原因となるサメが捕獲されたり、外洋に去ったことが確実だと思えた場合、人々の心の動揺などが「収束」を迎えたのです。しかし、別のサメが現れると、またサメだという動揺が起こるでしょう。サメ事件の場合にも、「終息」が使えますが、あるサメ事件は終息しても、次のサメ事件がすぐ後に起こるかも知れないので、人心の動揺などの意味のサメ事件は、収束はするが、終息は難しいということです。
 
  こういう言葉の使い方は、言葉の基本的な意味を知り、場合場合で適切かどうかの判断が必要になります。新聞記事と言っても、表現がおかしい例は幾らでもあります。また、おかしい表現がそのまま定着して、そういう用法が生まれてしまうこともあります。言葉の意味は、時代と共に変化して行きます。
 

 
  一般的な言葉の用法というか、意味について述べます。
 
  収束も終息も、ものごとや事態が、ある時間的推移の後、別の状態になることを意味する一般的な言葉で、ものごとや事態が、人間にとって都合がよいか悪いかは関係がありません。
 
  非常に簡単に言えば、「収束」とは、事態が「あるまとまりになること・収まる」ことです。「終息」は、単純に、事態が「終わる」ことです。
 
  収束というのは、文字を見ると分かりますが、「束に収まる」という意味です。これは、広がりがある事...続きを読む

Q無限乗積1/2/3*4*5/6/7*…の収束値

以下、Γはガンマ関数です。

以前収束する無限乗積を探していたとき、

1/2/3*4*5/6/7*8*9/10/11*… = Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)}

が収束しそうだと思いつき、色々と考えていたところ、収束値は

{Γ(3/4)}^2 / √(2π) = 0.599070117367796…

になるようでした。具体的な計算方法はちょっとここには書ききれず、またその計算方法自体適当でこの値に近づくらしい、という所までしかわかりませんでした(ただしガンマ関数を利用しました)。そもそも無限乗積の収束値の計算方法自体、調べてもなかなかみつかりません。

そこで、Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)} = {Γ(3/4)}^2 / √(2π) について、
左辺の計算方法または等式の証明を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因子から来るものでキャンセルします.
したがって,質問の無限乗積は
(4)  Γ(1/2)Γ(3/4) / Γ(1)Γ(1/4)
になり,
(5)  Γ(1) = 1
(6)  Γ(1/2) = √π
(7)  Γ(1/4)Γ(3/4) = (√2)π
を使えば geshira さんの答
(8)  Γ(3/4)}^2 / √(2π)
が得られます.
なお,(7)はいわゆる反転公式
(9)  Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)
で z=1/4 とおけば直ちに得られます.

Tacosan さん,以前になにかの質問でご一緒した記憶があります.
批評がましくて何ですが,ばらして
(Πn)[Π(n-3/4)] / {[Π(n-1/2)][Π(n-1/4)]}
としてしまうと,(Πn) などそのものは当然発散してしまいます.

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因...続きを読む

Q新型インフルエンザの流行の収束(終息)について

新型インフルエンザが広まったら、「なるべく出かけない」「電車の混雑を今の2割程度に抑える」「2週間分の食料を備蓄することが望ましい」などという話になっているようです。
しかし、鳥インフルエンザが人から人へ移るような変異が1度起きたら最後、厳重に隔離せねば世界中で大流行...、とか、空港で水際で防ぐ、とか、その辺の話とずいぶん矛盾があるような気がします。
いったん流行したのを、みんなが閉じこもって「嵐が過ぎるのを待つ」ようなことで、本当に終息するのでしょうか。全員が一度かかって抗体を持つか、(流行後には作成できるであろう)ワクチンを接種するでもしないと、ダメなんじゃないかという気がするのです。
たった一人の患者が発端で流行する可能性があるなら、流行語は、少なくとも最後の一人の患者が治るまでは、(まだかかってない人は)自宅謹慎が必要なのではないでしょうか。

Aベストアンサー

Q、新型インフルエンザの流行の収束(終息)について。
A、短期の流行の収束と長期の流行の収束とがあると思います。

短期の流行は、中国語南東部で発生し東西に侵攻。
東軍は、アメリカ大陸を南下してチリの南端辺りで消滅。
西軍は、ヨーロッパを席巻しアフリカ大陸を南下し喜望峰近辺で消滅。
まあ、それ以上は侵攻する訳にもいかないので軍隊も流れ解散すると思います。

更に、局部的な戦闘には、必ず、季節柄ってのがあると思います。
冬を中心に猛威を振るって夏を持って一時的に戦闘も下火に。

長期の流行は、この東侵、西侵を繰り返していく中で新種との世代交代時期を迎えて収束。

こんなんだと思います。

>なるべく出かけない。
>電車の混雑を今の2割程度に抑える。
>2週間分の食料を備蓄することが望ましい。

これは、医療機関の対応能力以上の爆発的な流行を避けるのが目的。
これは、医療機関の対応能力の限界越えを国民の自衛で防ごうということでしょう。
これは、もって被害者数を押さえ込むということでしょう。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Qサブプライム問題による影響の収束はいつ頃(就職が心配)

再来年に就職を控えている経済専攻の学生です。
不動産とフィナンシャルの勉強をしていて、就職もそういう方向にと思っていたのですが
サブプライム問題があって、特に金融機関は厳しいように見受けられます。
就職に不安があるので、選択肢を幅広くしないといけないなと思っていますが
サブプライム問題による影響の収束(終息?)はいつ頃になるでしょうか。

Aベストアンサー

サブプライムの本質は返済不能な人々に融資したことではありません。ローン証書を細切れにして他の債権(国債とかIBMの社債とか)と組み合わせ、AAAの格付けを行い、これを金余りで運用に困っていた世界中の金融機関が買ったことにあります。特に欧州系の金融機関が大量に買い込みました。
CDOと言います。組み込まれたのはサブプライムだけではありません。様々な債権が新しい債権へと生まれ代わりました。今問題になっているのは、こうやって形を変えた資産担保証券の価値が誰にも分からないことです。ベアスターンズ証券がこの分野のエキスパートだった分けですが、AAAが格下げになるや否や、毎日1兆円の資金がベアスターンズから逃げていったそうです。
リーマンブラザーズは30兆円の債権を保有しているそうですが、値が付くのは6兆円で、残り24兆円は値が付かない。すなわち買い手がいないとのことです。いずれニ束三文で叩き売るのでしょうが、こういうことです。
一番の解決策は合衆国政府がこの債権を買い上げる、すなわち公的資金投入ですが、銃の所有を憲法が保証する国。自分の事は自分で解決しなさい。で期待できない。これが何を意味するか、大学の先生に聞いてみて下さい。
貴方が今すべきは何より実力をつけること。一生懸命勉強することが貴方を救うと思います。

参考URL:http://blog.goo.ne.jp/kitanotakeshi55/e/7f6475429e74ca3699f0ea75719dfabf

サブプライムの本質は返済不能な人々に融資したことではありません。ローン証書を細切れにして他の債権(国債とかIBMの社債とか)と組み合わせ、AAAの格付けを行い、これを金余りで運用に困っていた世界中の金融機関が買ったことにあります。特に欧州系の金融機関が大量に買い込みました。
CDOと言います。組み込まれたのはサブプライムだけではありません。様々な債権が新しい債権へと生まれ代わりました。今問題になっているのは、こうやって形を変えた資産担保証券の価値が誰にも分からないことです。ベア...続きを読む

Q3/(n+2)(n+5)= 1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>} ???

{1/(n+2)}-{1/(n+5)}=3/(n+2)(n+5)…(1)です。更に
1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>}…(2)
にと変形できるそうです。
読んでいる本に、(1)の分子の3を1にする為に上の変形が紹介されていたのですが、

(1)と(2)は同じ数値、大きさになるのでしょうか? 
分子と分母で数字が同じでも、分子を1にして元々の数字で割ってしまっては(分母に元の数字を)、違う大きさになると思うのですが…
2/1と1/2は違いますし…

Aベストアンサー

A-B=3Cだから、C=(1/3)(A-B)だ、といっているのです。

1/(n+2)-1/(n+5)=3{1/(n+2)(n+5)}だから
1/(n+2)(n+5)=(1/3){1/(n+2)-1/(n+5)}になりますよということ。
(2)の方の式に等号がありませんが、左辺(あるいは右辺)に
くるべきものをいっしょに考えてください。

Q級数が絶対収束したら収束?

解析入門30講という本を読みました。
級数の収束のところで、

(1) X = X0で Σ Ak X^k が収束
  → |X|<|X0| なる x で Σ Ak X^k が絶対収束

と書いてありました。
しかし、そのすぐ後に、

(2) 「収束しても、絶対収束しない関数がある」

と書いてありました。

(1)と(2)は矛盾しているような気がするのですが、どうでしょうか?

Aベストアンサー

(2)は「関数」ではなく「級数」でしょ?
#志賀さんの「30講シリーズ」かな

まず,級数の収束には
・絶対収束
・条件収束
というものがあります

「Σ a_k が絶対収束する」というのは
Σ |a_k| が収束することをいいます.
級数が絶対収束するならば収束します.
しかし,逆,つまり
「級数が収束するならば絶対収束する」というのは成り立ちません.
「収束するが絶対収束しない」ことを「条件収束」といいます.

そして,(1)は
級数のうち
「べき級数」と呼ばれる特別(かつ重要)なものに
ついては,ある点で収束すれば,
「その内側では絶対収束する」といっているだけです
決して「すべての級数」ではありません.
したがって,(2)の実例は「ベキ級数」ではありません.
当然矛盾はしません.

ちなみに,絶対収束する級数は
「項の順序を変えても収束する値は同じ」
という重要な性質があります.これを用いて
「級数の積」などを簡単に考えることができます.
条件収束の場合は,順番を変えるのはご法度です.

(2)は「関数」ではなく「級数」でしょ?
#志賀さんの「30講シリーズ」かな

まず,級数の収束には
・絶対収束
・条件収束
というものがあります

「Σ a_k が絶対収束する」というのは
Σ |a_k| が収束することをいいます.
級数が絶対収束するならば収束します.
しかし,逆,つまり
「級数が収束するならば絶対収束する」というのは成り立ちません.
「収束するが絶対収束しない」ことを「条件収束」といいます.

そして,(1)は
級数のうち
「べき級数」と呼ばれる特別(かつ重要)なものに
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QΣ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない

こんにちは。

[問]Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では
一様収束しない事を証明せよ。

が示せません。

一様収束の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)-Σ[k=1..n]1/k^(1+x)|≦ε)
です。


"p>1の時Σ[n=1..∞]1/n^pは収束,p<1の時発散"より
0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから
Σ[k=1..∞]1/k^(1+c)<Σ[k=1..∞]1/k^(1+b)

とまで分かったのですがこれからどのようにして証明して分かりません。
どうぞご教示ください。

Aベストアンサー

こんばんは。♯1さんが指摘しているようにワイエルストラスの優級数の定理と一様収束の別の定義

0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<m<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=m+1..n]1/k^(1+x)|≦ε)

はご存知ですか?この事柄を使えば

(1)[a,∞) で一様収束すること
∀x∈[a,∞) に対して 1/k^{1+x}≦1/k^{1+a} かつ
Σ[k=1…∞]1/k^{1+a} は収束するからワイエルストラスの優級数の定理より Σ[k=1…∞]1/k^{1+x} は[a,∞) で一様収束する。

(2)(0,∞) で一様収束しないこと
(0,∞) で一様収束すると仮定する。∀ε>0 に対して十分大なる自然数Nが存在するが、xとしてN<n なる任意のnに対して

x < (log(n/ε)/log2n)-1

となるようにxを選べば

Σ[k=n…2n]1/k^{1+x} > n/(2n)^{1+x} > ε

となり矛盾となる。したがって (0,∞) で一様収束しない。

Q分布収束と確率収束

こんにちは。

Xを確率変数、X_n, Y_nを確率変数列とします。

「X_nがXに分布収束し、|Y_n-X_n|が0に確率収束するならばY_nもXに分布収束する」というのは有名な定理ですが、スルツキーの定理みたいに、「分布収束」を「確率収束」と書き換えても成り立つのでしょうか?

言い換えると、「X_nがXに確率収束し、|Y_n-X_n|が0に確率収束するならばY_nもXに確率収束する」は成り立つのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

多分言えるかと。

ε>0をとります。{|Y_n - X|>ε}⊂{|Y_n - X_n|>ε/2}∪{|X_n - X|>ε/2}なので仮定よりn→∞で右辺の測度(確率)は0に収束します。従って左辺の測度(確率)も0に収束します。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


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