高校2年物理選択のものです。
授業で「斜面を転がる金属球の加速度から、重力加速度の値を求める実験」というのをして、そのレポートをかかなくてはいけないのですが
重力加速度gを求める式の導き方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか。



AB間の距離=l
B点での速度(最速)=v
として、

■加速度aはvとlを用いて表すことができる
■加速度aは重力加速度gとsinθを用いて表すことができる
■sinθは、lとhを用いて表すことができる
つまり、重力加速度gはv,l,hを用いて表すことができる。

ということらしいのですが
私が計算するとg=v^2/2hのような式になってしまい、どうしてもうまくいきません。
どなたかよろしくおねがいします。

「重力加速度の測定について」の質問画像

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A 回答 (3件)

「うまくいかない」というのはどういうことでしょう。


御質問の文章からだけでは分かりません。
式としてわからないということでしょうか。
測定値と式とが一致しないということでしょうか。

エネルギー保存則を用いるとすると
mgh=(1/2)mv^2
となります。
2gh=v^2
ですからvとhを測るとgが出てきます。
θ、lは関係がありません。

実験をされたということですがvはどのようにして測られましたか。
得られたv、hの値を上の式に入れてgを求めるとかなり小さい値になると思います。
g=9.8m/s^2として予想されるvの値を求めて測定値と比べてもらっても食い違いが分かります。

実は斜面を転がる金属球に対して上のように考えるというのは誤っているのです。
上の式は摩擦のない斜面を転がらずに滑るという場合のものです。
運動エネルギーは重心の速度だけで表すことが出来ます。
斜面に摩擦があれば転がリます。この場合は回転運動のエネルギーが別に必要になります。
位置エネルギーの減少=重心の運動エネルギーの増加+重心周りの回転運動のエネルギーの増加+滑ることにより発生した摩擦熱
になります。
滑らずに転がるとします。
摩擦熱の発生はなくなります。
位置エネルギーは2つの運動エネルギーに分配されますので飛び出しの速さは回転を考えていない時に比べて小さくなります。
一様な密度の球の場合、分配の割合は5:2です。
エネルギー保存則は
(5/7)gh=(1/2)v^2
になります。

この場合もθ、lは必要ありません。
滑らずに転がるという条件を実現するためには斜面がゆるくないといけません。摩擦はある程度大きくないと滑ります。でこぼこが目立ってもいけません。

※なぜ5:2になるかという計算には慣性モーメントという量が必要です。

この回答への補足

htms42さん、ご回答ありがとうございます!
質問の仕方が悪くて申し訳ありません。

vは、球がBについたときに、ストップウォッチで
一定の距離Cまで(授業で実験をしたときは44cmでした)の時間をはかって計算で求めるというものでした。


実験の説明では、
この計算式ではg=9.8m/s^2よりもかなり小さい値になってしまうが、それはなぜなのか考察に書きなさい、ということだったんです。
それもわからなかったのですが、その前にgの求め方でつまずいてしまってそこだけ質問してしまいました。
説明が足らずごめんなさい。
どうして値が食い違ってしまうのかということも教えていただけて助かりました。本当にありがとうございます。

補足日時:2009/05/17 20:47
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 エネルギー保存則を使わないとすると次のようになります。



 斜面を転がり落ちるのに要する時間をtとして、等加速度運動であるから(ですよね?)
   v=at       (1)
   l=(1/2)at^2   (2)
(1)式よりt=v/a。これを(2)に代入して解くと、
   a=v^2/(2l)    (A)

 次いで、aは重力加速度の斜面方向の成分だから、
   a=gsinθ     (B)

 sinの定義により、
   sinθ=h/l     (C)

(C)を(B)のsinθに入れ、さらにこれを(A)のaに入れると
   gh/l=v^2/(2l)
よって、
   g=v^2/(2h)
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この回答へのお礼

g-spaceさん、回答ありがとうございます。

g=v^2/(2h)で合っているのですね。求め方も書いていただけて嬉しいです。ありがとうございました!

お礼日時:2009/05/17 20:56

g = v^2 / (2h)



であっていると思いますよ。

・・・ということらしい、というご質問にある過程を経てもよいのでしょうが、もっと簡単な導出は、金属球の質量を m として、エネルギー保存則より

mgh = mv^2 / 2

というものでしょう。
両辺を mh で割れば答えになります。
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この回答へのお礼

kaorineさん、回答ありがとうございます。

g = v^2 / (2h)であっているのですね、よかったです。
エネルギー保存法則から求める方法は知りませんでした。こっちの方が楽ですね!この式も書こうと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/17 21:00

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ちなみにN/1000g=10^-3N/gがg用の重力加速度ってことか!

Aベストアンサー

 力学で使われるのがMKS単位系です。m(メートル)、kg(キログラム)、s(秒)が基本的な単位です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/MKS%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

 N(ニュートン)は、基本的な単位を使った組み立て単位と呼ばれるもので、kg・m/s^2となります。

 たとえば、N/kgはm/s^2となりますから、確かに加速度の単位となっています。

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 しかし、力学だけでもMKS単位だけでなく、CGS単位系というのもあります(基本単位はcm, g, s)。こちらの方が、古くからあり、使われる場合もあります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/CGS%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

 さらに電磁気学で必要な電流を単位に加えたMKSA単位系があります(MMKS単位系にアンペア:Aを加えたもの)。

 これをさらに拡充して、各国共通で使う取り決めがなされたのが国際単位系(SI単位系)があります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

 その他に、工学や技術では、重力単位系というものもあります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

 どの単位系を使うにせよ、その単位系の基本となる単位で計算するよう、注意する必要があります。

 また、個人独自の単位系を考案して使うことが便利であったりすることもありますが、他の人へ伝えたりする場合は、上記でご紹介したよく知られた単位系に直すことも必要でしょうね(実は、体積にcm・m^2なんてものを使ったりしたことがありますが、もちろん他人にはm^3に直して伝えていました)。

 力学で使われるのがMKS単位系です。m(メートル)、kg(キログラム)、s(秒)が基本的な単位です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/MKS%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

 N(ニュートン)は、基本的な単位を使った組み立て単位と呼ばれるもので、kg・m/s^2となります。

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もしそうなら、空気抵抗の計算は良くわからないので、摩擦力だけを考慮したらどういった加速度の計算式になるのか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず、誤解があるようです。
重い物体の方が軽い物体より速く落ちるわけではありません。
空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
多分、「重い物体」を鉄の玉、「軽い物体」を羽毛や紙、とした説明を聞いたのだと思います。
この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
でも、「重い物体」でも空気抵抗の影響が大きい形状をしているならば、必ずしも速く落ちるとは言えません・・・まあ、羽毛や紙よりかは速く落ちるでしょうけれど(^^;)
それから、斜面の場合でも一概には言えません。
全く摩擦の無い斜面ですと、物体は加速g・sinθ (θは斜面の傾き角)で滑り降りますが、
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そんなわけで、重い物が速く転がって、軽い物が遅く転がるとは言えません。
例えば、斜面との摩擦が大きいゴム製の直方体と摩擦の小さい紙で作った同じ大きさの直方体
を斜面上において、同時に手を離したとします。
ゴム製の直方体は摩擦が大きくて、斜面上で静止し、
紙製の直方体はスーッと斜面上を滑り落ちていく、なんて事もあります。
確かに、斜面の実験で重力加速度を求めることは可能ですが、実験上の様々な事柄を考慮しないと、求めることはできません。

まず、誤解があるようです。
重い物体の方が軽い物体より速く落ちるわけではありません。
空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
多分、「重い物体」を鉄の玉、「軽い物体」を羽毛や紙、とした説明を聞いたのだと思います。
この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
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 -mg = ma
となるので、
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 -mg + Fs = ma
となります。左辺が「働く力」、右辺が「ロケットの運動」です。
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質量mのエレベーターが加速度aで上昇しているとき、重力加速度をgとすると、
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よろしくお願いします。

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m(g-a)
となります。

,,,,,,,,↑T=m(a+g)
____________________
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|↑a、↓g
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|
|,,,,,,,l,,,,,,,,,,|
|,,,,,,,|,,,,,,,,,,|
|,,,,,,○,,,,,,,,,,|
|,,,,,,↓m(a+g),,,,|
|,,,,,,,,,,,,,,,,,,|
|__________________|

Q土星の重力加速度はなぜ金星と変わらないのでしょうか?

8.87 m/s² 金星の重力加速度
8.96 m/s² 土星の重力加速度

質量は桁違いのはずなのに?

Aベストアンサー

こんばんは。

それは、「表面重力加速度」ですよね?

金星の中心から、金星の半径だけ離れたところ(=金星の表面)ではなく、
金星の中心から、土星の半径だけ離れたところでの金星の重力加速度は、やはり桁違い(質量に比例)になります。


さて、
表面での重力加速度が、質量に比例し、半径の2乗に反比例するとして比較すれば、

金星の質量は、4.869×10^24 kg
金星の半径は、6051.8 km

土星の質量は、5.688×10^26 kg で、金星の約100倍
土星の半径は、60268 km で、金星の約10倍

したがって、土星表面での重力加速度は、
金星の100倍の質量/(金星の10倍の半径)^2 = 金星の1倍

というわけで、
両者の表面での重力加速度は、ほぼ同じであるということは、つじつまが合います。


以上、ご参考になりましたら。

Q重力加速度g=9.8m/sから重力定数を逆算する

地球の密度=ρ[kg/m^3]で一定であると仮定すると、地表の1地点における重力加速度の値(g=9.8m/s)から、重力定数Gを逆算できると思います。

おそらく、


半径R(=6500km)の球Aの表面の1点から、半径rの球Bを描き、

球Bの表面積のうち、球Aの内部に重なる部分の表面積にr^(-2)・drを乗じ、

それをr=0からr=2Rまで積分し、

それに定数ρ・Gを掛け算する、

その答えがgに等しい


・・・・・という考え方で求められると思うのですが、

この問題を自分自身で考えたにも関わらず、(笑)
「球Bの表面積のうち、球Aの内部に重なる部分の表面積」
という部分の計算をどうやればよいのか分かりません。

どなたか、教えてください。



なお、
話を簡単にするため自転の影響のない、北極や南極におけるgが9.8とします。

Aベストアンサー

地球表面における重力加速度から万有引力定数を求めることが可能であるのは、改めて申し上げるほどもないことです。
その場合簡単には「均質な球形の物体が及ぼす重力は、その物体の全質量が集中した質点を球の中心においた場合に、その質点が及ぼす重力に等しい」という定理を借りてきて、F = GMm/r^2に代入して解かれることが多いのはご承知の通りです。(G: 万有引力定数 M: 地球の質量 m: 物体の質量 F: 物体に作用する重力 r: 地球の半径)

質問者さんは「同質量の質点を球の中心に置いた場合と等価」という個所に引っ掛かり、この部分を積分で厳密に計算(証明)されようとしたものと拝察いたします。
なるほど、わずかな厚みdrを有する球面Bで、球Aの内部に存在する部分の表面積(厚みdrをかけて「体積」と言っても良い)を数式で表せればよいような気はします。ところがその前にもう一つ検討すべきことがあります。

力はご承知のようにスカラーでなくベクトルです。球面Bが球Aから切り取る、「お皿形」とでも呼ぶべき立体において、その底(球Aの中心と球面Bの中心を結ぶ軸との交点)の部分が及ぼす重力は、確かに球Aの中心を向いています。ところがその「お皿形」の縁に近い部分が及ぼす重力はどうでしょうか。そうです、軸方向(球Aの中心方向)は向いていないのです。軸方向成分とそれ以外の成分とで分けて考える必要があるということです。

この「お皿形」上の任意の微小体積要素dVが、地球表面上の物体(質量m)に及ぼす力Fは、スカラー的には確かにどこでも
F = G ρdV m/r^2  (1)
です。ところがこの「お皿形」の全表面についてFを足しあわせるなら、それはベクトル的に行わなくてはなりません。お皿形の面積をSとしたとき、その「お皿形」の全体が物体に及ぼす力は(スカラー的足し算である)
F = G ρS dr m/r^2  (2)
とはならないわけです。
上で述べたように縁に近い部分の要素ほど(球Aの中心方向への)寄与が少なくなりますから、それを正しく評価する必要があります。
よって、質問者さんの方法(球面Bが球Aを貫く部分の表面積を、rの関数として求める)ではうまくないことになります。もう一工夫が必要です。

独力で挑んでおいでですので、ここで解答を書いてしまうことは控えることとします。ただどうしても行き詰まったなら、参考ページ[1]で計算の道筋と実際の計算式が分かりやすく解説されていますので、ご覧ください。

[1] http://kato.issp.u-tokyo.ac.jp/kato/genko/September/September.html

参考URL:http://kato.issp.u-tokyo.ac.jp/kato/genko/September/September.html

地球表面における重力加速度から万有引力定数を求めることが可能であるのは、改めて申し上げるほどもないことです。
その場合簡単には「均質な球形の物体が及ぼす重力は、その物体の全質量が集中した質点を球の中心においた場合に、その質点が及ぼす重力に等しい」という定理を借りてきて、F = GMm/r^2に代入して解かれることが多いのはご承知の通りです。(G: 万有引力定数 M: 地球の質量 m: 物体の質量 F: 物体に作用する重力 r: 地球の半径)

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Q中学生です。重力加速度について自由研究をしています。ボール落下をビデオ

中学生です。重力加速度について自由研究をしています。ボール落下をビデオに撮影し、コマ送りにして落下距離を測定しました。(インターネットにあったので)
0.1秒ごとに何センチ落下したかをまとめました。重力加速度は0.1秒間に落下した距離を計算し、速さ(距離cm÷0.1秒)を求めれば0.1秒の重力加速度が出るのでしょか?それを10倍しさえすれば、重力加速度 cm/秒となるのでしょうか。
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数秒間の移動を0.1秒ずつに分けて、秒速を出しました。その平均を出せば、980cm/秒2 になるのでしょうか?
ボールの速さを距離÷時間で求めればそれが重力加速度なのかが分かりません。どうか教えてください。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

重力加速度を求める時はよく次のような表にまとめることをやります。

       A       B         C          D
時間(秒) 距離(m)  速度(m/s)
0.0    ----- ------速度の変化(m/s) 加速度(m/s^2)
-----       |         ------   -------
0.1    ----- ------         |
-----       |         ------   -------
0.2    ----- ------         |
-----       |         ------   -------
0.3    ----- ------         |
-----       |         ------   -------
0.4    ----- ------         |
-----       |         ------   -------
0.5    ----- ------

0.1秒ごとの位置の変化は既に求めておられるようですね。     ・・・A
Aに出てきている距離を時間間隔の0.1秒で割ると速さが出てきます。・・・B
速さも0.1秒ごとに変化しています。
その変化を求めます。                       ・・・C
速度の変化の起こっている時間間隔で速度の変化を割ると加速度になります。・・・D

Dでの値がほぼ一定であることが分かると等加速度運動であるということになります。

速さの変化(m/秒)/時間間隔(0.1秒)を計算しますから単位は m/(秒)^2 になります。

重力加速度を求める時はよく次のような表にまとめることをやります。

       A       B         C          D
時間(秒) 距離(m)  速度(m/s)
0.0    ----- ------速度の変化(m/s) 加速度(m/s^2)
-----       |         ------   -------
0.1    ----- ------         |
-----       |         ------   -------
0.2    --...続きを読む

Q緯度によって重力加速度gの違う理由

アフリカのザンビアで物理を
教えています。
上記の件について、日本では地球の自転の
遠心力によるものだと習いましたが、
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どっちももっともらしい説明なのですが、
中心からの距離説をとると、
極地から地球の中心までの距離を1とすると、
赤道上からは、1.003。
重力は距離の2乗に反比例するので、
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0.994かけると、9.77。実際には、赤道上で9.78m/s2
ですが、これだけで説明がついてしまいます。
しかし、日本のどの本読んでもそんなこと書いてないし・・・どう説明したらいいのでしょう。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

 
 
>> 計算しようとしたのですが、楕円の場合の積分が難しくてできませんでした。 <<

 1/r^2 則だけを武器に真正面から挑むのは苦戦すぎます、解はルジャンドル関数です。下記はルジャンドルで検索したなかの手頃なサイトです。
( これは電気の方では「電荷が張る電場を求める=ラプラス方程式を解く」として学生にスキルアップを強いる定番の問題です。 じつは「身近にある帯電した楕円体」の代表は原子核でして、原子を学ぶ最初の方でもこの積分をやります、身近に地学が居なかったら電気か物理屋を捕まえましょう。)

↓イントロ。遠心力は高校教科書的な式では 円周速度^2/回転半径 ですが、その式の元は 回転半径×回転速度^2 です。×はベクトルの外積。
http://wwwsoc.nii.ac.jp/geod-soc/web-text/part4/4-5/4-5-1.html

↓ポテンシャルでの説明。 老婆心ながらポテンシャルは位置エネルギです。水面は位置エネルギの差があるとそっちに向かって流れて平らになりますよね、楕円の表面でも同じことでして 「重力と遠心力のベクトル和の、水面に平行な成分がゼロ」になるような傾きに水面が動きます。その結果が楕円です。
http://wwwsoc.nii.ac.jp/geod-soc/web-text/part4/4-5/4-5-7.html

↓球座標表現。普通は(rθφ)のθが緯度でφが経度ですが、φは緯度のようです。
http://wwwsoc.nii.ac.jp/geod-soc/web-text/part4/4-5/4-5-8.html


↓楕円近似の扁平率の実際値。
歴史的にはニュートンが上記の「水面が局地的に水平」で解いて、楕円の式を得、当時の地球諸元測定値から 1/230 を得てます。 日本は近年までベッセル楕円体を使ってたそうですが今は GRS80 のようです。GRS80:1/298.257222101
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/datum/tokyodatum.html#p1

 上記に続けて、このニュートン考案の「水だけの地球モデル」から「ジオイド=geo+ido=地球+のようなもの」というモデルが生まれましたが、実際の地球の凸凹を含ませた「単純な理屈でない実用に耐えるモデル」に育ちましたので 単純楕円ではなくなりました。そこで、それを単純楕円で近似したものを「Earth ellipsoid=地球+楕円のようなもの」と呼んでます。 「ジオイド」という用語を持ち出すと生徒には難しすぎだし、それイコール単純楕円ではないので配慮が必要ですね。



>> 楕円か日本理科式か <<

 「もし地球が回転してなかったら形は真円球。現実には回ってるから遠心力で楕円形。どっちを地球の姿として教えるのかでしょうね。 ただし、楕円に変形したから遠心力が相殺されて消え去ったわけではないので、教えなくて 言わなくて 済むわけではないです。 半径変化は微々たるものだから遠心力そのものはほとんど変わらず存在してます。( 相殺されたのはあくまで「水モデルの水面への方向余弦の成分」だけです。)
 そして一方 ( No3 で計算したように) 遠心力そのものの緯度差は 実際の重力差より 一桁小さいです。
 ゆえに 『 重力差の大部分は楕円形ゆえ。遠心力の影響はその数分の1、』 というのが適切だと思います。 ただ『その楕円も遠心力ゆえ』というのは100%賛同です。

 もし『遠心力』としか言わないで終わると、ベクトルを書ける生徒の脳内で「真円+ベクトルの図」が生まれてしまうのでは(日本のように)。 生徒みずからがニュートンなみの思考力「水は方円に従う」に至れるのは一部の才ある生徒だけと思います。

 
 

 
 
>> 計算しようとしたのですが、楕円の場合の積分が難しくてできませんでした。 <<

 1/r^2 則だけを武器に真正面から挑むのは苦戦すぎます、解はルジャンドル関数です。下記はルジャンドルで検索したなかの手頃なサイトです。
( これは電気の方では「電荷が張る電場を求める=ラプラス方程式を解く」として学生にスキルアップを強いる定番の問題です。 じつは「身近にある帯電した楕円体」の代表は原子核でして、原子を学ぶ最初の方でもこの積分をやります、身近に地学が居なかったら電気か物理屋を...続きを読む

Q重力加速度について

重力加速度は地球上ではだいたい9.8mですよね。
月では重力が地球の1/6だから重力加速度も9,8/6
この考え方でいいですか?
あと例外とかありますか?

Aベストアンサー

月面での重力加速度=9.8[m/s^2]÷6
であってますよ。

>あと例外とかありますか?
月面重力が表と裏でわずかに違う。月は重心が中心にないから。
http://www.astroarts.co.jp/news/2007/11/12kaguya_gravity-field/index-j.shtml
しかし1/6などと言っているレベルでは、ここまで考える必要はない。

Q浮力=比重×体積×重力加速度ですよね?

質量60gで体積10cm3のaと、質量40gで体積20cm3のbを、木の棒の両端にぶら下げている。棒はaから20cm,bから30cmのところで糸で支えている。aは比重1の水200cm3の中に、bは比重0.8の油300cm3の中につるした状態のまま入れている。Aは椅子のうえ、Bは秤の上に乗せたとき、Aの方に棒は傾いていた。秤はいくつをさすか?ただし水と油はともに100gのビーカーに入れていた。
この問題の解説で浮力は比重×体積ってでてきたんですけど、重力加速度はかけないんですか?

Aベストアンサー

>浮力=比重×体積×重力加速度ですよね?

 液体の浮力の問題なので、数値として正しくなりますが、厳密には間違いです。上記だと、右辺の単位が力の次元量になりません。浮力は、

 浮力=流体の密度×体積×重力加速度

です。比重=流体の密度/水の密度(無次元量)ですから、

 浮力=比重×水の密度×体積×重力加速度

となり、両辺が力の次元量となります。

 ここで、水の密度を1とすれば見かけ上、お示しの式になります。両辺の次元量を一致させるための定数が1であるため、厳密に考えると、一見は次元が合わないような形になっています。

 仰る通り、重力加速度を掛けなければいけません。

「浮力は比重×体積」なんて、どんでもない解説です。力が体積なんて理解不能です。
 質量の次元を合わせる1[g/cm^3](CGS単位系)を省略したと考えても、さすがに重力加速度が1[単位?]なんて勝手な単位系は許されないでしょうね。

 それで、済みません。徹夜してまだ起きてて、数式作るのと数値の計算は間違いそうです(さっき数学カテで簡単な式変形で変数書かない大ぽかしてきましたorz)。

 後はお願いします。m(_ _)m

>浮力=比重×体積×重力加速度ですよね?

 液体の浮力の問題なので、数値として正しくなりますが、厳密には間違いです。上記だと、右辺の単位が力の次元量になりません。浮力は、

 浮力=流体の密度×体積×重力加速度

です。比重=流体の密度/水の密度(無次元量)ですから、

 浮力=比重×水の密度×体積×重力加速度

となり、両辺が力の次元量となります。

 ここで、水の密度を1とすれば見かけ上、お示しの式になります。両辺の次元量を一致させるための定数が1であるため、厳密に考えると、一見は次元が合...続きを読む


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