高校2年物理選択のものです。
授業で「斜面を転がる金属球の加速度から、重力加速度の値を求める実験」というのをして、そのレポートをかかなくてはいけないのですが
重力加速度gを求める式の導き方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか。



AB間の距離=l
B点での速度(最速)=v
として、

■加速度aはvとlを用いて表すことができる
■加速度aは重力加速度gとsinθを用いて表すことができる
■sinθは、lとhを用いて表すことができる
つまり、重力加速度gはv,l,hを用いて表すことができる。

ということらしいのですが
私が計算するとg=v^2/2hのような式になってしまい、どうしてもうまくいきません。
どなたかよろしくおねがいします。

「重力加速度の測定について」の質問画像

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A 回答 (3件)

「うまくいかない」というのはどういうことでしょう。


御質問の文章からだけでは分かりません。
式としてわからないということでしょうか。
測定値と式とが一致しないということでしょうか。

エネルギー保存則を用いるとすると
mgh=(1/2)mv^2
となります。
2gh=v^2
ですからvとhを測るとgが出てきます。
θ、lは関係がありません。

実験をされたということですがvはどのようにして測られましたか。
得られたv、hの値を上の式に入れてgを求めるとかなり小さい値になると思います。
g=9.8m/s^2として予想されるvの値を求めて測定値と比べてもらっても食い違いが分かります。

実は斜面を転がる金属球に対して上のように考えるというのは誤っているのです。
上の式は摩擦のない斜面を転がらずに滑るという場合のものです。
運動エネルギーは重心の速度だけで表すことが出来ます。
斜面に摩擦があれば転がリます。この場合は回転運動のエネルギーが別に必要になります。
位置エネルギーの減少=重心の運動エネルギーの増加+重心周りの回転運動のエネルギーの増加+滑ることにより発生した摩擦熱
になります。
滑らずに転がるとします。
摩擦熱の発生はなくなります。
位置エネルギーは2つの運動エネルギーに分配されますので飛び出しの速さは回転を考えていない時に比べて小さくなります。
一様な密度の球の場合、分配の割合は5:2です。
エネルギー保存則は
(5/7)gh=(1/2)v^2
になります。

この場合もθ、lは必要ありません。
滑らずに転がるという条件を実現するためには斜面がゆるくないといけません。摩擦はある程度大きくないと滑ります。でこぼこが目立ってもいけません。

※なぜ5:2になるかという計算には慣性モーメントという量が必要です。

この回答への補足

htms42さん、ご回答ありがとうございます!
質問の仕方が悪くて申し訳ありません。

vは、球がBについたときに、ストップウォッチで
一定の距離Cまで(授業で実験をしたときは44cmでした)の時間をはかって計算で求めるというものでした。


実験の説明では、
この計算式ではg=9.8m/s^2よりもかなり小さい値になってしまうが、それはなぜなのか考察に書きなさい、ということだったんです。
それもわからなかったのですが、その前にgの求め方でつまずいてしまってそこだけ質問してしまいました。
説明が足らずごめんなさい。
どうして値が食い違ってしまうのかということも教えていただけて助かりました。本当にありがとうございます。

補足日時:2009/05/17 20:47
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 エネルギー保存則を使わないとすると次のようになります。



 斜面を転がり落ちるのに要する時間をtとして、等加速度運動であるから(ですよね?)
   v=at       (1)
   l=(1/2)at^2   (2)
(1)式よりt=v/a。これを(2)に代入して解くと、
   a=v^2/(2l)    (A)

 次いで、aは重力加速度の斜面方向の成分だから、
   a=gsinθ     (B)

 sinの定義により、
   sinθ=h/l     (C)

(C)を(B)のsinθに入れ、さらにこれを(A)のaに入れると
   gh/l=v^2/(2l)
よって、
   g=v^2/(2h)
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この回答へのお礼

g-spaceさん、回答ありがとうございます。

g=v^2/(2h)で合っているのですね。求め方も書いていただけて嬉しいです。ありがとうございました!

お礼日時:2009/05/17 20:56

g = v^2 / (2h)



であっていると思いますよ。

・・・ということらしい、というご質問にある過程を経てもよいのでしょうが、もっと簡単な導出は、金属球の質量を m として、エネルギー保存則より

mgh = mv^2 / 2

というものでしょう。
両辺を mh で割れば答えになります。
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この回答へのお礼

kaorineさん、回答ありがとうございます。

g = v^2 / (2h)であっているのですね、よかったです。
エネルギー保存法則から求める方法は知りませんでした。こっちの方が楽ですね!この式も書こうと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/17 21:00

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ふと気がつきましたが、計算してるのは0秒との間の平均速度ですね。
計算しているのは時刻tの位置をy(t)として、

v(t) = [ y(t) - y(0) ] / [ t - 0s ] = y(t)/t

ではないですか?これで数字があいました。
ですが、その時刻の速度(瞬間の速度)を求めるためにはこれではダメです。

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[3]中心差分 v(t2) = [ y(t3) - y(t1) ] / [t3-t1]

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a(t) = [ v(t) - v(0)] / [ t - 0s ] = v(t)/t

を計算しているのではないですか?

やはり今の段階で差分を使うのはいろいろ面倒なので、
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ふと気がつきましたが、計算してるのは0秒との間の平均速度ですね。
計算しているのは時刻tの位置をy(t)として、

v(t) = [ y(t) - y(0) ] / [ t - 0s ] = y(t)/t

ではないですか?これで数字があいました。
ですが、その時刻の速度(瞬間の速度)を求めるためにはこれではダメです。

このようなデータから速度を計算するには3つの方法があります。
三つの時刻t1,t2,t3のデータがあるとして(t1<t2<t3)、

[1]前進差分 v(t2) = [ y(t3) - y(t2) ] / [t3-t2]
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>ちなみに結果が、「4.7cm 5.5cm 5.6cm 6.3cm」です。
>ここまでのデータしかありません。また、記録タイマーは、50Hzです。

 他の方も書かれていますが、このデータはどこの距離なのかが書いてありません。たぶん打点間の間隔を次々と量ったもののように思われますが、記録タイマーからのデータとしては、ある基準点からそれぞれの点までの距離を測定することも普通に行なわれるので、そのあたりをきちんと書かないと、きちんとした回答が得られませんよ。

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○各区間ごとの速度変化ΔVの平均を各区間の時間で割ります。今回ならば、50Hz なので、各区間での時間は 1/50s ですから、1/50 で割ります。

これで加速度が求まります。

 ちなみに、ここで挙げられたデータで上記の計算してみると、980cm/s^2 とはかなりかけ離れた数値になるようです。

>ちなみに結果が、「4.7cm 5.5cm 5.6cm 6.3cm」です。
>ここまでのデータしかありません。また、記録タイマーは、50Hzです。

 他の方も書かれていますが、このデータはどこの距離なのかが書いてありません。たぶん打点間の間隔を次々と量ったもののように思われますが、記録タイマーからのデータとしては、ある基準点からそれぞれの点までの距離を測定することも普通に行なわれるので、そのあたりをきちんと書かないと、きちんとした回答が得られませんよ。

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まず、誤解があるようです。
重い物体の方が軽い物体より速く落ちるわけではありません。
空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
多分、「重い物体」を鉄の玉、「軽い物体」を羽毛や紙、とした説明を聞いたのだと思います。
この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
でも、「重い物体」でも空気抵抗の影響が大きい形状をしているならば、必ずしも速く落ちるとは言えません・・・まあ、羽毛や紙よりかは速く落ちるでしょうけれど(^^;)
それから、斜面の場合でも一概には言えません。
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まず、誤解があるようです。
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微分方程式についての教科書には必ず載っているはずです。書籍を参照もしてみてください。

たとえば、

dy/dx=f(x)/g(y)

という微分方程式を

g(y)dy = f(x)dx

というように変形し、両辺で積分することで微分方程式を得ることができます。

∫g(y)dy = ∫f(x)dx



G(y) = F(x) + C

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厳密な理論に基づいて考えると、突っ込みどころ満載なのですが、
ただ解くのが目的であればこれでよいと思います。

質問の場合は、上に於いて

g(y) = y
f(x) = -x

としたときですので、

結局答えは、

(1/2)y^2 = -(1/2)x~2 + C

    ↓

x^2 + y^2 = C

になります。

境界条件が存在する場合は、それを答えの式に代入してCを求めてください。

初期値が与えられていれば、ラプラス変換という手法を用いて解くことも可能です。

この微分方程式は、「変数分離型」の微分方程式の典型的な問題の一つです。
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たとえば、

dy/dx=f(x)/g(y)

という微分方程式を

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というように変形し、両辺で積分することで微分方程式を得ることができます。

∫g(y)dy = ∫f(x)dx



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Cは積分定数、G(y)=g'(y), F(x)=f'(x)です。

厳密な理論に基づいて考えると、突っ込みどころ満載なのですが、
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