F(t)=∫ f(t-s)g(s) ds [0,t]
で定義されるF(t)について質問します。

このF(t)をf(t)のラプラス変換f(p)と、g(t)のラプラス変換g(p)を用いて表したいのですが
どうやってやればよいのかアドバイスをよろしくお願いします

A 回答 (1件)

記号を変えさせて頂きます。


h(t)=∫ f(t-τ)g(τ) dτ [0,t]
h=f*g (*は合成積を表す記号)とする。L{h(t)}でh(t)のラプラス変換を表す記号とする。

L{h(t)}=L{f*g}=∫[0,∞](∫ f(t-τ)g(τ) dτ [0,t])e^(-st)dt

L{f(t)}=F(s)
L{g(t)}=G(s)
で表す。(sの実部R[s]で積分は絶対収束を仮定)


F(s)G(s)
={∫[0,∞]f(u)e^(-su)du}・{∫[0,∞]g(v)e^(-sv)dv}
=∫∫f(u)g(v)e^(-s(u+v))dudv・・・・・(1) (積分領域:u>0 , v>0)

今、u=t-τ、v=τとして(t,τ)面で変数変換する。すると
du=dt、dv=dτ

そうすると(1)の右辺は
∫∫f(u)g(v)e^(-s(u+v))dudv
=∫∫f(t-τ)g(τ)e^(-st)dtdτ
=∫[0,∞](∫ f(t-τ)g(τ) dτ [0,t])e^(-st)dt
=L{h(t)}
=L{f*g}

よってL{f*g}=L{f(t)}・L{g(t)}=F(s)G(s)
つまり、合成積のラプラス変換は、各の関数のラプラス変換の積で表せる。
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この回答へのお礼

早速のお返事、ありがとうございます。
大変参考になりました。

お礼日時:2009/05/17 16:52

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