ケプラーの法則で、面積速度一定の法則というのがありますが、どのようにしてその法則を発見されたのでしょうか?
また、調和の法則で、公転周期の二乗は、軌道の半長径の3乗に比例するT^2=ka^3という法則がありますが、
どのような計算を行っていった結果、そのような公式が導かれたのでしょうか?
できるだけ分かりやすく、詳しく教えてください。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (4件)

本質的には、神懸かりで見付けたとしか言いようが無いでしょう。

私は物理学者ですが、法則の発見は、本質的には神懸かりに基づいてなされると言うことを、繰り返し経験して来ました。今までに散々いじくり回してきた物理系のいろいろな側面の認識に基づいた経験から、何か新しい現象を論じる時に、その系を数学的にきちっと考察する以前に、直感的に答えが前もって見えてしまうという経験を何度もしてきました。そのような場合には、数学的な論理は、その直感を確認するために使われただけであり、従って、そのような論理は後付けの論理であるともしばしば在りました。別な言い方をすると、数学的な論理が先ず在って法則が見付かるのではなく、その反対に、先ず法則が直感的に認識されて、それを後から数学がその正当性を論拠付けてくれるのです。

さて、ケプラーの時代はキリスト教が絶対的に権威を持っていた時代です。そもそも、その頃の天文学者が天体の運動に興味を持っていた最も本質的な理由は、一神教としての絶対的な神の座である天を理解することであり、神の書きたもうたシナリオを解き明かしたいというのことにありました。西欧の天文学者の多くが、キリスト教の神父達であったことを忘れてはなりません。

しばしば、天体の運動の観測は農業にとって必要だったからと言う説明を見ることがありますが、それなら、何故暦の知識が不可欠な稲作の日本で、天体の観察が西洋並みになされなかったのかの説明にはなっていません。

西洋には、神の座は完全であるから、運動もまた完全であるはずだとの神懸かりがあったのです。そこで、完全なものとして、先ずは円運動であるはずだと言う自然な仮説を立てました。その仮説を証明すべく、ケプラーは徹底的に観測データを分析しました。もしそれが証明できたら、神の存在を証明できたことになるはずであると、彼は考えたはずです。

ところが、驚くべきことに円運動の仮説からズレていることを発見しました。これは何を意味するのか、まさか神は存在しないと言うことが証明てしまったのだろうか、とケプラーは深刻に考え込んだはずです。しかし、彼には神の存在を疑うことが出来ません。そこで、彼は円の次に完全な運動は何であろうかと考えたはずです。そこで、楕円運動ならば神の存在を否定は出来まいと思い至ったのだと思います。そこで、改めてその仮説と観測データを比較したら、なんとその仮説が正しいことを見付けてしまったのです。多分、彼は神の存在を確認できたと思って、歓喜したと思います。

ここまで来れば、その他の発見は、大して難しくないです。神は恣意的にこの世を創った訳ではないはずだ。だったら、この楕円運動の中に、神の意思が存在することを示すメッセージが存在するはずだ。だから、運動の中に美しい調和が、何らかの形で潜んでいるはずだと考えたと思います。そこで、楕円運動と整合している観測データの数値の中にその調和を探し出してみようと言う、強い動機が生まれたはずです。その動機と、諦めずに膨大なデータをいじくり回す根気が在る人なら、ケプラーでなくても、いろいろな仮説を出しながらそれを検証することによって、遂には面積速度一定の法則という奇跡的と言っても良い程の法則や、2/3乗則の法則などの美し法則を見つけ出して来ることは、そんなに難しいことであるとは思えません。ただし,繰り返しますが、一旦楕円運動であることが判ってしまえば、そのような「根気がある人」にとっては難しくないと言っているのです。

ケプラーの神懸かりの努力によるこの一連の法則の発見により、彼はますます神の存在を確信したのだと思います。

もちろん、どんな動機であれ、正しい法則が発見されてしまったので、その後、この一連の法則が、ニュートンの法則に基づいて演繹されて、一見神の存在に触れること無く説明されても、結果的には不思議はない訳です。

ただし、ニュートンの時代にも、ニュートンの法則の発見は神の存在の証明になっているかどうかの、長い期間に渡る論争がニュートンとライプニッツの間でありました。面白いことに、ライプニッツは、ニュートンの法則の決定論的側面を心から信じており、従って、神の存在がこの法則によって証明されたと主張していまいたが、ニュートンはその反対に、自分の発見した法則の決定論的な側面に疑いを持っていたとのことです。

このように、物理学とは宗教に関係ない客観的な物質の世界を論じる学問であると誤解している方が、物理学者の間でも多く見受けます。しかし、物理学の発展史を振り返ると、そんなに単純に物理学を考えて良い物だろうかという素朴な疑問が湧いてきます。
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楕円は和算で関孝和が見事に証明を終えており


麻田剛立が第三法則を独自に求めていますので

100年に一人の逸材ではあったが、
千年に一人の逸材ではなかったようです。

当時は万有引力の法則も、微分積分法も無い時代ですので
経験則による所が大きいと思います。
(ニュートン、ライプニッツ参照)

つまり、1.5乗に等しい事を見出したのが最初です。
膨大な観測記録がそこにあり、つじつまを合わせるには楕円以外に解決手段がありませんでした。(彼の観測記録)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A3% …

当時の天文学者の目的は、
完璧な日食の日時の予報の出来る暦を作る事です。
従来の神道の教える円ではどうしても予報が狂うのです。

ガリレオは最後まで楕円を否定し続けました。

万有引力方程式が無いのですから、経験則(等しい)
が精一杯でした。
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 ルールに抵触しない範囲で(と思って)脱線しますが、天体観測は、いわゆる太陽太陰暦を使う世界(農業世界)では必須でした。



 日本では中国で作られた暦をもとにした暦を長く使用していましたが、それでも天体観測は欠かさず行われ、季節と暦とのずれが大きくならないよう「調節」していました。その「調節」に特に欠かせないのは「二十四節気」であり、これは天体観測によってのみ決まるものです。ちなみに、閏月の挿入は、月の運行と二十四節気との関係によって決まります。十二支などは木星の運行と関係してくるのですが、話が逸れすぎるので指摘しておくに留めましょう。

 ともあれ、農業のために暦の知識が不可欠であった日本では、天体の運行の観測が粛々と行われてきた歴史がありますので、誤解の無いようにしておいていただければと思います。

 以上は、西洋史に偏らない東アジアの天文学史に基づいたお話です。
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 実はどう説明しようかと、悩んでいました。

長くなるのがわかっていましたので・・・#1の回答者さん、ありがとうございます!

 楕円軌道の発見について少し補足します。

 天文学史でよく書かれているように、ケプラーは、チコ・ブラーエの史上最高精度の眼視観測データを引き継ぎました。天球上の火星の位置と観測時刻、その日の太陽の天球上の位置を、彼は丹念に調べて、太陽と地球と火星の空間的な位置関係を描き出しました。この時彼が採用した仮定は太陽中心説です。太陽を中心に、その周りを地球や火星などの惑星が音響的調和を保って巡っているというのが彼の信じる世界でした。

 神が造った世界の調和を当然視したケプラーは、丹念に調べた結果、火星の運動の軌跡がどうしても単一の円では説明できないことに驚愕したことでしょう。調和がないことはあり得ない、何としてでも調和を見出そうと真剣にデータと向き合ったに違いありません。

 最終的に彼が得た結論は、火星は太陽の周りを楕円軌道を描いて回っており、地球も太陽の周りを楕円軌道を描いて回っていると見なして良い、というものであり、さらに、この2つの惑星の軌道面は互いに傾いており、その交線上に太陽があるということでした。後者の発見こそ、ケプラーが求めていた、太陽を中心とする世界秩序が成り立っていること、天上界の運動が太陽によって支配されていることの証でした。

 この発見ができたのは、火星の軌道離心率が大きく、軌道傾斜角もはっきりわかる程度に大きいためです。ケプラーは(人類は)幸運だったのかもしれませんね。

 こうなれば、他の惑星の軌道も楕円で説明できること、軌道面の交線上に太陽があることを明らかにできれば、ケプラーにとっての太陽中心説は揺るぎないものになります。彼はそれを実行しました。惑星の軌道は楕円であり、どの軌道面同士の交線上にも太陽がありました。どの交線上にも太陽があるということは、太陽が特定の位置にあることを意味します。それが楕円の焦点でした。

 惑星は楕円軌道を巡り、どの楕円の焦点にも太陽がある。ケプラーにとって満足すべき世界像だったでしょう。さらに、ここに数学的秩序が見出せれば、いや、そのはずである、と考えて、彼はさらにデータを調べたのでしょう。そこから、面積速度一定、公転周期の2乗と軌道半長径の3乗が比例するという関係が出てきたのです。

 これは数学的に見出された法則ではなく、丹念なデータ解析と、おそらくはケプラーの強固な信念、そして確かな観察眼と洞察力から見出されたものです。神を信ずるが故、という意味と、ケプラーの超人的な努力という意味の両方を含めて「神懸かり的」な発見といえるでしょう。

 以上、長くなりましたが、補足です。
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惑星は質量M[kg]の太陽を中心とし、半径r[m]の等速円運動をしているとして、各惑星の周期T[s]の2乗は公転半径r[m]の3乗に比例することはどうやって証明すればいいのですか?
ケプラーの法則(3)

Aベストアンサー

遠心力:mv^2/r
重力:GmM/r^2
が釣り合っていますから,
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ここで,周期T=2πr/vなのでv=2πr/Tを代入して,
4π^2r^2/T^2 = GM/r
T^2 = 4π^2/GM r^3
∴T^2はr^3に比例

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f(r)=^Gmm/r^2を使ってしまうとそのまま答えなので駄目だと思ってるのですが・・・

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r^2*dθ/dt=H=CONST(一定)   ・・・(2)
を用いた後、再度時間で微分を取ることにより、θを含まないrの時間に関する2回微分方程式を導き、力が距離rの事情に反比例することを示せ。
...続きを読む

Aベストアンサー

> f(r)=^Gmm/r^2を使ってしまうとそのまま答えなので駄目だと思ってるのですが・・・
そりゃそうですよね.

l (小文字のエル)は数字の1(イチ)と区別がつきづらいので
大文字の L にします.
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左辺を微分したものが -(L/r^2) (dr/dt) ですから,
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これで
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ですね.
もう一回 t で微分し,dθ/dt は(2)で始末し,cosθは(1)を使えば,
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> この問題での力ってどういう方程式で表せばいいのでしょうか?
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Aベストアンサー

>具体的に第二法則と第三法則は何を言っているのでしょう?

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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC

 ケプラーの法則は、ニュートンの運動の法則と万有引力の法則によって見事に説明されることになります。

>具体的に第二法則と第三法則は何を言っているのでしょう?

 第二法則は、太陽からの距離と惑星の速さの間に「面積速度一定」という関係がある、ということで、惑星が太陽のまわりを回る速さは、太陽に近いときに速く、遠いときには遅い、ということをいっています。

 第一法則と第二法則は、一つの惑星の運動についての法則といえます。例えば、火星の運動だけを追求しても発見できます。

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Qケプラーの第2法則

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x=r cosθ, y=r sin θ
にして解きます。
その後の式変形については
http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/~tanigchi/Enn/math.01/doc/math6-1.html
などを見られるとよいでしょう。
ごめんなさい。式を書くのが面倒なもので。。。
図書館に行って大学1年生相当のテキストをあされば
もっとわかりやすいものがたくさんあるとおもいます。

逆にオイラーの法則よりニュートンの法則を得るなら
(歴史的にはこうなのだけれど)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/NON-EXPERTS/non-experts.html
の中のPDFファイルがとってもおススメなのです。

Qケプラーの法則

ケプラーの法則についてわかり易く教えていただけないでしょうか?あるいはわかりやすいサイトがあれば助かります。特に第三法則が分かりにくいです。

Aベストアンサー

いくつかリンクを張っておきます。

http://www.s-yamaga.jp/nanimono/uchu/tariyokeiriron-02.htm
http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/docking/kepler/kepler/kepler.html
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/mechanics/kepler/kepler-j.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/newton/node4.html
http://www.kusa.ac.jp/~kenji-y/butsu/rikigaku/kakund9c.html

そんなのはとっくに読んだ、ということであれば、ご容赦。

Qケプラーの第三法則

大学から与えられたデータをもとにケプラーの第三法則が成り立つことを確認しているのですが
天王星のみ比例しませんでした。
ネットなどで調べたところ
天王星は18世紀ごろには発見されていなかったことや動きが遅いことはわかったのですが
なぜ天王星だけ数値があわなかったのかわかりません。
どなたか知りませんか。

Aベストアンサー

理科年表で周期(対恒星公転周期)を調べると

火星    1.88089年
木星   11.8622年
土星   29.4578年
天王星  84.0223年
海王星 164.774年

でした。

isa-98 様の示されている数値と少し異なります。
学校で与えられたデータはどちらのものだったのでしょうか。
周期のデータが3桁目で違ってくるというのは「?」です。


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