実数x、y、zが条件x+2y+3z=1を満たすとき、x*x+y*y+2(z*z)が最小となるときのx、y、z及びそのときの最小値を求める問題です。

x*x、y*y、z*zはx、y、zの2乗のことです。

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

x=1-2y-3z …(■)


x^2+y^2+2z^2=(1-2y-3z)^2+y^2+2z^2
=5y^2+12yz+11z^2-4y-6z+1=k
とおく。
5y^2+12yz+11z^2-4y-6z+1-k=0…(◆)
yの実数条件より
判別式D1=-19z^2+6z+5k-1≧0…(▲)
19z^2-6z-5k+1≦0…(●)
この不等式を満たす実数xが存在する条件より
判別式D2=9+19(5k-1)=5(19k-2)≧0
k≧2/19
kの最小値はk(min)=2/19
kは与式の値なので与式の最小値は k(min)=2/19

このとき のx,y,zを求めるには以下のように求めれば良い。
(●)から
19z^2-6z+9/19=19(z-3/19)^2≦0 ∴z=3/19
k=2/19,z=3/19…(◎)のとき(▲)の判別式D1=0
したがって(◆)に(◎)を代入すると
5*(y^2+8*y/19+16/361=0
(y-4/19)^2=0 ∴y=4/19
(■)から
 x=2/19
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この回答へのお礼

 判別式の考え方に気づきませんでした。

 ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/17 22:35

やっぱり、計算ミスしてた。


最小値の値が綺麗にならなかった時点で、気がつくべき。。。。。w

x=1-2y-3zを k=x^2+y^2+2*z^2に代入して、yについてそろえると、5y^2-2(2-6z)y+11z^2-6z+1-k=0.‥‥(1)
yが実数から、判別式≧0. 従って、19z^2-6z+1-5k≦0.‥‥(2)
又、zが実数から、判別式≧0. 結果は、k≧2/19.‥‥(3)
この最小値を与えるx、y、z、の値は、(3)からk=2/19 → (2) → (1)として求まる。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。^^

お礼日時:2009/05/17 20:27

一番簡単なのは、判別式を2回使う方法。



x=1-2y+3zを k=x^2+y^2+2z^2に代入して、yについてそろえると、5y^2-2(2+6z)y+11z^2-6z+1-k=0.‥‥(1)
yが実数から、判別式≧0. 従って、19z^2-54z+1-5k≦0.‥‥(2)
又、zが実数から、判別式≧0. 結果は、k≧-142/19.‥‥(3)
この最小値を与えるx、y、z、の値は、(3)からk=-142/19 → (2) → (1)として求まる。

計算に自信なし、検算してね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。^^

お礼日時:2009/05/17 20:22

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