どんな5つの格子点をとっても正五角形にならないことを証明したいのですが全く分かりません
考え方もさっぱりなのですが
よろしければ教えてください

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タイル 種類」に関するQ&A: タイルの種類

A 回答 (3件)

もし、格子点で正五角形ができると仮定します。


すると、適当に平行移動すれば、1つの頂点は原点だと思ってもよいですね。
で、原点の両隣の頂点をA(x1,y1),B(x2,y2)とします。(x1,y1,x2,y2は整数)
正五角形ですから、
OA = OB
∠AOB = 3π/5
が成り立ちます。つまり、
x1^2+y1^2 = x2^2+y2^2 = r^2 (r^2は整数)
cos(∠AOB) = x1/r*x1/r + y1/r*y2/r = (x1*x2*y1*y2)/r^2 = cos(3π/5) (cosの加法定理)
が成り立つはずです。
で、r^2は整数ですから、(x1*x2+y1*y2)/r^2 は有理数なはずなんですが、cos(3π/5) は有理数じゃないので、矛盾。

cos(3π/5)=-cos(2π/5) が有理数じゃないのは、例えば、
cos(2*3π/5) = cos(3*2π/5) から、
適当に、2倍角、3倍角の公式を使えば。
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「格子点」とはどんなものでしょうか。



#1、#2のご回答は「格子点とは何か」が分かっているものとしておられます。でもやはり定義してから使う言葉だと思います。

「格子とは点が~のように配置している状態である」と自分流でいいですから定義してみてください。回答の分かりやすさが違ってくると思います。

固体物理の教科書には5回対称の結晶は存在しないというのが出てきます。正5角形を基本とする図形では空間を埋め尽くすことが出来ないという説明です。
ところがX線回折のパターンで5回対称を示す例が報告されて話題になりました。20年ほど前のことです。
現在では「準結晶」として教科書にも載っています。
キッテルの教科書にはペンローズの2次元タイル模様が載っています。
図は2種類のひし形のタイル、36°、144°のものと72°、108°のものを組み合わせています。
説明文の中に「長距離にわたる配向秩序と長距離にわたる周期的でない秩序が示されている」と書かれています。
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格子点間の距離の平方は整数値になります、これと正五角形の各点間の距離から出せば証明できるでしょう

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Q正五角形の対角線でできる小さな正五角形の面積は?

一辺が長さ1の正五角形がある。
対角線を5本引くと、その内部に小さな正五角形ができます。
元の正五角形と内部にできる正五角形の面積の比を求めよ。

同じく正17角形の場合はどうなるか?

3時間考えても回答にいたりませんでした。
ヒントでも正解でもよいので、教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正17角形の場合を考えてみました。 なお計算の便宜上半径1の単位円に内接する正17角形を考えます。

正17角形には119本(17×14/2)の対角線が存在しますが、中央部に小さな正17角形を形成するのに関わるのは、この中で最長の17本だけです。下の図で三角形PQRを色分けしたように、外側の大きな正17角形の1辺と合わせて考えると、底辺が正17角形の1辺で頂角がπ/17の二等辺三角形が17個組み合わされて、小さな正17角形を構成します。

ここで中心部の小さな正17角形の内部にも同様に小さな正17角形の1辺を底辺とし頂角がπ/17の二等辺三角形STUを作ることができます。ここで大小二つの正17角形の相似比はこの大小二つの二等辺三角形の相似比に等しいことは明かなので、この二等辺三角形の高さの比を考えます。Pから底辺QRに垂線PHを、またSから底辺TUに垂線SH'をそれぞれ下ろします。

三角形PQRにおけるPH=1+cos(π/17) またPQ=2cos(π/34) より PH'=cos(π/34)
SH'=PH'tan(π/17)=cos(π/34)tan(π/17)

したがって大小の正17角形の相似比は 
1+cos(π/17):cos(π/34)tan(π/17)

面積比はこの2乗だから
(1+cos(π/17))^2:(cos(π/34)tan(π/17))^2

なお数値計算しておおまかにいうと相似比が約10.65倍、面積比が約113.5倍です。

正17角形の場合を考えてみました。 なお計算の便宜上半径1の単位円に内接する正17角形を考えます。

正17角形には119本(17×14/2)の対角線が存在しますが、中央部に小さな正17角形を形成するのに関わるのは、この中で最長の17本だけです。下の図で三角形PQRを色分けしたように、外側の大きな正17角形の1辺と合わせて考えると、底辺が正17角形の1辺で頂角がπ/17の二等辺三角形が17個組み合わされて、小さな正17角形を構成します。

ここで中心部の小さな正17角形の内部にも同様に小さな正17角形の1辺を底辺とし...続きを読む

Q正五角形のなかにまた正五角形・・・

正五角形の中に星型を描くと小さい五角形ができます。これを繰り返すと無数の五角形ができます(実際はあまり沢山は描けませんが・・・)。またはじめの五角形より大きな五角形を描くことも容易です。このような一連の五角形の大小は等比級数のようになっているように思うのですが,中学程度の数学で簡単に答えは出せますか。

Aベストアンサー

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので,一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります.そこでこの相似比を求めてみましょう.

外側の正5角形をABCDEとし,内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします.
(AとA',BとB',…,EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します)
また,外側の正5角形の1辺の長さを1,内側の正5角形の1辺の長さをx(ただしx<1)とします。

【補足】(もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい)
正5角形の1つの内角は360°÷5=108°ですが,1つの内角(例えば∠BAE)を対角線で区切った3つの角(この例では∠BACと∠CADと∠DAE)はちょうど3等分されて1つが108°÷3=36°になります.これを確かめるのは簡単で,正5角形ABCDEに外接円を描き,弧BCと弧CDと弧DEの長さが互いに等しいことから,その円周角∠BACと∠CADと∠DAEも互いに等しいとわかります.
これを利用すると正5角形には2種類の互いに相似である二等辺三角形がたくさんあることがわかります.1つは(36°,72°,72°)の二等辺三角形で△ACDや△A'C'D'や△EAD'や△ABC'などが該当します.もう1つは(36°,36°,108°)の二等辺三角形で△AB'Eや△A'C'E'や△ADEなどが該当します.(自分で確かめてみましょう)

△EAD'と△AC'D'は互いに相似で(36°,72°,72°)の二等辺三角形で,△AB'Eは(36°,36°,108°)の二等辺三角形です.AE=D'E=1とC'D'=xからAD'=AC'=B'E=1-xです.よって△EAD'∽△AC'D'よりEA:AD'=AD':D'C'なので,
1:(1-x)=(1-x):x → x=(1-x)^2 → x^2-3x+1=0 → x=(3-√5)/2 (←注:x<1なので±は負のみ有効)
以上より外側の正5角形と内側の正5角形の相似比は,1:(3-√5)/2(内側を1とすると(3+√5)/2:1)であるとわかります.

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので,一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります.そこでこの相似比を求めてみましょう.

外側の正5角形をABCDEとし,内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします.
(AとA',BとB',…,EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します)
また,外側の正5角形の1辺の長さを1,内側の正5角形の1辺の長さをx(ただしx<1)とします。

【補足】(もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい)
正5...続きを読む

Q正五角形の対角線の長さ

 正五角形の1辺の長さが「1」であるとき、その対角線の長さ φ を簡単に求める方法はないでしょうか?

 また、頂点から、対角線が交差するまでの長さ 1/φ を導き出す方法も、ぜひ教えて下さい。

解は、φ = (1 + √5) / 2 であるようですが。

Aベストアンサー

正五角形の対角線の長さは中学校卒業程度の知識で十分求めることができます。ただし、相似を使いますが、最近の中学校では相似を習わないかもしれません。
さて、正五角形ABCDEの対角線BD,CEの交点をFとします。CDの長さを1、BEの長さをφとします。
BEとCDが平行であることはわかりますね。
錯角が等しいことを利用すると三角形FBEと三角形FDCは相似になることがわかります。
また、よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
よってBF=EF=1となります。また、FC=FD=φ-1であることもわかります。
相似な三角形の対応する辺の比はひとしいですから
φ:1=1:φ-1となります。
これからφの二次方程式ができますから、それを解けばよいのです。また、φ-1=1/φであることもこの式から導き出せます。

Q正五角形作図における証明

正五角形の作図については多様な解があり、その証明がなされているものもあります。一方、折り紙での正五角形は折り方は二種類のみが知られていますが、どちらもその証明が不明です。下記のURLに紹介されている折り方に対して、証明をしていただけないかと思い投稿しました。よろしくお願いいたします。
1)正五角形の一辺を求める
http://genryu.cside4.com/yoshitago/kyuguza2/seigo.htm
2)角度を十等分する方法
http://homepage2.nifty.com/poyopokets/kousaku/sasa/sasa.htm

Aベストアンサー

1)証明というより説明
  上に頂点Aがあり、反時計回りにB,C,D,Eとある正五角形を
  考え、1辺を√5-1とすると対角線は2
  BE=2で、CからBEに垂線CPを、DからBEに垂線DQを引く
  と、PQ=CD=√5-1、BP=EQ=(3-√5)/2
  ここで、△BCPを考えると、∠CBP=108°-36°=72°
  このことから、斜辺(BC)が√5-1で、底辺(BP)が(3-√5)/2
  になっている直角三角形は、その挟む角が72°になるといえます。

  さて、この折り方の4番目で√5-1を 真ん中に移動ということなの
  で左右に余る長さは {2-(√5-1)}/2=(3-√5)/2 です。
  すると、5番目の折り方のときに左に余った直角三角形は、ちょうど
  上に述べた 72°の三角形になります。
  つまり、折ったときに√5-1の辺で挟まれる角は 108°になると
  いうことです。

Q四角の図形の対角線の引き方

こんにちは いつもお世話になっています
ワード2010を使っています。
四角の図形の対角線の引き方について教えてください。
挿入-図形から基本図形で四角を選び、四角を作ります。この時、描画キャンパスの中に作った四角に直線で対角線を引こうとすると、各辺の中央に丸印がついて、角から対角線を引けません。
描画キャンパスの外に四角を作ると対角線が引けます。
描画キャンパスの中で四角に対角線を引く方法はあるのでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

文章が[互換モード]になっていて,描画オブジェクト枠の中に図形がある場合に,ご相談の状況になります。


方法1)
直線ではなく,フリーフォームを使います。
1つ目の角でシングルクリック,そして対角上でWクリックして描画します。ドラッグするとへなへな線になるので注意。

方法2)
ファイルメニューの情報から「変換」を行い,互換モードを解除します。
直線をコーナ部から引っ張ることが出来るようになります。

Q正五角形の作図と証明

正五角形の作図ですが、いまいち解りません。宜しければ、回答ください。また、出来れば、その作図が成り立つ証明も教えてください。参考URLも添付してくれれば、嬉しいです。

Aベストアンサー

正五角形の作図は、円分方程式
 x^5=1 …(1)
を解くことに帰着します。(1)は、
 (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
 ∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
 ∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2)
と同値です。
 t=x+1/x
とおけば、
 t^2=x^2+1/x^2+2
 ∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3)
(3)を(2)に代入すれば、
 t^2+t-1=0
 ∴ t=(-1±√5)/2.
ここで、
 t=(-1+√5)/2
なら、
 x+1/x=(-1+√5)/2
 ∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0
 ∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4)
また、
 t=(-1-√5)/2
なら、
 x+1/x=(-1-√5)/2
 ∴ x^2+{(1+√5)/2}x+1=0
 ∴ x=(-1-√5)/4±√(10-2√5)i/4. …(5)
したがって、(4),(5)の四つの数と
 x=1
が、正五角形の頂点の座標になります。すなわち、単位円を書き、直線
 x=(-1+√5)/4
を作図すれば、
 (1,0)
と合わせて、二つの頂点を得ることができます。

正五角形の作図は、円分方程式
 x^5=1 …(1)
を解くことに帰着します。(1)は、
 (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
 ∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
 ∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2)
と同値です。
 t=x+1/x
とおけば、
 t^2=x^2+1/x^2+2
 ∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3)
(3)を(2)に代入すれば、
 t^2+t-1=0
 ∴ t=(-1±√5)/2.
ここで、
 t=(-1+√5)/2
なら、
 x+1/x=(-1+√5)/2
 ∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0
 ∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4)
また、
 t=(-1-√5)/2
なら、
 x+1/x=(-1-√5)/2
 ∴ x^2+...続きを読む

Q四角形対角線交差角度

四角形ABCDの対辺長さ(AB,CD)とその対角線長さ(AD,BC)
がわかっているときその対角線の交差する角度を計算する方法を教えてください。

Aベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
すなわち、四角形ABCDと四角形ABC'D'は共に条件を満たす四角形ですが
対角線のなす角は常に∠APB=∠AP'Bとはなりません。

つまり、四角形ABCDの形状は一意に確定しません(異なる形状の四角形ABCDが何通りも作図できます。)
条件を満たす四角形ABCDの対角線の交点をPに対して、∠APB≠一定です。
つまり、条件を満たす異なる四角形ABCDについて対角線の交点Pは、同じ円弧上にない(円周角∠APBが同じではない)ので、∠APBは一定ではない。つまり∠APBは辺AB,BC,対角線AC,BDだけでは求まらないということです。

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
すなわ...続きを読む

Q自作:正五角形辺上の4点でできる四角形の面積最大値

なんとなく自作問題をつくったのですが・・・

1辺長がaの正五角形上に相異なる4点があります。
この4点が動くとき、この4点によって掲載される四角形の最大値をとくにはどうすればいいですか?

簡単だと思ったのですが、とけませっm.。。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正五角形の3頂点と、残りの2点を結ぶ辺上の任意の点
を頂点とする四角形が、面積最大でしょうね。証明はメンドクサ。

Q対角線の長さが分かっている場合、正方形のいっぺんの長さはどうやって計算

対角線の長さが分かっている場合、正方形のいっぺんの長さはどうやって計算すればいいでしょうか?
辺の長さを元に対角線を求めるケースは検索で出てくるのですが、私の知りたいことがうまく調べられませんでした。
できればズバリ答えを教えてください…
その対角線とは82.5cmです。
辺の長さは何cmなんでしょうか???よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

何年生ですか?
58.345・・・・・・cmになります。
(ルート2)分の82.5cmで計算します。
ルート2は1.41421356の値です。

平方根は知っていますか?
ルート2とは、ある数値の2乗が2ということです。
直角三角形で底辺の二乗+縦の二乗を計算しその平方根が斜めの線(対角線)という関係を理解してください。
底辺と高さを各々1とすると、それぞれの二乗の和は2ですね、これの平方根が斜めの線です。
ルート2になります。

正方形だから、底辺、高さが各々1なら対角線はルート2になります。
対角線82.5cmをルート2で割れば底辺、高さ各々の長さが分かります。

理解できたかな、大丈夫かな。

Q正五角形の証明

まっすぐで平行な帯状の紙で結び目をつくると、結び目は五角形になります。
これは、たぶん正五角形だと思いますが、このことを数学的に証明することはできるのでしょうか。

あまり難しいことはわからないので、「できる」、「できない」だけの回答でも結構です。

Aベストアンサー

#5のoshiete_gooです.
#6で訂正の通り,#5の仮定は強すぎて誤りでした.
お詫びして撤回させていただきます.

結果としては残りの1組の平行も実は示せるのですが,その距離が他の平行線と同じになることが容易には示せないので,この方針はまずいようです.

ただし,#6で触れたような置きかたをすると,全て左右対称ということが示せて,この回答ではそれを前提にして議論します.

元の五角形ABCDEで三角形ACDをCDのところで展開して伸ばすと菱形ACA'Dができて,折れ線A'CBとA'DEはそれぞれ直線になります.
(証明は略しますが,もともと直線を折り曲げて作った図形を逆に展開しているので,実はあたりまえ.)

そこで,以下のように考えます.

xy平面上に二等辺三角形ABCがあり,A(0,-1),B(-L,0),C(L,0)とします.
これは高さ1の二等辺三角形を考えていることに相当しますが,底辺BC=2Lとしているので,図形的性質を議論する分には一般性を失っていません.(あとで相似を保って拡大・縮小すればよい.)

この二等辺三角形ABCをx軸に平行に頂点Aから距離t
(1/2<t<1)のところで折り返します.

つまりy=-(1-t)で折り返して頂点AがA'(0,-(1-t)+t)=(0,2t-1)にくるようにします.

このとき,AB,ACとy=-(1-t)との交点をそれぞれ
D,Eとすると,三角形の相似を考えてD(-tL,-(1-t)),E(tL,-(1-t))です.

ここで五角形A'BDECはy軸対称で,当然BC//DEを満たします.
この五角形がA'B//CD(またはA'C//BEでも良いが,y軸対称性から一方で十分)を満たす条件を考えると,
A'Bの傾き=(2t-1)/L
CDの傾き=(1-t)/{L-(-tL)}=(1-t)/{(1+t)L}

両者の平行の条件は (2t-1)/L=(1-t)/{(1+t)L}

整理して (2t-1)(1+t)=1-t
⇔2t^2+t-1=1-t
⇔t^2+t-1=0
これを解いて t=(-1+√5)/2 (∵1/2<t<1)
これは黄金比そのものです.

またこのとき
A'Dの傾き=t/(tL)=1/L
CEの傾き=(1-t)/(L-tL)=1/L
で,A'D//CE,y軸対称性よりA'E//BDも満たすことがいえます.
まだLの決定はしていませんが,平行な5組の線分のうち4組は間隔が一定(テープの幅d)ということからおそらく決定できるものと期待します.

正五角形ならば題意を満たすことは明らかなので,途中の議論に不備がなければ予想は成立しそうですが,
皆様なにとぞ検証とご報告をお願いします.

また,もっとましな議論があればお教え下さい.

#5のoshiete_gooです.
#6で訂正の通り,#5の仮定は強すぎて誤りでした.
お詫びして撤回させていただきます.

結果としては残りの1組の平行も実は示せるのですが,その距離が他の平行線と同じになることが容易には示せないので,この方針はまずいようです.

ただし,#6で触れたような置きかたをすると,全て左右対称ということが示せて,この回答ではそれを前提にして議論します.

元の五角形ABCDEで三角形ACDをCDのところで展開して伸ばすと菱形ACA'Dができて,折れ線A'CB...続きを読む


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