ランジェバン方程式は単純にニュートンの運動方程式にランダム力の項を付け加えただけのように思うのですが、合っていますか?

これを何がすごいのか分からないのですが、本当にこれだけなのでしょうか?

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A 回答 (1件)

ラジェバン⇒ランジュバン方程式



 水上に浮かぶブラウン粒子である花粉が乱雑に運動する多数の水分子の衝突を受けて加速され、運動を始めた花粉が同時に水分子からの抵抗により減速される様子は下に示されるランジュバン方程式により記述される。
これは力学の基本方程式であるニュートンの運動方程式において、物体に働く力が乱雑な衝撃力と抵抗力にとりかえられたものです。
この方程式を原子核の形状のブラウン運動に適用するのには、もう一つの力の項が追加されなければならない。
 二つの原子核の接触点で相対運動エネルギーを散逸してしまった系は、鞍部点にあるポテンシャル障壁を越えないと融合できない。
このポテンシャルが粒子に及ぼす力は、ポテンシャルの傾きに比例し、その傾きの符号の逆向きに働く。
接触点では傾きは負であるので力は正の方向、つまり、右側に粒子を動かすように働く。
従って、鞍部点を越えるためにはポテンシャルにより働く力に逆らって運動しなければならないことになる。
 m:ブラウン粒子の質量
 v:ブラウン粒子の速度
 γ:摩擦係数
 R(t):乱雑な力
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Q数学問題、どう見ても方程式使って解く問題がある

一流校といわれ誰もが知ってる中学の入試問題(数学)を見ました。
変数こそ使ってませんが、どこから見ても方程式で、□に入る数字を答えよとの問題でした。私は理系大卒なので普通に方程式で解けますが、確か小学校の教育課程に方程式は無かった筈です。

方程式以外でどうやって解くのでしょう?あるいは方程式を使って解いてもいいのでしょうか?方程式を使うのが現代の私立中学受験の常識なのでしょうか?

Aベストアンサー

方程式で解きます。

 そもそも指導要領というのは文科省が勝手に決めているもので、学校はそれに従わないと認可が下りないから一応従ってるだけです。高偏差値の中学校では指導要領の範囲内では合否が判定できる問題が作れないほど受験生のレベルが上がってるとも言えます。また進学校では有名大学に合格できる生徒がほしいわけで、多少進んだ範囲の勉強ができている生徒がほしいのでしょう。高校受験では数学IAがほぼ完了しているレベルを求める学校もあります。(開成高校など)

 東大の入試問題では「円周率が3,06(たしかこの数字です)より大きいことを証明せよ」という問題が出ました。来春から円周率が「およそ3」になる学習指導要領変更時直前の時です。東大だから話題になったこともありますが…。東大が学習指導要領に反対した例です。

 ちなみに小学校でも比例の式「Y=AX」と反比例の式は習います。文字は使ってます。
ご参考までに。
 

QLagrangeの運動方程式→Lorentz力によるNewton運動方程式

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のどこかにあるといいですが。

Qマックスウェル方程式の問題について

授業でマクスウェル方程式の問題がでました。その問題は、
「マックスウェル方程式から、誘電率、透磁率、導電率それぞれの勾配がゼロ(∇ε=0、∇μ=0、∇κ=0)の一様な媒質中を伝搬する磁界H(ベクトル)の波動方程式を導出しなさい。」という問題ですが、まず磁界に関する波動方程式は、∇^H-μ(εd^2H/dt^2+κdH/dt)=0、であっていますか?あと解き方がまったく分からないので、ヒントなどもらえるとうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

波動方程式は、∇^2H-μ(ε∂^2H/∂t^2+κ∂H/∂t)=0、であっています。
一般に、スカラー関数fに対し、∇f=0ならf=const.はほぼ自明。
rot H=ε∂E/∂t+κE の両辺にrotをとり、等式 rotrot=grad div-∇^2,
divH=0を使う。

Qニュートンの運動方程式の表示方法?

 前日、学校でニュートンの運動方程式について
習ったのですが、ある問題で
 ニュートンの運動方程式を、ベクトル表示、デカルト表示、2次元の極座標表示で書けとあり、どういうことかよくわかりません。この3つはどのようにかくのですか? どなたか教えていただけませんか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ニュートンの運動方程式
取り敢えず式のみ。

ベクトル表示で
   →   →
md^2r/dt^2=F
(rとFはベクトルで上に→が付いている)

デカルト表示で
md^2x/dt^2=Fx
md^2y/dt^2=Fy
md^2z/dt^2=Fz   →
ただし、Fx,Fy,Fzは力Fのx,y,z成分です。

2次元の極座標で
mAr=Fr
mAθ=Fθ
ただし、
Ar=d^2r/dt^2-r(dθ/dt)^2
Aθ=2dr/dt・dθ/dt+rd^2θ/dt^2
   →
Frは力Fの動径方向の成分
   →
Fθは力Fの動径方向と直角な方向の成分

です。
大学の図書館に行き、教養の物理の本に書いてあります。

Q2次方程式の問題です

2次方程式の問題です

次の方程式を解け

(1) 5x^23+3x-9=0

(2)16x^2+25=40x

この問題が解けないので誰か教えてください

Aベストアンサー

(1),(2)共に解の公式を使ってください。

Qニュートンの運動方程式について

ニュートンの運動方程式がなぜ2階微分方程式の形になるのか疑問に思っています。wikiboooksの古典力学の項には「数学的には、の三階以上の時間微分を含む方程式を考える事もできるが、ニュートンの決定性原理により古典力学の記述にはそのような高階の微分が不要であることが分かっているのである。」「多くの力学に関する実験結果によれば、ある時点で観測対象としている全ての質点の位置と速度が分かっていればその後、質点がどのような運動をするのか?ということが決まってしまう。この事実はニュートンの決定性原理と呼ばれる。」とありますが、この原理の根拠となっている”実験”に関して、(当時の)人々には三階微分の必要性を見出すほどの精密な実験ができなかったからという気がしてなりません。加速度などの初期条件の違いが運動に反映されないなんてあまり納得できません。(確かに日常的な運動を記述する際は問題ないのかもしれませんが)より正確な三階微分以上の方程式を用いた記述はなされないのでしょうか?

Aベストアンサー

ニュートンの第1法則がその理由かと思います。力が外部から働かない限り、物体の運動は変化しない、という設定はかなり深いものがある。運動をどのように記述するかを考えた際、現在「慣性の法則」と呼ばれている法則を法則としている理由を考える必要があろうかと思います。

われわれの世界には既に「宇宙」としての他の物質の存在があるわけですが、いま「この宇宙にただ1つの物体がある方向に一定速度で飛んでいる」ことを想像してみます。「宇宙」に特別な構造がなければ、この物体の運動はだぶんその運動を続けると考える。「宇宙」にはなんらかの構造があるでしょうが、その1つの物体の「近く」に特別影響を与えるものがない限りにおいてたぶん正しい。

そういう仮定のもとで、運動量を変化させる「原因」というものを「力」と考えて、ニュートンはあの運動方程式を第2法則として置いたわけです。だから、運動方程式は「第2」で慣性の法則が「第1」なのでしょう。

運動方程式は
(運動量の時間的変化量)=(その物体に働く力)
というかたちをしています。左辺の(運動量の時間的変化量)のなかには位置の時間微分は二階までで普通「質量」x「加速度」のかたちになっていますが、右辺の「力」はどんな時間の関数でもいいわけです。時には、速度に関係した力もあるわけです。

ニュートンの運動方程式の「すごい」ところは、(運動量の時間的変化量)の「原因」を「力」という概念に置いたところだと思います。

それは「三階微分の必要性を見出すほどの精密な実験ができなかったから」ではなくて、「運動(量)の変化」を考えるのにそれで「十分だった」からだと思います。

「加速度などの初期条件の違いが運動に反映されないなんてあまり納得できません。」については、「加速度の初期条件」は運動方程式の右辺の「力」に含まれています。

第1回答者さんも書かれているように、ゴールドスタインの古典力学はいい本です。第1章には「逆向き」ですがニュートンの運動方程式から、より一般的なラグランジュの運動方程式を導いています。また、ランダウの「力学」では、彼の天才的考察から、ラグランジュの運動方程式(あるいは、最小作用の原理)を通して、ニュートンの運動方程式を導いています。

これらのことは、ニュートンの運動方程式の左辺に「三階微分」が現れていないことの説明になっていると思われます。

高校などでは、天下り的にニュートンの運動方程式を押し付けられていますが、かなりニュートンも悩んで運動方程式を作ったのだと思います。あなたのようにニュートンの運動方程式の成り立ちに疑問をもって勉強されているのは感心なことです。しっかり勉強して立派な物理学者になってください。

ニュートンの第1法則がその理由かと思います。力が外部から働かない限り、物体の運動は変化しない、という設定はかなり深いものがある。運動をどのように記述するかを考えた際、現在「慣性の法則」と呼ばれている法則を法則としている理由を考える必要があろうかと思います。

われわれの世界には既に「宇宙」としての他の物質の存在があるわけですが、いま「この宇宙にただ1つの物体がある方向に一定速度で飛んでいる」ことを想像してみます。「宇宙」に特別な構造がなければ、この物体の運動はだぶんその運...続きを読む

Q一次方程式の応用問題解き方のコツ

「リンゴが何個かあります。またミカンもいくつかあります。」で問われる一次方程式の応用問題の解き方について、子供にうまく説明ができません。

自分では方程式の導き方が解っているのですが、方程式の導き方を言葉で上手く説明してやれません。

なにか良い方法はないでしょうか。

Aベストアンサー

どうもです。

1次方程式をマスターする要素して
  ・問題文の言っていることを想像、理解できる
  ・記号で表現できる
  ・xの意味を理解できる
  ・文字(xなど)を1つ使い、その他の値を表現できる
  ・1次方程式の解き方がわかる

があると思います。とっさに考えたから足りないものがあるかもしれません。

以下は以下の例で説明していきます。

 例えば、リンゴはみかんの5倍も個数があります。みかんとりんごで18個あります。みかんとりんごは何個ですか。

○問題文から言っていることを想像、理解する
 この問題を理解するということは

  りんごはみかんの5倍の個数 (設定)
  りんごとみかんの合計は18個(設定)
  りんごとみかんの個数を求める(目的)

 設定とは、問題文に書かれていること、
 目的とは、求めるものです。

○記号で表現できる
 みかんの個数ととりんごの個数の合計はは18個
 みかんの個数 + りんごの個数 =18個

 こういった、関係を表現できるように訓練することが大事です。

○xの意味を理解して覚えておく
 xの意味、例えば、みかんの個数をxとした場合、それを問題用紙に書いて置きます。慣れていない人は解いている最中にxがなんだったか忘れてしまします。
 「このxはいくつかわからないけどみかんの個数なんだよ。xというのはまだわからない値で今からxを求めようとしているんだよ」と説明すれば良いと思います

○文字(xなど)を1つ使い、その他の値を表現できる
 この場合、みかんの個数をxとしているので

 りんごの個数 : 5x
 全体の個数  : 5x+x

 となります。これしっかりと理解することです。説明時には
 
 りんごはみかんの5倍の個数 (設定)
 りんごとみかんの合計は18個(設定)
 
 と並べて説明すれば良いと思います。

 これをどんな関係かを説明して

 18=x+5x の式を作ります。
 
 =は等しいという意味です。この場合、個数が等しいかだとと説明すれば良いと思います。ポイントは等しい単位をしっかりと説明することです。

○1次方程式の解き方がわかる
 これは説明するまでもありません。移項などです。
 6x=12を解けないに、応用は絶対解けません。これができるか確認しましょう。

○最後にxの意味を参照で答えを出す
 xは3になると思うので、xはみかんの個数だったね。
 つまり、みかんの個数はx、xは3、だから、みかんの個数は3、
 りんごの個数はみかんの個数の5倍だから15個。
 リンゴ15個とみかん3個で全部で18個だね。
 問題文の通りだね。
 と言って目的は、みかんの個数ととりんごの個数を求めるから
 みかん3個、リンゴ15個で説明終了。

言葉だけではなく、おはじきなど物使って説明してみてください。頭で想像するには目で見て似たような例を見ることが大切です。


以下は蛇足です。余力があれば読んでください。

人に物事を説明するとき、流れと詳細を説明する必要があると思います。

例えば、パソコンを初めて使う人に起動を終了を説明するとき、
 1.パソコンのスイッチを入れる
 2.マウスから終了という命令を出す
というのが「流れ」です。

詳細は、
 1の場合、どこについているスイッチを押す
 2の場合、スタートからWindowsの終了をクリックして~というのが詳細です。

なれていない人は流れがつかんでいません。説明するときには流れをまず説明し、そして詳細を説明するといった手順が良いと思います。

あと、訓練は大切です。コツは自分なりの言葉や感覚で覚えなければいけません。それは訓練(練習)を積むしかないと思います。

理解してもらえる説明ができるようにがんばってください。

どうもです。

1次方程式をマスターする要素して
  ・問題文の言っていることを想像、理解できる
  ・記号で表現できる
  ・xの意味を理解できる
  ・文字(xなど)を1つ使い、その他の値を表現できる
  ・1次方程式の解き方がわかる

があると思います。とっさに考えたから足りないものがあるかもしれません。

以下は以下の例で説明していきます。

 例えば、リンゴはみかんの5倍も個数があります。みかんとりんごで18個あります。みかんとりんごは何個ですか。

○問題文から...続きを読む

Qニュートン運動方程式の解としての級数?

数日前に聞いた話ですが、惑星の運動など、ニュートン力学の運動方程式が解けるかどうかを考えるときに、級数の収束が大切、ということを聞きました。

自分が運動方程式 m x'' = F を解くときは、別に級数なんて出てきたことがないのですが、なぜ、級数が関係してくるのでしょうか?

「通常は、級数の最初の数項の数値を求めるだけで、惑星の運動は分かるけど、級数が収束するかどうかは分からない」といったことを聞きましたが、そもそも、なぜ、運動方程式を解くときに級数が出てくるのかが良く分からないです。

Aベストアンサー

ニュートンの運動方程式(mx"=F)は時間についての2階微分方程式ですね。例えばバネの振動(調和振動子)の運動は、ご承知にように次ぎのような微分方程式を解けば良いわけです。
mx”=-kx (1)
(1)の微分方程式は容易に解けてxの時間変化はサイン関数で表わされ、決して級数なんかはでてきません。

>なぜ、級数が関係してくるのでしょうか?

しかし、問題によってはニュートンの運動方程式は(1)のような単純な形でなく、複雑な微分方程式となる場合があります。例えば注目している質点に作用する力が中心力に加え遠近にある他の質点群からの力の影響も受けている力学系とか、いろいろな複雑な力学系が考えられる訳ですか、それに伴い、力Fの中身は一段と複雑な形となってきます(具体的には、既に回答されている方々の記されているURLを参照して下さい)。こうなってくるとニュートンの微分方程式(運動方程式)は簡単には解けなくなる場合がでてきます。しかし解きたいという場合、近似的に解を求める手段として解を級数で表わすやり方がある訳ですね。このやり方がいつも成功するとは限りませんが、有効な手段であることは間違いありません。これでもダメな場合はコンピュータでのシミュレーションということになりますが。
例として、微分方程式のテキストなどに出てくる
x”=kx’-ax (2)
という微分方程式は、解xを
x=a0+a1t+・・・ant^n+・・・ (3)
とtのベキ級数で近似するやり方で解かれます。

ニュートンの運動方程式(mx"=F)は時間についての2階微分方程式ですね。例えばバネの振動(調和振動子)の運動は、ご承知にように次ぎのような微分方程式を解けば良いわけです。
mx”=-kx (1)
(1)の微分方程式は容易に解けてxの時間変化はサイン関数で表わされ、決して級数なんかはでてきません。

>なぜ、級数が関係してくるのでしょうか?

しかし、問題によってはニュートンの運動方程式は(1)のような単純な形でなく、複雑な微分方程式となる場合があります。例えば注目している質点に作用する...続きを読む

Q非線形微分方程式の問題です

非線形微分方程式について質問です。
とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。
y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2
この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。
非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。

私はこの問を解けませんでした。
解くことは可能なのでしょうか。
お願いします。

Aベストアンサー

a^2y=ax+4
(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味がない
(定石)
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をxで微分して(pの微分方程式にして)
pを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=f(p、y)のときはyで微分する(1/pとすれば上とおなじ)
などなど
>非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた(解くことができる)有名な”非線形の”方程式が出る。
(とおもう)

a^2y=ax+4
(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味...続きを読む

Q運動方程式を状態方程式で表し、出力方程式を求める。

下の図の倒立振り子において、外力f(t)が作用している場合の運動方程式は

Ml{d^2θ(t)/dt^2}=(M+m)gθ(t)-f(t)
M{d^2z(t)/dt^2}=f(t)-mgθ(t)

と表される。
上式を状態方程式で表し、出力をy(t)=z(t)とした場合の出力方程式を示せ。

という問題が分かりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「運動方程式を状態方程式・・・」と言うので、昔取った杵柄の熱力学かと
思い覗きましたが違うようですね。
回答が付かないようなので下記URLの説明に従い計算してみました、
参考にしてください。
http://lab.cntl.kyutech.ac.jp/~kobalab/nishida/pdf/09no2.pdf

Ml{d^2θ(t)/dt^2}=(M+m)gθ(t)-f(t) (1)
M{d^2z(t)/dt^2}=f(t)-mgθ(t) (2)

ここで状態変数を次の様に取ります。
x1=θ(t), x2=dθ(t)/dt= dx1/dt, x3=z(t), x4= dz(t)/dt= dx3/dt
f(t)が入力変数となります。

これを使って(1), (2)式を書き換えると、
dx2/dt = a1*x1 – (1/MI)f(t) (3)
dx4/dt = a2*x1 + ((1/M)f(t) (4)

ここで  a1 = (M+m)g/MI, a2 = -mg/M

これを列ベクトルX = (x1,x2,x3,x4)を使い「状態方程式」の形にまとめると
dX/dt = AX + Bf(t) (5)

A = (0 1 0 0), (a1 0 0 0), (0 0 0 1), (a2 0 0 0) を行とする4x4行列、
B = (0 – 1/MI 0 1/M) の行ベクトル。

出力方程式は次の様になる。
θ(t) = (1 0 0 0)X
z(t) = (0 0 1 0)X (6)

この表示のメリットは制御図との対応が付きやすいと
言うことなのでしょうか。

「運動方程式を状態方程式・・・」と言うので、昔取った杵柄の熱力学かと
思い覗きましたが違うようですね。
回答が付かないようなので下記URLの説明に従い計算してみました、
参考にしてください。
http://lab.cntl.kyutech.ac.jp/~kobalab/nishida/pdf/09no2.pdf

Ml{d^2θ(t)/dt^2}=(M+m)gθ(t)-f(t) (1)
M{d^2z(t)/dt^2}=f(t)-mgθ(t) (2)

ここで状態変数を次の様に取ります。
x1=θ(t), x2=dθ(t)/dt= dx1/dt, x3=z(t), x4= dz(t)/dt= dx3/dt
f(t)が入力変数と...続きを読む


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