x/(xの2乗+x+1)の積分のやり方を教えてください。

A 回答 (2件)

x/(x^2+x+1)


={(2x+1)/2 -1/2}/(x^2+x+1)
=1/2[(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) - 1/{(x+1/2)^2+3/4}]

これでわかるかと
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/18 14:34

t=x+1/2、a=√3/2とおくと


∫x/(x^2+x+1)dx=∫(t-1/2)/(t^2+a^2)dt
∫t/(t^2+a^2)dt=(log(t^2+a^2))/2 (微分すればわかる)
∫1/(t^2+a^2)dt=(arctan(x/a))/a (微分すればわかる)
これらを係数に気をつけて加え合わせてください。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/18 14:35

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数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
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Qsinx/xの二重積分

∫[0→π/2](∫[y/2→y]sinx/x dx)dy+∫[π/2→π](∫[y/2→π/2]sinx/xdx)dy
という問題なのですが、sinx/xの積分は初等関数では解けないらしく特殊関数Si(x)を使うらしいのですが、まだSiは習っていません。

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Aベストアンサー

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f(x)=sin(x)/xをマクローリン展開してそれを積分すれば良いですね。

求める積分値の正確な値は「1」ですね。

マクローリン展開の項数を
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10項まで取れば積分の精度は有効桁数9桁、
20項まで取れば積分の精度は有効桁数20桁、
51項まで取れば積分の精度は有効桁数61桁
となりました。
80項、100項、200項、...としたら、精度の有効桁数は100桁以上で
積分値=1になります。

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Si(x)は習っていなくても、マクローリン展開なら習っているでしょう(高校の数学の参考書などにも見かけますから)。

参考)数値計算はフリーソフトの数式処理ソフトwxMaxima使用

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

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Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「積分公式」ってなんのことでしょうか?
それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
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この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

Qaの0乗が1になる理由とaの1乗がaになる理由

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 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の多項式で近似できるf(x)を扱う場合に旨く行きます。

 さて、ご質問は、おそらく積分範囲 x=-1~1に対してガウス・ルジャンドルの数値積分を使いたいけれど、次数を2にして、分点、すなわちサンプリングする点を±0.5だけにしたい、という注文です。たぶん、±0.5における被積分関数f(x)の値なら簡単に求められる、というのでしょう。
 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
dx/dt = g'(t)
の積を被積分関数としてt=-1~1について積分することになります。この場合、被積分関数 f(g(t)) g'(t) がtの2次多項式で近似できるんでないと、2次のガウス・ルジャンドル法を使って精度が出るという保証はありません。
 高精度の数値積分をやりたいと仰っている割に、f(x)が高々低次の多項式で近似してしまえるんだったら、何もガウス・ルジャンドル法に拘る必要はないんで、例えばニュートン・コーツ型の数値積分、すなわち分点を等間隔に取る方法でも十分じゃないの?と思うんですが、どうなんでしょうね。

 或いは分点の数をもっと増やして良い、というのだったら、代わりに例えば-1~-0.5, -0.5~0.5, 0.5~1の3つの区間に分けてそれぞれ積分するのでも良い。被積分関数の傾きが急な部分でサンプリングを細かくしてやるというのも精度が出ますし、その代わりに適当な変数変換をして等間隔サンプリングしたり、ガウス・ルジャンドル法を使ったり…いろんな処方が考えられます。

 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
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Qy=a*ln(x)+bのxを求めたい

ど素人というか原理はわからないけどとにかく結果を求めたいです。
うまく説明できてるかもわかりませんがどうかお助け下さい。
EIA測定してキットのマニュアルに従い、吸光度(B/Bo%)をy軸に,濃度をx軸(対数目盛)にとってExcelを使ってグラフを作成。
対数近似曲線を引いたらタイトルの式が出ました。
知りたいのは測定物質の濃度なのでxを求めなければなりませんよね。
式がy=ax+bだったら、x=(y-b)/aで簡単に求められるのですが
タイトルの式ではln(x)をどうあつかっていいのかわかりません。
y=a*ln(x)+bの式をx=○○・・・に変換するとか、Excelのこの機能で求められるとか、何か方法を教えてください。
文章を読んで察しがつくと思いますが、数学ぜんぜんわからないので
理屈抜きで「この式のここに吸光度の値をいれるとこれが求める濃度だ」というような単純明快なお答えをお待ちしています。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

グラフを作るときに、「吸光度B/Boをyとおく」からまずいのです。

吸光度から濃度を知りたいのなら、どうして、「吸光度B/Boをx,濃度をy」とおかないのですか?

これでx,yデータをエクセルプロットすれば、ANo.2さんのような近似式が求まります。
ただし、このとき、前回は「対数近似」をしましたが、y,xを入れ替えていますので、今回は「指数近似」をしなければなりません。
(対数近似/指数近似のどちらが適当かは、グラフの形を見て判断します)

ANo.2さんの式は正しいですが、もう少し変形できます。
  y=e^((x-b)/a)=e^(x/a)/e^(b/a)=e^(-b/a)*e^(x/a)
e^(-b/a)を引っ張り出してきた理由は、これが定数項だからです。

e^(-b/a)をエクセル上で求めるには、例えば
A1セルにa,B1セルにbをおいたとすると、C1セルに[=exp(-b1/a1)]と入れれば、C1セルに演算結果が表示されます。

Q数学II「微分・積分」で面積を求める公式

6分の1の公式や3分の1の公式みたいに、積分を利用せずに面積を求められる公式って他にありませんか?

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(1)や(2)は高校数学のレベルで十分理解できると思います。
これらは,数値積分と呼ばれるもので,近似的に積分(求積)を実現しています。
参考になれば良いのですが。

(1)台形法
(2)シンプソン法
(3)ルンゲ・クッタ法

QPID制御の1/4減衰法はなぜ1/4なのか?

PID制御のパラメータチューニング法の一つに1/4減衰法というのがありますが、なぜ"1/4"なのでしょうか?

1/4の根拠を教えてください。

それとも、「明確な根拠は無いけど1/4ぐらいが(速応性とロバスト性のバランスという面で)ちょうどいいんじゃない?」、的な考え方なのでしょうか?

Aベストアンサー

1/4に付いてこんな質問が有りました。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3076541.html?order=DESC&by=datetime

この回答中のキーワード<Quarter-Amplitude Damping>で調べてみたら。
QAD
Quarter amplitude damping. A method espoused by Ziegler and Nichols
for tuning PID loop response to a step change.
http://www.globalspec.com/reference/53911/203279/chapter-q-q-qad-qwerty

QAD 1/4振幅減衰:ZieglerとNicholsによりステップ変化へのPIDループ応答
チューニングのために支持されたある方法。
とあります。

何故支持されたかのヒントとしては
<The Ziegler-Nichols tuning methods aim for a quarter-amplitude damping
response.・・・・Although quarter-amplitude damping-type of tuning provides very
fast rejection of disturbances,…>
http://blog.opticontrols.com/archives/477

Ziegler-Nichols チューニング法は1/4振幅減衰応答を目指している。・・・
1/4振幅減衰タイプのチューニングは非常に速やかに錯乱を排除するが・・・
と有ります。
チューニング法としては有効なことを言い、その制約が述べられています。

日本語では調べたらこんな文が見つかりました。
<ステップ応答法によって測定されたPID定数は、25%減衰を
最適とする調整法であり、最適調整法の最大公約数を取っております。>
http://www.as-1.co.jp/academy/15/15-5.html

後半の文は1/4振幅減衰法が最大公約数のPID値を与えている
とも読めます。

まとめるとPID制御の基礎を提供したZiegler-Nicholsがチューニングの
目安として1/4法を提案し、それが最大公約数的なPID値を与えるとして
今でも使われているのではないでしょうか・

質問の後半はZiegler-Nicholsの論文を丁寧に読むほか有りません。

勘にも頼らず、ただ試行錯誤でPID調整をやっていた昔が懐かしいです。

1/4に付いてこんな質問が有りました。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3076541.html?order=DESC&by=datetime

この回答中のキーワード<Quarter-Amplitude Damping>で調べてみたら。
QAD
Quarter amplitude damping. A method espoused by Ziegler and Nichols
for tuning PID loop response to a step change.
http://www.globalspec.com/reference/53911/203279/chapter-q-q-qad-qwerty

QAD 1/4振幅減衰:ZieglerとNicholsによりステップ変化へのPIDループ応答
チューニングのた...続きを読む

Q積分の公式の導出について

積分の公式の導出について

∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1))
なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ax+b=s とおくと ds/dx=a つまり dx=ds/a
従って 与式=∫s^n/a ds
あとは積分してsを元に戻すだけです。

Q時速60Km/H + 時速60Km/H の問題です

お世話になります。

自分が乗っている時速60Km/Hで走っている電車の前方から、時速60Km/Hでこちらに向かっている電車の速度は120Km/Hに見えるのですが、実は120Km/H未満が正解だったと思います。

計算の仕方を忘れてしまいました。

どなたか教えてください。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 お礼、ありがとうございます。#1です。

>もしも自分の乗っている電車が秒速20万Kmで進んでいて、前方からも秒速20万Kmでこちらに向かっている電車があるとき、

 そういう定性的なことですと、光速度不変の原理で考えることができます。

 前方の電車がこちらに向けて光を放つとどうなるでしょうか。その光も秒速30万kmという速度になる、というのが光速度不変の原理です。どんな条件で放たれた光であれ、どんな慣性系からでも同じ秒速30万kmです。

 さて、前方の電車に乗り移ったとして考えてみます。光を前方に向けて放てば、自分の電車より先に光は進みます(この光も秒速30万km)。自分をどんどん引き離して進んでしまいます。そして自分より早く他方の電車に到達します。

 再度、元の電車に戻ってみます。前方の電車が放った光は、前方の電車より早くこちらに届きます。その光は秒速30万kmなのでした(光速度不変の原理)。それより遅れてこちらとすれ違う電車は、光速度より遅いことになります。

 もう少し複雑にしてみましょう。

 電車1の上に電車2を走らせます。どちらも速度は同じ秒速20万kmとしておきます。それを駅のホームから眺めているとします。。ニュートン力学では、20万+20万=秒速40万kmとなり、光速度(秒速30万km)を超えます。

 ここで光速度不変の原理を使ってみます。電車2に乗ったと考えて、電車2から前方に光を放ちます。光は秒速30万kmで自分の前方を進んで行きます。

 この状況で電車1から考えてみます。電車2が放った光は、電車1から見ても秒速30万kmです(光速度不変の原理)。その光は電車2を引き離しながら進んで行くのでした。だとすると、電車1からすれば、電車2は秒速30万kmより遅い。

 さらに駅のホームから考えてみます。電車2から放たれた光は、やはり秒速30万kmであり、電車2を引き離して前方に進んで行きます。それなら、駅のホームから見ても、電車2は秒速30万kmより遅いということになります。

 電車を何段重ねにしようと、同じことになります。光速度は超えられません。この状況を先の速度の合成則で見てみます。

W=(v+V)/{1+(vV/c^2)}
=(v+V)/{1+vV} ←式が変形しやすいようc=1と置いた:定数なので任意に決めて良い
 =1-{(1-v)(1-V)/(1+vV)}

 c=1としたので、vやVが1未満、つまり光速度未満であればカッコの中は0より大きいですから、W<1です。ですので、光速度未満であることが分かります。

 いかに光速度に近い速度の電車を二台使おうとも、光速度にはなれないわけです。二台合わせても光速度未満ですから、さらに何台持って来ても同じ、光速度未満にしかなりません。

 もし、vかVのどちらか一方でも光速度であれば(v=1やV=1)、カッコの中は0となり、W=1、つまり光速度となります。どんな速度を持っていようが、そこから放った光は必ず光速度であることも、速度の合成則の式は示しています。

 お礼、ありがとうございます。#1です。

>もしも自分の乗っている電車が秒速20万Kmで進んでいて、前方からも秒速20万Kmでこちらに向かっている電車があるとき、

 そういう定性的なことですと、光速度不変の原理で考えることができます。

 前方の電車がこちらに向けて光を放つとどうなるでしょうか。その光も秒速30万kmという速度になる、というのが光速度不変の原理です。どんな条件で放たれた光であれ、どんな慣性系からでも同じ秒速30万kmです。

 さて、前方の電車に乗り移ったとして考えてみます。...続きを読む


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