放物線 y=2x**2+3x を平行移動した曲線で点(1,3)を通り、頂点が
直線 y=2x-3 上にある方程式を求めよ、という問題があります。
この問題の解答の導き方に、頂点の座標は (p, 2p-3) と表せる
ので、求める方程式は、
y=2(x-p)**2+2p-3
となるとあるのですが、なぜこうなるのかがわかりません。

座標を移動させると元の式は
y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
となると思うのですが、この式を展開すると
y=2(x-p)**2+2p-3+3(x-p)
となり、3(x-p) が余分についています。

どこで考え方を間違っているのでしょうか。
解答の導き方では y=2x**2+3x の 3x のところが、4x でも 5x でも
同じになってしまわないのでしょうか。

A 回答 (2件)

>座標を移動させると元の式は


y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
となると思うのですが

なぜこうなると思うのでしょうか?

>解答の導き方では y=2x**2+3x の 3x のところが、4x でも 5x でも
同じになってしまわないのでしょうか。
同じになりますね

そもそも
y=2x^2+3x=2(x+3/4)^2-9/8
y=2x^2+4x=2(x+1)^2-2
y=2x^2+5x=2(x+5/4)^2-25/8
でどれもy=2x^2を平行移動したものですね
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この回答へのお礼

ようやっと理解できました。
y=2x^2+3x
というのは、
y=2(x+3/4)^2-9/8
なので、
y+9/8=2(x+3/4)^2
つまり、y=2x^2 の曲線の頂点(0,0)を(-3/4,-9/8)に移動したもの。
なので頂点(0,0)を (p, 2p-3)に移動させたときの曲線は
y-(2p-3)=2(x-p)^2
つまり、
y=2(x-p)^2+(2p-3)
となるのですね。
この曲線が(1,3)を通るので、
3=2(1-p)^2+(2p-3)
から、p を求めればよい。あとは単純計算ですね。

この問題は教科書の例題なのですが、解答手順の最初に
y=2(x-p)^2+2p-3
となるとあり、これがどうしても理解できませんでした。
この式を導き出すのがこの問題のポイントだと思うのですが、
これは自明なんでしょうか。不思議です。

また、
y=2x^2+3x も y=2x^2+4x も同じ y=2x^2 を平行移動したものと
いうのは意外でした。2次関数というのはすべて左右対称
なのですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 23:20

>座標を移動させると元の式は


>y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
>となると思うのですが、この式を展開すると

これは元の式を「x軸方向にp、y軸方向に2p-3移動させたもの」であって、「頂点が直線 y=2x-3 上にある」ではありません。

蛇足ですが、放物線 y=2x**2+3x の頂点を、直線 y=2x-3 上に持ってくる平行移動って無数にありますよね。
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この回答へのお礼

> これは元の式を「x軸方向にp、y軸方向に2p-3移動させたも
> の」であって、「頂点が直線 y=2x-3 上にある」ではありません。

ご指摘のとおりです。
式を(x, 2x-3) 平行移動させると、頂点が直線 y=2x-3 上にくると勘違いしていました。

お礼日時:2009/05/18 23:24

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4x^2-9y^2+28x+49
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=4x(x+7)-(3y+7)(3y-7)
とやってしまい、これ以上進まずに躓いてしまいました。

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Aベストアンサー

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-9y^2+49 は-(3y+7)(3y-7) なのもすぐ見えます
かけて -9y^2+49 になるのは -1 3y+7 3y-7 ですので
これを組み合わせて「足して14」となるのならば
y がじゃまなので -3y+7 3y+7 です
ですので

= ( (2x)-3y+7 ) ( (2x)+3y+7 )
=(2x-3y+7)(2x+3y+7)

です。質問文はタイプミスです.

一般論です.
どんな二次式でも因数分解できならば
かならず,1次式と一次式の積になります.
かならず答えは
(ax+by+c)(a'x+b'y+c') という形の式の積です
文字がx,yだけではなくて,
もっと増えても本質は同じです.

つまり,二次式であれば,効率性を考えなければ
かならず,上で挙げたような「降べき」で整理して
たすきがけを行えば必ず解けるんです.

また,(ax+by+c)(a'x+b'y+c')と因数分解できるのであれば
No.2さんのおっしゃるとおり
(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0という方程式は
x=-(bx+c)/a, -(b'y+c)/a'
という「解」を持ちます.そこを逆手にとって
最初から「降べき」に整理して
二次方程式の解の公式に持ち込んでしまうというのもありです.

どうやるにしろ,因数分解は
ひたすら経験を積んで,最短(と思われる方法で)
直感で解けるようになることが必須です.
試行錯誤の積み重ねが必要です.

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
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Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
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CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
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