次の問題の解法・解説お願いします。

関数y=2cos^θ+sinθcosθ+3sin^θ の最大値と最小値を求めよ。
ただし0≦θ≦πとする。

です。よろしくお願いします!

A 回答 (2件)

>図形に転換する方法もあるが。

。。。。。?

倍角の公式から、2y-3=sin(2θ)-cos(2θ)=kとすると、sin(2θ)=α、cos(2θ)=βとする。
0≦2θ≦2πから、α^2+β^2=1において、直線:α-β=kのkの値の範囲を求める。
点と直線との距離の公式で簡単に出るだろう。

方法は未だある。

tanθ=tとすると、0≦θ≦πからtは全ての実数値を取るから、sin(2θ)=(2t)/(t^2+1)、cos(2θ)=(1-t^2)/(t^2+1)より、2y-3=sin(2θ)-cos(2θ)に代入して、微分で求めても良い。
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先ず、倍角の公式から y=2(cos^2θ+sin^2θ )+(sin^2θ )+sinθcosθ=2+(1-cos2θ)/2+1/2*sin2θ=5/2+√2/2*sin(2θ-α)。


但し、αは正の鋭角。0≦2θ≦2πより、-α≦2θ-α≦2π-α → |sin(2θ-α)|≦1.
よって、(5+√2)/2≦y≦(5-√2)/2。

図形に転換する方法もあるが。。。。。。?
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Q三角関数の公式の間の親子関係

三角関数に関係したいろいろな公式がたくさんありますが、全ての公式が独立に成立しているとは思えません。原初の祖先のような公式はどれなのでしょうか。或いは三角関数以外のものからこれらの公式は生み出されたのでしょうか。

Aベストアンサー

> 回転行列というのは三角関数の体系の外にあるものですか。

いえ、回転と角度を切り離して考えるのは難しいと思います。
No.4の「単位円の図とcos,sinの定義で作ってたし。」も、No.3さんの「sin,cos の定義」と同じ意味で、

直角三角形の斜辺と他の辺の長さ、角度の関係。
xy座標上の点pの原点からの距離、x座標、y座標と、pベクトルとx軸のなす角の関係。

がsin,cosだって所から出発します。

Qcos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π) 。簡単な方法で。

質問文が分かりづらいので書き直しました。

cos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π)
を出来るだけ簡単な方法で解いてください。
答えは3/2です。

前回読みにくい質問文でしたのにお答えいただきましたspring135さまありがとうございました。前回も大変助かりました。

Aベストアンサー

(cos(a))^2=(1/2)+(1/2)cos(2a)
Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する
点のx座標の和なので 0

(cos(x+π/3)^2+(cos(x+2π/3))^2+(cos(x+π))^2
=(3/2)+(1/2){cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)}=3/2

Q三角関数の加法定理以降の公式の一般的な覚え方

三角関数の加法定理以降の公式の覚え方でもっともポピュラーなものをおしえてください。

Aベストアンサー

加法定理は覚えているのでしょうか。
覚えていたら、そのあとの公式(倍角、半角などですよね)は導き方を覚えればいいと思います。
例えば、sin2θ=sin(θ+θ)として、加法定理を使う。

これが、一番よいと思います。
というか、僕は暗記が嫌いだったので、できるだけ覚えないようにと考えてました。
後々のことを考えても、導出できるのがよいかと。

Qr^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)についての問題

検索をさせていただいたのですが、なかなか
似たような問題が出てこなかったので質問させていただきます。
大学院の問題なのですが、いまいちわかりません…。

r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)

(1)dr/dθを求めよ。

自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
    = -1/√sin2θ
    = - √sin2θ/sin2θ  ←有利化

(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

x = rcosθ、y = rsinθ とおき、
dx/dθ = -rsinθ
dy/dθ = rcosθ

よって
dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ




と、ここでつまってしまいました。。。
(1)、(2)も自信がありません…。


どなたかわかる人がいましたら、
ご教授いただけると非情に助かります。

よろしく御願いします。

検索をさせていただいたのですが、なかなか
似たような問題が出てこなかったので質問させていただきます。
大学院の問題なのですが、いまいちわかりません…。

r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)

(1)dr/dθを求めよ。

自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
    = -1/√sin2θ
    = - √sin2θ/sin2θ  ←有利化

(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

(3)直行座標(x,...続きを読む

Aベストアンサー

> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
 これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので たとえ結果が合っていても
(2)は零点になりますね。

>dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
>    = -1/√sin2θ
↑の(1)の間違った計算式からは
dr/dθ =0 となるθは存在しません。
ここで計算間違いに気が付かないといけませんね。

sin(2θ)=0→θ=0→ r(0)=√1=1

> (3)直行座標(x,y)
また誤字です。
「直交座標」のミス。

r^2=cos(2θ)=1-2(sinθ)^2
r^2=1-2(y/r)^2
x^2 +y^2=1-{2y^2/(x^2+y^2)}
(x^2+y^2)^2=x^2+y^2-2y^2
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2…(A)
xで微分
2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2x-2yy'
y'=-(x/y){x^2+y^2-(1/2)}/{x^2+y^2+(1/2)}
y'=0の時 x^2+y^2=(1/2)…(B) ←なぜx=0が排除されるか考えて下さい。
(A)に代入
x^2-y^2=1/4
x=±√6/4,y=±√2/4…(C)
r≧0,-π/4≦θ≦π/4から
r=√(x^2+y^2)=√2/2
cosθ=x/r=√3/2
∴θ=±π/6
r^2=cos(2θ)より
θ=±π/6→r(±π/6)=(√2)/2

> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
 これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので たとえ...続きを読む

Q三角関数の公式を教えてください!

三角関数の公式を教えてください!

Aベストアンサー

高校なら

加法定理
sin(α + β)=sin α・cos β+cos α・sin β
cos(α + β)=cos α・cos β-sin α・sin β
tan(α + β)=(tan α+tan β)/(1-tan α・tan β)

倍角定理
sin 2θ=2sinθ・cosθ
cos 2θ=2cos^2 θ-1=1-2sin^2 θ
tan 2θ=2tanθ/(1-tan^2 θ)

三倍角定理
sin 3θ=-4sin^3 θ+3sin θ
cos 3θ=4cos^3 θ-3cos θ

半角定理
sin^2 (θ/2)={(1-cos θ)/2}
cos^2 (θ/2)={(1+cos θ)/2}
tan^2 (θ/2)=(1-cos θ)/(1+cos θ)

和積定理
sin α+sin β=2・sin {(α+β)/2}・cos{(α-β)/2}
sin α-sin β=2・sin {(α-β)/2}・cos{(α+β)/2}
cos α+cos β=2・cos {(α+β)/2}・cos{(α-β)/2}
cos α-cos β=-2・sin {(α+β)/2}・sin{(α-β)/2}

積和定理
sin α・cos β=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
sin α・sin β=1/2{cos(α-β)-cos(α+β)}
cos α・cos β=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}

合成定理
a sin θ+b cos θ=√(a^2+b^2)・sin(θ+α)
  但し、
  a=√(a^2+b^2)・cos α
  b=√(a^2+b^2)・sin α

微分定理
(sin θ)’=cos θ
(cos θ)’=-sin θ
(tan θ)’=1/cos^2 θ

正弦定理
外接円の半径を R として
a/sin α=b/sin β=c/sin ɤ=2R

余弦定理
cos α=(b^2+c^2-a^2)/2bc

とりあえずこのぐらい知っておけばいいかと。

高校なら

加法定理
sin(α + β)=sin α・cos β+cos α・sin β
cos(α + β)=cos α・cos β-sin α・sin β
tan(α + β)=(tan α+tan β)/(1-tan α・tan β)

倍角定理
sin 2θ=2sinθ・cosθ
cos 2θ=2cos^2 θ-1=1-2sin^2 θ
tan 2θ=2tanθ/(1-tan^2 θ)

三倍角定理
sin 3θ=-4sin^3 θ+3sin θ
cos 3θ=4cos^3 θ-3cos θ

半角定理
sin^2 (θ/2)={(1-cos θ)/2}
cos^2 (θ/2)={(1+cos θ)/2}
tan^2 (θ/2)=(1-cos θ)/(1+cos θ)

和積定理
sin α+sin β=2・sin {(α+β)/2}・cos{(α-β)/2}
sin α-sin β=2・sin {(α-β)/2}・cos{(α+β)/2}
cos α+cos...続きを読む

Qsin^2(90°+θ)+sin^2(180°-θ)+cos^2(90

sin^2(90°+θ)+sin^2(180°-θ)+cos^2(90°+θ)+sin^2(90°-θ)
を解いてください

計算式もお願いします

Aベストアンサー

 まずは三角関数の補角の公式・余角の公式などをマスターしましょう。
 そしてこれらを使って基本に忠実に計算していきましょう。
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s2_sankaku_seishitu.pdf

 sin(90°+θ)=cosθ
 sin(180°-θ)=sinθ
 cos(90°+θ)=-sinθ
 sin(90°-θ)=cosθ

 このことから与えられた式は次のように書き換えられます。
  与式=(cosθ)^2+(sinθ)^2+(-sinθ)^2+(cosθ)^2
    =2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =2 (∵ (cosθ)^2+(sinθ)^2=1)

Q三角関数の変換公式を完ぺきにマスターしたい

こんにちは。

現在仮面で理系へ転じようと思っています。
数Ⅲをやっているのですが、三角関数の変換は他の論点でもしばしば登場して、知らないと式変換の発想が得られないなど、完璧に覚えておかないといけないなと思うようになりました。
合成や三倍角、sinからcosへの変換、Θを-Θに置き換えるなど、高校数学で用いられる範囲内での三角関数に関するすべてのことをマスターしておきたいです。

なにかおすすめの教材などございませんか?
でるもん三角関数というやつなんかはどうでしょうか?
もし問題を解く中で全ての三角関数変換をマスターできるのなら幸いです。

お願いします。

Aベストアンサー

No.4の者です。

黄チャートは、白と青を中途半端にまぜこぜにしたようなものですのであまりおすすめはしません。
質問者さんはおそらくある程度レベルの高いところを目指されるでしょうから、青チャートがおすすめです。
青チャは、基礎的な部分の品ぞろえは黄チャとあまり変わりませんが、応用面の品ぞろえが段違いです。その応用もピンポイントすぎるテクニックではなく、旧帝早慶あたりの大学に手が届くレベルのものなので、学んで損はありません。
青チャートにも基本的な例題は載っていますから、教科書の内容が理解できていれば難しすぎるということはないと思います。


まとめると、黄ではなく青チャートのほうがおすすめです。

Qsin^4θ-cos^4θ=1-2cos^2θを証明

sin^4θ-cos^4θ=1-2cos^2θを証明せよという問題で、
(sin^2θ+cos^2θ)^2=1^2
sin^4θ+2sin^2θcos^2θ+cos^4θ=1
sin^4θ+cos^4θ=1-2sin^2θcos^2θ
sin^2θ+cos^4θ/sin^2θ=1-2cos^2θ
この先はどう考えたらいいのでしょうか?よそしくお願いします。

Aベストアンサー

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、証明したことになる。
そこで、p=cosθ,q=sinθとして、P-Qを書き下すと、

P-Q
=q^4-p^4+2p^2-1
=-{p^4-2p^2+(1-q^4)}  (pについて整理した)
=-{p^4-2p^2+(1+q^2)(1-q^2)}
=-{p^2-(1+q^2)}{p^2-(1-q^2)} (因数分解した)

ここで、p^2+q^2=1だから、p^2=1-q^2である。これを代入すると、
P-Q
=-{(1-q^2)-(1+q^2)}{(1-q^2)-(1-q^2)}
=-1*(-2q^2)*0
=0
したがって、P=Qである。

質問文の中の方法は、p^2+q^2=1という定理から出発して、証明する等式にもっていこうとしているのですが、この方法では、いろんな変形の可能性がどんどん増えていくばかりです。証明したい式から出発して、逆にたどっていくほうが近道です。

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、...続きを読む

Q三角関数の加法定理・和積公式の拡張って?

三角関数の加法定理
cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
を3変数に拡張すると、
cos(α+β+γ) = cos(α)cos(β)cos(γ) - sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)
となりました。

三角関数の和積公式
sin(α) + sin(β) = 2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
三角関数の積和公式
sin(α)cos(β) = (1/2){sin(α+β)+sin(α-β)}
も拡張して、
sin(α) + sin(β) + sin(γ) =(積の形)
sin(α)sin(β)sin(γ) = (和の形)
にできますでしょうか?

Aベストアンサー

 #2です。
 お礼をありがとうございます。

>n変数の公式は、すごく複雑ですね。どう応用があるのかわからない。

 まさに、その通りです。
 いつか必要になるかもしれないと思い求めておきましたが、いまだかつて役に立ったことがありません。^^;

>3変数のとき、
>sin(A)+sin(B)+sin(C)-sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
>において、A,B,Cの角度は三角形の角度、つまり、A+B+C=πとすると、少しは役立ちそうです。

 三角法の公式ですね。
 A+B+C=π とすると多くの公式が導かれます。また球面三角法にも発展するので測量などでよく使われていると聞いたことがあります。

 平面三角法で個人的に好きなのは、
  sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
  tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
といったところです。和と積がきれいに分かれているところに惹かれます。

 #2です。
 お礼をありがとうございます。

>n変数の公式は、すごく複雑ですね。どう応用があるのかわからない。

 まさに、その通りです。
 いつか必要になるかもしれないと思い求めておきましたが、いまだかつて役に立ったことがありません。^^;

>3変数のとき、
>sin(A)+sin(B)+sin(C)-sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
>において、A,B,Cの角度は三角形の角度、つまり、A+B+C=πとすると、少しは役立ちそうです。

 三角法の公式ですね。
 A+B+C=π とすると...続きを読む

Qa cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 +

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)?

2倍角の公式を使うと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 + 2c cos(θ)sin(θ)
= (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ) + c sin(2θ)
になるそうです。

2c cos(θ)sin(θ) = c sin(2θ)
の方は分かるのですが、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の方はどうやって計算していいのか分かりません。

使う公式は
cos(θ)^2 - sin(θ)^2 = cos 2θ
だと思います。
でも、aとbが邪魔ですよね?
しかも b sin(θ)^2 の符号が+です。

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の経過を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

えっと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2というのは
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2ですよね?
答えがcosで表されているので、(sinθ)^2をcosで表現すると
1-(cosθ)^2です すると

 a(cosθ)^2+b(sinθ)^2
=a(cosθ)^2+b{1-(cosθ)^2}
整理して
=(a-b)(cosθ)^2+b
ここで、二倍角を使います
cos2θ=2(cosθ)^2-1
ですので、
(cosθ)^2=(cos2θ+1)/2
ですね?
すると
 (a-b)(cosθ)^2+b
=(a-b){(cos2θ+1)/2}+b
展開して
=(a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
となります


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