どんな5つの格子点をとっても正五角形にならないことを証明したいのですが全く分かりません
考え方もさっぱりなのですが
よろしければ教えてください

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タイル 種類」に関するQ&A: タイルの種類

A 回答 (3件)

もし、格子点で正五角形ができると仮定します。


すると、適当に平行移動すれば、1つの頂点は原点だと思ってもよいですね。
で、原点の両隣の頂点をA(x1,y1),B(x2,y2)とします。(x1,y1,x2,y2は整数)
正五角形ですから、
OA = OB
∠AOB = 3π/5
が成り立ちます。つまり、
x1^2+y1^2 = x2^2+y2^2 = r^2 (r^2は整数)
cos(∠AOB) = x1/r*x1/r + y1/r*y2/r = (x1*x2*y1*y2)/r^2 = cos(3π/5) (cosの加法定理)
が成り立つはずです。
で、r^2は整数ですから、(x1*x2+y1*y2)/r^2 は有理数なはずなんですが、cos(3π/5) は有理数じゃないので、矛盾。

cos(3π/5)=-cos(2π/5) が有理数じゃないのは、例えば、
cos(2*3π/5) = cos(3*2π/5) から、
適当に、2倍角、3倍角の公式を使えば。
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「格子点」とはどんなものでしょうか。



#1、#2のご回答は「格子点とは何か」が分かっているものとしておられます。でもやはり定義してから使う言葉だと思います。

「格子とは点が~のように配置している状態である」と自分流でいいですから定義してみてください。回答の分かりやすさが違ってくると思います。

固体物理の教科書には5回対称の結晶は存在しないというのが出てきます。正5角形を基本とする図形では空間を埋め尽くすことが出来ないという説明です。
ところがX線回折のパターンで5回対称を示す例が報告されて話題になりました。20年ほど前のことです。
現在では「準結晶」として教科書にも載っています。
キッテルの教科書にはペンローズの2次元タイル模様が載っています。
図は2種類のひし形のタイル、36°、144°のものと72°、108°のものを組み合わせています。
説明文の中に「長距離にわたる配向秩序と長距離にわたる周期的でない秩序が示されている」と書かれています。
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格子点間の距離の平方は整数値になります、これと正五角形の各点間の距離から出せば証明できるでしょう

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お世話になっております。タイトルの通りです。対称式、交代式の定義と性質(四則などの)は理解しているのですが、因数分解に応用するとなると、さっぱり使い方が分かりません。以下の例題について御解説いただけないでしょうか。

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恐らく与式が(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持つことになるのでしょうが、どう利用して良いのか分かりません。ヒントだけでも良いのでご回答願います。

Aベストアンサー

一般論としては差積を因子に持つことがわかっても結局割るしかないわけだが, この式に関していえば残る因子が「a+b+c の定数倍」になることはすぐにわかる. つまり
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) = k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
(k は定数) という形に因数分解でき, 右辺の適当な項を考えれば k の値も決まる.

というのが, この問題では最も簡単だろうねぇ.


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