次の問題の解法・解説お願いします。

関数y=2cos^θ+sinθcosθ+3sin^θ の最大値と最小値を求めよ。
ただし0≦θ≦πとする。

です。よろしくお願いします!

A 回答 (2件)

>図形に転換する方法もあるが。

。。。。。?

倍角の公式から、2y-3=sin(2θ)-cos(2θ)=kとすると、sin(2θ)=α、cos(2θ)=βとする。
0≦2θ≦2πから、α^2+β^2=1において、直線:α-β=kのkの値の範囲を求める。
点と直線との距離の公式で簡単に出るだろう。

方法は未だある。

tanθ=tとすると、0≦θ≦πからtは全ての実数値を取るから、sin(2θ)=(2t)/(t^2+1)、cos(2θ)=(1-t^2)/(t^2+1)より、2y-3=sin(2θ)-cos(2θ)に代入して、微分で求めても良い。
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先ず、倍角の公式から y=2(cos^2θ+sin^2θ )+(sin^2θ )+sinθcosθ=2+(1-cos2θ)/2+1/2*sin2θ=5/2+√2/2*sin(2θ-α)。


但し、αは正の鋭角。0≦2θ≦2πより、-α≦2θ-α≦2π-α → |sin(2θ-α)|≦1.
よって、(5+√2)/2≦y≦(5-√2)/2。

図形に転換する方法もあるが。。。。。。?
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Q三角関数の公式の間の親子関係

三角関数に関係したいろいろな公式がたくさんありますが、全ての公式が独立に成立しているとは思えません。原初の祖先のような公式はどれなのでしょうか。或いは三角関数以外のものからこれらの公式は生み出されたのでしょうか。

Aベストアンサー

> 回転行列というのは三角関数の体系の外にあるものですか。

いえ、回転と角度を切り離して考えるのは難しいと思います。
No.4の「単位円の図とcos,sinの定義で作ってたし。」も、No.3さんの「sin,cos の定義」と同じ意味で、

直角三角形の斜辺と他の辺の長さ、角度の関係。
xy座標上の点pの原点からの距離、x座標、y座標と、pベクトルとx軸のなす角の関係。

がsin,cosだって所から出発します。

Qsin^2θ-cos^2(θ/2)=0・・・・

sin^2θ-cos^2(θ/2)=0、0<θ≦π/2のとき、θ=□である。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

>sin^2θ-cos^2(θ/2)=0、0<θ≦π/2のとき、θ=□である。
半角の公式より、
cos^2(θ/2)=(1/2)(1+cosθ)より、
(1-cos^2θ)-(1/2)(1+cosθ)=0
2-2cos^2θ-1-cosθ=0
2cos^2θ+cosθ-1=0
(2cosθ-1)(cosθ+1)=0
0<θ≦π/2のとき,0≦cosθ<1だから、cosθ=-1は不適
よって、cosθ=1/2
0<θ≦π/2のとき、θ=π/3

Q円の面積と三角関数の微分法の関係

私は高3なんですが、今、AO入試の準備で
三角関数の極限の基本公式
lim(θ→0)sinθ/θ=1
についてレポートをまとめています。
そのときに面積を用いた証明は、
円の面積を求めるときに三角関数の微分法を用いてしまうため、
そうすると三角関数の極限の基本公式lim(θ→0)sinθ/θ=1を用いることになり、
循環論法になってしまうと…
ここでなぜ、
三角関数の微分法を用いて円の面積(半径をrとして)
πr^2
がどうしたら出てくるのか、教えてください。わかりにくい質問で申し訳ありませんが、お願いします。

Aベストアンサー

原点Oを中心とする半径rの円を考えます。
 x^2+y^2=r^2
ですね。この円の第1象限の部分の面積を求めます。x>0,y>0だから
 y=√(r^2-x^2)
なので,これをx=0~rまで積分して,
 ∫[x=0~r]ydx=∫[x=0~r]√(r^2-x^2)dx
ここでx=rsinθ(rcosθでもいいです)とおき,変数xをθに変換すると,
 θ=0~π/2
 dx=rcosθdθ
 √(r^2-x^2)=√(r^2-r^2・sinθ^2)
       =r√(1-sinθ^2)
       =rcosθ
となるので,結局もとの面積は
 ∫[θ=0~π/2]r^2cosθ^2dθ
となります。cosθ^2の積分は半角の公式を用いて簡単に計算でき,得られる答は
 πr^2/4
となります。これが4分の1の面積ですから円全体ではπr^2となります。

Qsin^4θ-cos^4θ=1-2cos^2θを証明

sin^4θ-cos^4θ=1-2cos^2θを証明せよという問題で、
(sin^2θ+cos^2θ)^2=1^2
sin^4θ+2sin^2θcos^2θ+cos^4θ=1
sin^4θ+cos^4θ=1-2sin^2θcos^2θ
sin^2θ+cos^4θ/sin^2θ=1-2cos^2θ
この先はどう考えたらいいのでしょうか?よそしくお願いします。

Aベストアンサー

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、証明したことになる。
そこで、p=cosθ,q=sinθとして、P-Qを書き下すと、

P-Q
=q^4-p^4+2p^2-1
=-{p^4-2p^2+(1-q^4)}  (pについて整理した)
=-{p^4-2p^2+(1+q^2)(1-q^2)}
=-{p^2-(1+q^2)}{p^2-(1-q^2)} (因数分解した)

ここで、p^2+q^2=1だから、p^2=1-q^2である。これを代入すると、
P-Q
=-{(1-q^2)-(1+q^2)}{(1-q^2)-(1-q^2)}
=-1*(-2q^2)*0
=0
したがって、P=Qである。

質問文の中の方法は、p^2+q^2=1という定理から出発して、証明する等式にもっていこうとしているのですが、この方法では、いろんな変形の可能性がどんどん増えていくばかりです。証明したい式から出発して、逆にたどっていくほうが近道です。

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

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Q三角関数(-1tan)について

三角関数-tan-1(マイナス1乗)について教えてください。
-tan-1(-1乗)1は45°になると専門書に書いてありました。
どのように計算すればこのような答えが出るのでしょうか?

自分ではどう考えてもわかりません。わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

タンジェントに-1乗がついているので、
その関数はタンジェントの逆関数という事になります。

世に言うarctanと同じアレです。

arctanφと書かれたら、答えはtanθ=φとなるような角度θになります。

ですから
arctan√3=60  (ラジアンならπ/3)
arctan1=45  (ラジアンならπ/4)
arctan-1=-45  (ラジアンなら-π/4)となります。

今回の問題は更に、最初にマイナスがついていますから、
-arctan-1=-(-45)=45となります。

Qa cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 +

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)?

2倍角の公式を使うと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 + 2c cos(θ)sin(θ)
= (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ) + c sin(2θ)
になるそうです。

2c cos(θ)sin(θ) = c sin(2θ)
の方は分かるのですが、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の方はどうやって計算していいのか分かりません。

使う公式は
cos(θ)^2 - sin(θ)^2 = cos 2θ
だと思います。
でも、aとbが邪魔ですよね?
しかも b sin(θ)^2 の符号が+です。

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の経過を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

えっと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2というのは
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2ですよね?
答えがcosで表されているので、(sinθ)^2をcosで表現すると
1-(cosθ)^2です すると

 a(cosθ)^2+b(sinθ)^2
=a(cosθ)^2+b{1-(cosθ)^2}
整理して
=(a-b)(cosθ)^2+b
ここで、二倍角を使います
cos2θ=2(cosθ)^2-1
ですので、
(cosθ)^2=(cos2θ+1)/2
ですね?
すると
 (a-b)(cosθ)^2+b
=(a-b){(cos2θ+1)/2}+b
展開して
=(a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
となります

Q三角関数の計算

単純な三角関数の計算に自信がありません。
cosx*cos2x=cos^2(2x)
cos2x*cos2x=cos^2(4x)
cos2x*cos3x=cos^2(6x)
cos2x+cos2x=2cos2x
cos2x+cos5x=?
全く自信がありません。
助言お願いします。

Aベストアンサー

三角関数の計算規則はある程度覚えておくのがラクなのですが、少なくとも絶対に覚えておかねばならないものが一つあります。それは「加法定理」。
sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ
cos(α+β)=cosα*cosβ-sinα*sinβ
cos(α-β)=cosα*cosβ+sinα*sinβ
これだけは体で覚えておかなくては話になりません。(逆に他の公式はほとんどこれで導出できる。例外は合成公式ぐらい)

ということで、とりあえず、↑に戻って計算したらどうなるか?を考えてみてください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#.E4.B8.89.E8.A7.92.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.8A.A0.E6.B3.95.E5.AE.9A.E7.90.86

Q三角関数の周期 sin^n(x)、cos^n(x)

 教えていただきたいことがあります。
 タイトルにも書きましたが、たとえばsin^4(ax)、cos^6(ax)の周期はどのように
求めるのでしょうか。
 また、一般化したsin^n(ax)、cos^n(ax)の周期も同様に求めるにはどのようにするの
でしょうか。
 ネットなどで調べてみたのですが、私の分かる範囲では見つかりませんでした。
 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

テキストだけで書く場合には、sin^n(x)より、(sinx)^n, (sin(x))^n のような書き方の方が誤解されにくいかと思います。

sin(x)の周期は、2π、
a>0のとき、sin(ax)の周期は、2π/a なのは、大丈夫なんですよね。

|sin(x)| の周期は、y=sin(x) のx軸より上の部分だけが
繰り返し出てくることになるので、周期がπ、
というのも、大丈夫ですか?

すると、(sin(x))^2は、2乗して、曲線が多少尖った感じになりますが、
繰り返しパターンは、|sin(x)|と同じで、周期はπ、

(sin(x))^3は、やはり、曲線がさらに尖った感じになりますが、
sin(x)と正負のパターンは同じで、繰り返しパターンも同じ、
なので、周期は2π、ということに、

これを続けていけば、
nが偶数なら、(sin(x))^n の周期はπ、
nが奇数なら、(sin(x))^n の周期は2π、というのが解ります。

(sin(ax))^n は、(sin(x))^n を、y軸を中心に、
横に、ギュッと、1/aに押し縮めたようなようなグラフになるので、
nが偶数なら、(sin(ax))^n の周期はπ/a、
nが奇数なら、(sin(ax))^n の周期は2π/a、

cosの場合も、まったく同様です。

テキストだけで書く場合には、sin^n(x)より、(sinx)^n, (sin(x))^n のような書き方の方が誤解されにくいかと思います。

sin(x)の周期は、2π、
a>0のとき、sin(ax)の周期は、2π/a なのは、大丈夫なんですよね。

|sin(x)| の周期は、y=sin(x) のx軸より上の部分だけが
繰り返し出てくることになるので、周期がπ、
というのも、大丈夫ですか?

すると、(sin(x))^2は、2乗して、曲線が多少尖った感じになりますが、
繰り返しパターンは、|sin(x)|と同じで、周期はπ、

(sin(x))^3は、やはり、曲線がさらに尖った...続きを読む

Q三角関数の加法定理以降の公式の一般的な覚え方

三角関数の加法定理以降の公式の覚え方でもっともポピュラーなものをおしえてください。

Aベストアンサー

加法定理は覚えているのでしょうか。
覚えていたら、そのあとの公式(倍角、半角などですよね)は導き方を覚えればいいと思います。
例えば、sin2θ=sin(θ+θ)として、加法定理を使う。

これが、一番よいと思います。
というか、僕は暗記が嫌いだったので、できるだけ覚えないようにと考えてました。
後々のことを考えても、導出できるのがよいかと。

Q数学の問題で。。。0<θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を

数学の問題で。。。0<θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を求めよ
という問題があったのですが、回答を読んでもわかりません。

(1)0<θ<90から0<2θ<180
→これはわかります。

(2)よって、sin2θ>0 ゆえに cos3θ>0
→これも理解できます。 Sin2θ=cos3θだから、Sin2θが0より上なら
cos3θもってことですよね?

(3)0<3θ<270, cos3θ>0 から 0<3θ<90
→これは、本当は3θは0~270度までだけど、
cos3θ>0だから3θの値は0<3θ<90ってことですよね?

(4)よって0<2θ<60, 0<90-3θ<90
→ここがわかりません。なんでよって0<2θ<60なんですか?
60ってどこからでてきたんでしょう???
0<90-3θ<90もなんで、こんな式をしているのか理解できません。

(5)sin2θ=cos3θ を変形すると sin2θ=sin(90-3θ)
ゆえに、2θ=90-3θ θ=18
→そもそも、(1)~(4)までの計算って必要だったんでしょうか?
Sin(90-θ)=cosθになるって公式がわかれば、(1)~(4)までの
ことって不要で、いきなり、cos3θをsin(90-3θ)に変形させれば
いいんじゃないんでしょうか?θじゃなくて3θだから、大きさの確認をしたって
ことですか?
特に(4)がわかりません。ご助言のほどよろしくお願いします

数学の問題で。。。0<θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を求めよ
という問題があったのですが、回答を読んでもわかりません。

(1)0<θ<90から0<2θ<180
→これはわかります。

(2)よって、sin2θ>0 ゆえに cos3θ>0
→これも理解できます。 Sin2θ=cos3θだから、Sin2θが0より上なら
cos3θもってことですよね?

(3)0<3θ<270, cos3θ>0 から 0<3θ<90
→これは、本当は3θは0~270度までだけど、
cos3θ>0だから3θの値は0<3θ<90ってことですよね?

(4)よって0<2θ<60, 0<90-3θ<90
→ここがわかりません。なんでよって0<2θ<6...続きを読む

Aベストアンサー

こういう問題はグラフの概形を描いてθを求めると間違いがないですね。

グラフから 0<θ<90°では

y=sin2θとy=cos3θ

が交点を持つのは1つだけであり、かつその交点のθは 0°<θ<30°であることが
明らかなのでそのθに対して

sin(2θ)=cos(3θ)=sin(90°-3θ)
を満たすのは
2θ=90°-3θ
の場合しか存在しないといえる。
これから
5θ=90°
∴θ=18°
が出てくる。

このθがグラフのただ1つの交点のθと一致することが確認できる。

質問者さんの解答はグラフで言えば明らかなことを数式を使い求めていることになりますね。

>特に(4)がわかりません。
(3)までで sin2θ>0, cos3θ>0(ただし0<θ<90°) が分かっているので
0<3θ<90°∴0<θ<30°…(■)
が言えるので(■)の式を2倍すれば(4)の
0<2θ<60°
の不等式が出てきます。

また公式を使ってcos(3θ)=sin(90°-3θ)と変形すればsin同士の比較が出来るので
「90°-3θ」が出てきて、(■)から
0<90-3θ<90°
が言えて
~~~~~~~
sin2θ=sin(90°-3θ) …(◆)
角(2θと(90°-3θ))がいずれも0°~90°の間の角だと言うことを示したい。
その結果
2θ=90°-3θ …(▲)
の関係を導き出せるのです。
~~~~~~~

>→そもそも、(1)~(4)までの計算って必要だったんでしょうか?
(◆)から(▲)を導き出すために必要なのです。

お分かりでしょうか?

こういう問題はグラフの概形を描いてθを求めると間違いがないですね。

グラフから 0<θ<90°では

y=sin2θとy=cos3θ

が交点を持つのは1つだけであり、かつその交点のθは 0°<θ<30°であることが
明らかなのでそのθに対して

sin(2θ)=cos(3θ)=sin(90°-3θ)
を満たすのは
2θ=90°-3θ
の場合しか存在しないといえる。
これから
5θ=90°
∴θ=18°
が出てくる。

このθがグラフのただ1つの交点のθと一致することが確認できる。

質問者さんの解答はグラフで言えば明らかなことを数式を使い求めていることになりますね。

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