放物線 y=2x**2+3x を平行移動した曲線で点(1,3)を通り、頂点が
直線 y=2x-3 上にある方程式を求めよ、という問題があります。
この問題の解答の導き方に、頂点の座標は (p, 2p-3) と表せる
ので、求める方程式は、
y=2(x-p)**2+2p-3
となるとあるのですが、なぜこうなるのかがわかりません。

座標を移動させると元の式は
y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
となると思うのですが、この式を展開すると
y=2(x-p)**2+2p-3+3(x-p)
となり、3(x-p) が余分についています。

どこで考え方を間違っているのでしょうか。
解答の導き方では y=2x**2+3x の 3x のところが、4x でも 5x でも
同じになってしまわないのでしょうか。

A 回答 (2件)

>座標を移動させると元の式は


y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
となると思うのですが

なぜこうなると思うのでしょうか?

>解答の導き方では y=2x**2+3x の 3x のところが、4x でも 5x でも
同じになってしまわないのでしょうか。
同じになりますね

そもそも
y=2x^2+3x=2(x+3/4)^2-9/8
y=2x^2+4x=2(x+1)^2-2
y=2x^2+5x=2(x+5/4)^2-25/8
でどれもy=2x^2を平行移動したものですね
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この回答へのお礼

ようやっと理解できました。
y=2x^2+3x
というのは、
y=2(x+3/4)^2-9/8
なので、
y+9/8=2(x+3/4)^2
つまり、y=2x^2 の曲線の頂点(0,0)を(-3/4,-9/8)に移動したもの。
なので頂点(0,0)を (p, 2p-3)に移動させたときの曲線は
y-(2p-3)=2(x-p)^2
つまり、
y=2(x-p)^2+(2p-3)
となるのですね。
この曲線が(1,3)を通るので、
3=2(1-p)^2+(2p-3)
から、p を求めればよい。あとは単純計算ですね。

この問題は教科書の例題なのですが、解答手順の最初に
y=2(x-p)^2+2p-3
となるとあり、これがどうしても理解できませんでした。
この式を導き出すのがこの問題のポイントだと思うのですが、
これは自明なんでしょうか。不思議です。

また、
y=2x^2+3x も y=2x^2+4x も同じ y=2x^2 を平行移動したものと
いうのは意外でした。2次関数というのはすべて左右対称
なのですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 23:20

>座標を移動させると元の式は


>y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
>となると思うのですが、この式を展開すると

これは元の式を「x軸方向にp、y軸方向に2p-3移動させたもの」であって、「頂点が直線 y=2x-3 上にある」ではありません。

蛇足ですが、放物線 y=2x**2+3x の頂点を、直線 y=2x-3 上に持ってくる平行移動って無数にありますよね。
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この回答へのお礼

> これは元の式を「x軸方向にp、y軸方向に2p-3移動させたも
> の」であって、「頂点が直線 y=2x-3 上にある」ではありません。

ご指摘のとおりです。
式を(x, 2x-3) 平行移動させると、頂点が直線 y=2x-3 上にくると勘違いしていました。

お礼日時:2009/05/18 23:24

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Aベストアンサー

設計製図の基礎の本でも立ち読みすれば書いてあると思いますが
道具の使い方の基本はT定規の時と同じで
ドラフターでもそうですが
水平線は左から右に引きます
垂直線は三角定規を水平の定規にL型に当て
定規の左側を使って下から上に引きます。
先輩方が経験から編み出した線がまっすぐ引ける作図法なので
倣った方がいいと思います。
(T定規もドラフターも左側に定規の支点があるので
定規がたわんだりずれないように作図するには必然的にそうなる)
スケールが浮かせるようになっているのは図面に墨入れした時に
インクがスケールと紙の間に滲まない様にするためで
鉛筆で書くのなら浮かさなくてもかまいません。
スケールが紙を摺ると図面が汚れるので浮かして作業する人もいますが
線をまっすぐ引くには相当訓練が必要です。

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クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

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指針・解答を見て解きましたが、途中から分からなくなってしまいました…
分かりやすく説明して頂けると嬉しいです^^
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。
与えられた2次関数の式から頂点の座標を求めるところまではいいと思います。
「x軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化する」という条件を考えましょう。
これはaがとりうる値の範囲を与えることになります。

通常ならば「判別式」といきたいところですが、
グラフを考えると下に凸になるので頂点がx軸よりも下にあればよいことに気づきます。
この判別式と頂点のy座標の関係は同じことをしめしています。
すなわち「同値」ということです。

頂点のx座標とy座標をそれぞれX,Yとでもおいて、aで表します。
比較的簡単な変形でaを消去できます。
最後に、aの値には範囲がついているので、それをXの値の範囲になるよう置き換えます。

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数学1の関数の質問です!

y=x^2のグラフをy軸方向に1だけ平行移動した場合なぜy=x^2+1になるのか?
y=x^2のグラフをx軸方向に2だけ平行移動した場所なぜy=(x-2)^2になるのか?

それら2つの疑問に関して解説して頂けませんでしょうか?

特にy=x^2のグラフをx軸方向に2だけ平行移動した場合なぜy=(x+2)^2にならずy=(x-2)^2になるのかチンプンカンプンです。

それでは宜しくお願い致します!

Aベストアンサー

式で書いても難しそうだから、絵で説明する。
y=x^2のグラフの意味は、x=1の時はy=1、x=2の時はy=2^2=4
3の時は3^3=9・・・となるから、そういう(x,y)の点を書いて滑らかに繋いだもの、と言う意味。

(1)y=x^2のグラフをy軸方向に1だけ平行移動した場合
下の図の上半分。
右が、左のグラフをy軸方向に1だけすらした(平行移動した)図
右の赤線は青線に2足した長さ。
青線は左の図からx^2だから、足すとx^2+2。


(2)y=x^2のグラフをx軸方向に2だけ平行移動
下の図の下半分
グラフをx方向に2ずらすと、右側になる。
でも良~く見ると、左側の座標の方を左へ2個動かしても同じになる。
だから、左の座標xをいつも2個左へ動かせば右になる。
左はx^2なんだから、xからいつも2を引いて、(x-2)^2。

Q数学Ⅱ 円と直線問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0直線l: y=-x+k が異

数学Ⅱ 円と直線

問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
直線l: y=-x+k が異なる2点で交わるkの範囲は
「1〈k〈5」
また、lがCによって切り取られる線分の長さが2であるとき、定数kの値を求めよ。

解答、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。

CM=√AC∧2-AM∧2=1

よって |k-3|/√2 =1

k=3±√2 。。

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

Aベストアンサー

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


点A(x₁,y₁) と 直線 ax+by+c=0 との距離dは

d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
三角形CAMは、∠CMA=90° の直角三角形だから、三平方の定理より
CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
│k-3│/√2=1
になります。


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