正項級数の収束・発散について質問です.
正項級数Σ[n=1..∞]a(n)が発散するとき,
s(n)を部分和として,
(1) Σ[n=1..∞](a(n)/(1+a(n))),
(2)Σ[n=1..∞](a(n)/s(n))はいずれも発散することを証明せよ.
がわかりません.どなた様かご教授ください.

A 回答 (3件)

(1)の方ではεは ε>0だけでなく、1>ε>0 を満たすとする必要があります。

しかし証明の大筋には問題ないと思います。
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Σa(n)/s(n)が収束すると仮定すると、任意のε>0 に対して「適当に」Nをとるとn,m>N ならば


 |a(n)/s(n) + ...+a(m)/s(m)| < ε
s(n)は単調増加だからm>n とすると
 (1/s(m))|a(n)+ ...+a(m)|
 <|a(n)/s(n) + ...+a(m)/s(m)|
よって任意のm>n>N について
 (s(m)-Σ[k=1..n]a(k))/s(m) <ε
m→∞のときs(m)が発散するとするとこの不等式の左辺は1に収束するので任意のεについて成立するためにはs(m)は収束しなければならない。すなわちΣa(n)も収束することになるので矛盾である。

私ごときものが回答するより私が解決できない問題に明快な回答
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa653180.html
をされているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。
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この回答へのお礼

重ね重ねありがとうございます.
証明の最後の2行のところが,うまく出来ず
歯がゆい思いをしておりました.
ご教授ありがとうございました.

お礼日時:2009/05/27 05:17

Σa(n)/(1+a(n))が収束すると仮定すると任意のε>0 に対して「適当に」Nをとるとn>N ならば


 a(n)/(1+a(n)) < ε
ゆえに
 a(n) < ε/(1-ε)
また任意のε'>0 に対して「適当に」N'をとるとn,m>N' ならば
 |a(n)/(1+a(n)) + ...+a(m)/(1+a(m))| < ε'
よってn,m>N' かつn,m>N、ε/(1-ε)=L とすると
 (1/(1+L))|a(n)+ ...+a(m)|
 <|a(n)/(1+a(n)) + ...+a(m)/(1+a(m))| < ε'
となってΣa(n)も収束することになって矛盾である。
(2)の方は「適当に」考えてください。
私ごときものが回答するより深遠でレベルの高い問題に見事な見解(ビッグバン前の宇宙は観測できないとか)を堂々と披露されているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。

参考URL:http://aserv.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~naoshi/gakuj …
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この回答へのお礼

なるほど,背理法ですね.
目から鱗です.大変参考になりました.
ありがとうございました.

お礼日時:2009/05/25 05:14

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Q終息と収束の違い

先日Alizとかいうワームが会社中に蔓延し、大変な労力を取られたのですが、やっと落ち着いてきました。
この場合、「収束宣言」なのか「終息宣言」なのか、どちらでしょうか。
「サメ事件の収束宣言」
「火山の終息宣言」
と新聞はいろいろな書き方をしているように思われますが、正しい使い方をご教授いただけないでしょうか。

Aベストアンサー

 
  一般的な言葉の用法というか、意味について述べます。
 
  収束も終息も、ものごとや事態が、ある時間的推移の後、別の状態になることを意味する一般的な言葉で、ものごとや事態が、人間にとって都合がよいか悪いかは関係がありません。
 
  非常に簡単に言えば、「収束」とは、事態が「あるまとまりになること・収まる」ことです。「終息」は、単純に、事態が「終わる」ことです。
 
  収束というのは、文字を見ると分かりますが、「束に収まる」という意味です。これは、広がりがある事態が、「束」つまり、ある「まとまり」へと移行することで、まとまりに収まることが、秩序状態だとすると、無秩序だったのが、秩序になるという風な意味になります。
 
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  「よき時代の収束」とは言いませんが、「よき時代の終息」とは言います。
  「収束」の場合も、よい事態が、悪い方へ収束するというのもあるはずですが、例文を造ろうと思うと適当なものがとりあえず思いつきません。「収まる」というのが、やはり、よいことだというような感じがあるためでしょう。
 
  というような意味・ニュアンスなのが、「収束」と「終息」です。
 
  ですから、「サメ事件」は、「収束」でも「終息」でもいいのですが、サメ事件は、毎年起こる可能性があるので、今年は「収束」を迎えた、あるいは、今回の事件は収束を迎えた、しかし、そう思っているとまた、サメに襲われたという通報があって、収まったものが、またばらけるという可能性があるので、「収束」を使っているのでしょう。
 
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  こういう言葉の使い方は、言葉の基本的な意味を知り、場合場合で適切かどうかの判断が必要になります。新聞記事と言っても、表現がおかしい例は幾らでもあります。また、おかしい表現がそのまま定着して、そういう用法が生まれてしまうこともあります。言葉の意味は、時代と共に変化して行きます。
 

 
  一般的な言葉の用法というか、意味について述べます。
 
  収束も終息も、ものごとや事態が、ある時間的推移の後、別の状態になることを意味する一般的な言葉で、ものごとや事態が、人間にとって都合がよいか悪いかは関係がありません。
 
  非常に簡単に言えば、「収束」とは、事態が「あるまとまりになること・収まる」ことです。「終息」は、単純に、事態が「終わる」ことです。
 
  収束というのは、文字を見ると分かりますが、「束に収まる」という意味です。これは、広がりがある事...続きを読む

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
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(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q新型インフルエンザの流行の収束(終息)について

新型インフルエンザが広まったら、「なるべく出かけない」「電車の混雑を今の2割程度に抑える」「2週間分の食料を備蓄することが望ましい」などという話になっているようです。
しかし、鳥インフルエンザが人から人へ移るような変異が1度起きたら最後、厳重に隔離せねば世界中で大流行...、とか、空港で水際で防ぐ、とか、その辺の話とずいぶん矛盾があるような気がします。
いったん流行したのを、みんなが閉じこもって「嵐が過ぎるのを待つ」ようなことで、本当に終息するのでしょうか。全員が一度かかって抗体を持つか、(流行後には作成できるであろう)ワクチンを接種するでもしないと、ダメなんじゃないかという気がするのです。
たった一人の患者が発端で流行する可能性があるなら、流行語は、少なくとも最後の一人の患者が治るまでは、(まだかかってない人は)自宅謹慎が必要なのではないでしょうか。

Aベストアンサー

Q、新型インフルエンザの流行の収束(終息)について。
A、短期の流行の収束と長期の流行の収束とがあると思います。

短期の流行は、中国語南東部で発生し東西に侵攻。
東軍は、アメリカ大陸を南下してチリの南端辺りで消滅。
西軍は、ヨーロッパを席巻しアフリカ大陸を南下し喜望峰近辺で消滅。
まあ、それ以上は侵攻する訳にもいかないので軍隊も流れ解散すると思います。

更に、局部的な戦闘には、必ず、季節柄ってのがあると思います。
冬を中心に猛威を振るって夏を持って一時的に戦闘も下火に。

長期の流行は、この東侵、西侵を繰り返していく中で新種との世代交代時期を迎えて収束。

こんなんだと思います。

>なるべく出かけない。
>電車の混雑を今の2割程度に抑える。
>2週間分の食料を備蓄することが望ましい。

これは、医療機関の対応能力以上の爆発的な流行を避けるのが目的。
これは、医療機関の対応能力の限界越えを国民の自衛で防ごうということでしょう。
これは、もって被害者数を押さえ込むということでしょう。

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Qサブプライム問題による影響の収束はいつ頃(就職が心配)

再来年に就職を控えている経済専攻の学生です。
不動産とフィナンシャルの勉強をしていて、就職もそういう方向にと思っていたのですが
サブプライム問題があって、特に金融機関は厳しいように見受けられます。
就職に不安があるので、選択肢を幅広くしないといけないなと思っていますが
サブプライム問題による影響の収束(終息?)はいつ頃になるでしょうか。

Aベストアンサー

サブプライムの本質は返済不能な人々に融資したことではありません。ローン証書を細切れにして他の債権(国債とかIBMの社債とか)と組み合わせ、AAAの格付けを行い、これを金余りで運用に困っていた世界中の金融機関が買ったことにあります。特に欧州系の金融機関が大量に買い込みました。
CDOと言います。組み込まれたのはサブプライムだけではありません。様々な債権が新しい債権へと生まれ代わりました。今問題になっているのは、こうやって形を変えた資産担保証券の価値が誰にも分からないことです。ベアスターンズ証券がこの分野のエキスパートだった分けですが、AAAが格下げになるや否や、毎日1兆円の資金がベアスターンズから逃げていったそうです。
リーマンブラザーズは30兆円の債権を保有しているそうですが、値が付くのは6兆円で、残り24兆円は値が付かない。すなわち買い手がいないとのことです。いずれニ束三文で叩き売るのでしょうが、こういうことです。
一番の解決策は合衆国政府がこの債権を買い上げる、すなわち公的資金投入ですが、銃の所有を憲法が保証する国。自分の事は自分で解決しなさい。で期待できない。これが何を意味するか、大学の先生に聞いてみて下さい。
貴方が今すべきは何より実力をつけること。一生懸命勉強することが貴方を救うと思います。

参考URL:http://blog.goo.ne.jp/kitanotakeshi55/e/7f6475429e74ca3699f0ea75719dfabf

サブプライムの本質は返済不能な人々に融資したことではありません。ローン証書を細切れにして他の債権(国債とかIBMの社債とか)と組み合わせ、AAAの格付けを行い、これを金余りで運用に困っていた世界中の金融機関が買ったことにあります。特に欧州系の金融機関が大量に買い込みました。
CDOと言います。組み込まれたのはサブプライムだけではありません。様々な債権が新しい債権へと生まれ代わりました。今問題になっているのは、こうやって形を変えた資産担保証券の価値が誰にも分からないことです。ベア...続きを読む

QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。

Q級数が絶対収束したら収束?

解析入門30講という本を読みました。
級数の収束のところで、

(1) X = X0で Σ Ak X^k が収束
  → |X|<|X0| なる x で Σ Ak X^k が絶対収束

と書いてありました。
しかし、そのすぐ後に、

(2) 「収束しても、絶対収束しない関数がある」

と書いてありました。

(1)と(2)は矛盾しているような気がするのですが、どうでしょうか?

Aベストアンサー

(2)は「関数」ではなく「級数」でしょ?
#志賀さんの「30講シリーズ」かな

まず,級数の収束には
・絶対収束
・条件収束
というものがあります

「Σ a_k が絶対収束する」というのは
Σ |a_k| が収束することをいいます.
級数が絶対収束するならば収束します.
しかし,逆,つまり
「級数が収束するならば絶対収束する」というのは成り立ちません.
「収束するが絶対収束しない」ことを「条件収束」といいます.

そして,(1)は
級数のうち
「べき級数」と呼ばれる特別(かつ重要)なものに
ついては,ある点で収束すれば,
「その内側では絶対収束する」といっているだけです
決して「すべての級数」ではありません.
したがって,(2)の実例は「ベキ級数」ではありません.
当然矛盾はしません.

ちなみに,絶対収束する級数は
「項の順序を変えても収束する値は同じ」
という重要な性質があります.これを用いて
「級数の積」などを簡単に考えることができます.
条件収束の場合は,順番を変えるのはご法度です.

(2)は「関数」ではなく「級数」でしょ?
#志賀さんの「30講シリーズ」かな

まず,級数の収束には
・絶対収束
・条件収束
というものがあります

「Σ a_k が絶対収束する」というのは
Σ |a_k| が収束することをいいます.
級数が絶対収束するならば収束します.
しかし,逆,つまり
「級数が収束するならば絶対収束する」というのは成り立ちません.
「収束するが絶対収束しない」ことを「条件収束」といいます.

そして,(1)は
級数のうち
「べき級数」と呼ばれる特別(かつ重要)なものに
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Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Q分布収束と確率収束

こんにちは。

Xを確率変数、X_n, Y_nを確率変数列とします。

「X_nがXに分布収束し、|Y_n-X_n|が0に確率収束するならばY_nもXに分布収束する」というのは有名な定理ですが、スルツキーの定理みたいに、「分布収束」を「確率収束」と書き換えても成り立つのでしょうか?

言い換えると、「X_nがXに確率収束し、|Y_n-X_n|が0に確率収束するならばY_nもXに確率収束する」は成り立つのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

多分言えるかと。

ε>0をとります。{|Y_n - X|>ε}⊂{|Y_n - X_n|>ε/2}∪{|X_n - X|>ε/2}なので仮定よりn→∞で右辺の測度(確率)は0に収束します。従って左辺の測度(確率)も0に収束します。

QΣ[n=0..∞]a_nが収束するならΣ[n=0..∞](-1)^na_nも収束?

こんにちは。

Σ[n=0..∞]a_nが収束するならΣ[n=0..∞](-1)^na_nも収束。
という真偽判定の問題なのです。

真だと思うのですがどのようにして証明できますでしょうか?

Aベストアンサー

a_n の各項が正数と限定されていれば、真です。
その証明は、教科書で「絶対収束」が初出するページを参照してください。

a_n が一般の数列であれば、真ではありません。
a_n = { (-1)^n } / n が反例になります。


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