In log(1+x^2)dx
=In (x)' log(1+x^2)dx
=x log(1+x^2)-In x log(1+x^2)dx
までやってみたのですがその先がわかりません。
-In x log(1+x^2)dxの部分をどうしていいのか分りません。

x log (1+x^2)+2arctanx-2x
になるはずなのですが。

だれか教えてください。

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A 回答 (3件)

>> In log(1+x^2)dx


>> =In (x)' log(1+x^2)dx
>> =x log(1+x^2)-In x log(1+x^2)dx

部分積分を適用するのは良いのですが、3行目の第2項でミスしています。
非積分関数はlog(1+x^2)ではなく、それを微分した2x/(1+x^2)です。

つまり、
>> In log(1+x^2)dx
>> =In (x)' log(1+x^2)dx
 = x log(1+x^2)-2∫(x^2)/(1+x^2) dx …(*)


∫(x^2)/(1+x^2)dx
これについては、
 被積分関数を、(x^2)/(1+x^2)=1-1/(1+x^2)と変形すれば、

(*)= x log(1+x^2)-2∫[1-1/(1+x^2)] dx
 =x log(1+x^2)-2x+2arctanx
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この回答へのお礼

みなさまありがとうございました。
ようやく理解できました。
数学ってやっぱりむずかしいです。

お礼日時:2009/05/17 23:01

In log(1+x^2)dx


=In (x)' log(1+x^2)dx →ここまではいいですね
=x log(1+x^2)-In x log(1+x^2)dx  →ここが違いますね

==x log(1+x^2)-In x (log(1+x^2))'dx
=x log(1+x^2)-In x * 2x/(1+x^2)dx
=x log(1+x^2)-In 2x^2/(1+x^2)dx
=x log(1+x^2)-In 2-1/(1+x^2)dx
ですね
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部分積分の適用を間違えています、


>=x log(1+x^2)-In x log(1+x^2)dx
ではなく、正しくは
 =x log(1+x^2)-In x (log(1+x^2))'dx
となるはずです。
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