In e^√x dx= 2(√x-1)e^√x
となりました。

それで微分して検算しようと思ったのですが
d/dx(2(√x-1)e^√x)=2(e^√2)'+e^√x*(1/2√x)
このあたりで間違っているような気がします。
ここから解くことが出来ません。

どなたか教えていただけませんか?

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A 回答 (1件)

>In e^√x dx= 2(√x-1)e^√x


>となりました。

 この不定積分は、積分定数をつければ合っています。

>それで微分して検算しようと思ったのですが
>d/dx(2(√x-1)e^√x)=2(e^√2)'+e^√x*(1/2√x)

 関数の積の微分で誤りがあります。
d/dx{f(x)g(x)}=df(x)/dx g(x) + f(x) dg(x)/dx

 d/dx(2(√x-1)e^√x)
=2(√x-1)(e^√x)' + 2(√x-1)'e^√x
=e^√x/√x {(√x-1) +1}
=e^√x

この回答への補足

=2(√x-1)(e^√x)' + 2(√x-1)'e^√x
=e^√x/√x {(√x-1) +1}
この間の式はどうなっているのでしょうか?

補足日時:2009/05/18 01:55
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積分 e^x^2」に関するQ&A: e^-2xの積分

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Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

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(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

積分公式よりS=~



積分公式は教科書に載っていないので、こういう使い方が受験に通じるのか不安です。回答お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「積分公式」ってなんのことでしょうか?
それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
すでに、ここの質問でも通用していないくらいですから。

単に積分の計算であれば、とくに明記せずに用いてもいいと思います。
この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

Q三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
によると、
π:=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

π:=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

π:=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということですが、

∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということを三角関数を使わずに示すにはどうしたらよいのでしょうか?
三角関数を使わずに、という理由は、
arcsin(x)=∫[0,x]1/√(1-x^2) dx
というのが三角関数の定義として考えたいからです。

Aベストアンサー

∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=[x√(1-x^2)][-1,1]+∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx
=-∫[-1,1]√(1-x^2) dx+∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

Q分点座標が±0.5のGauss-Legendre積分公式を知りませんか。

高精度化が必要な数値計算をやっています。
特に、数値積分の高精度化が必要なため、Gauss-Legendre積分公式の使用を考えています。
ただし、解く方程式が積分方程式であるなどの理由からそのままでは使用できません。
使用するためには、Gauss-Legendre積分公式の分点座標が区間の中心である必要があります。
例えば、分点数が2の場合、通常は座標x=±0.57735...重みw=1ですが、これを座標x=±0.5とできるような積分公式はないでしょうか?

Aベストアンサー

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の多項式で近似できるf(x)を扱う場合に旨く行きます。

 さて、ご質問は、おそらく積分範囲 x=-1~1に対してガウス・ルジャンドルの数値積分を使いたいけれど、次数を2にして、分点、すなわちサンプリングする点を±0.5だけにしたい、という注文です。たぶん、±0.5における被積分関数f(x)の値なら簡単に求められる、というのでしょう。
 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
dx/dt = g'(t)
の積を被積分関数としてt=-1~1について積分することになります。この場合、被積分関数 f(g(t)) g'(t) がtの2次多項式で近似できるんでないと、2次のガウス・ルジャンドル法を使って精度が出るという保証はありません。
 高精度の数値積分をやりたいと仰っている割に、f(x)が高々低次の多項式で近似してしまえるんだったら、何もガウス・ルジャンドル法に拘る必要はないんで、例えばニュートン・コーツ型の数値積分、すなわち分点を等間隔に取る方法でも十分じゃないの?と思うんですが、どうなんでしょうね。

 或いは分点の数をもっと増やして良い、というのだったら、代わりに例えば-1~-0.5, -0.5~0.5, 0.5~1の3つの区間に分けてそれぞれ積分するのでも良い。被積分関数の傾きが急な部分でサンプリングを細かくしてやるというのも精度が出ますし、その代わりに適当な変数変換をして等間隔サンプリングしたり、ガウス・ルジャンドル法を使ったり…いろんな処方が考えられます。

 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の...続きを読む

Qcosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 +

cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}
このグラフが分かりません…
教えてください!

Aベストアンサー

+ {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx) は
+ {(x-π/4)^3/3!}・cos(θ(x-π/4)) ではないかと...違うかな?

で、これは cosx そのものです。θは x の関数なのでそれに惑わされないように。


下のはそれでなく、f(x)=(8/π^2){ (x-π/4)(x-π/2) - √2 x(x-π/2) } が正しいと思います・・・
このグラフは添付した図になります。
かなり近いです。

描き方は、計算機を用意して頂点を数値計算、あとは (0, 1) 、(π/4, 1/√2) 、(π/2, 0) を通るように二次関数のグラフを描けば良いです。
あるいはグラフ描画ソフトの力を借ります。

Q数学II「微分・積分」で面積を求める公式

6分の1の公式や3分の1の公式みたいに、積分を利用せずに面積を求められる公式って他にありませんか?

Aベストアンサー

(1)や(2)は高校数学のレベルで十分理解できると思います。
これらは,数値積分と呼ばれるもので,近似的に積分(求積)を実現しています。
参考になれば良いのですが。

(1)台形法
(2)シンプソン法
(3)ルンゲ・クッタ法

QI_(n)=∫x^n/√(x^2+a^2)dxの漸化式の求め方

I_(n)=∫x^n/√(x^2+a^2)dxの漸化式の求め方

この積分の漸化式は

I_(n)=x^(n-1)√(x^2+a^2)/n - a^2(n-1)I_(n-2)/n

となります

この式の求め方がわかりません

誰か教えてください

お願いします

Aベストアンサー

I[n]=∫{x^n/√(x^2+a^2)}dx
=x^(n-1)・√(x^2+a^2)-(n-1)∫{x^(n-2)・(x^2+a^2)/√(x^2+a^2)}dx
=x^(n-1)・√(x^2+a^2)-(n-1)∫{x^n/√(x^2+a^2)}dx - a^2・(n-1)∫{x^(n-2)/√(x^2+a^2)}dx
=x^(n-1)・√(x^2+a^2)-(n-1)・I[n] - a^2・(n-1)・I[n-2]

∴n・I[n] = x^(n-1)・√(x^2+a^2) - a^2・(n-1)・I[n-2]
I[n] = (x^(n-1)・√(x^2+a^2) - a^2・(n-1)・I[n-2])/n

Q積分の公式の導出について

積分の公式の導出について

∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1))
なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ax+b=s とおくと ds/dx=a つまり dx=ds/a
従って 与式=∫s^n/a ds
あとは積分してsを元に戻すだけです。

Qe^(x^2) * e^(j√2x) = ?

次の2階非斉次線形微分方程式の一般解を求めよ。
(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = e^(x^2)

・・・という問題で、
(※下記の j は虚数の i と読み替えてください)

     v = e^(x^2)

     (d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0
u = d^(λx)とおいて、
     λ^2 + 2 = 0
     λ=j√2, -j√2
よって、独立解は
     e^(j√2), e^(-j√2)

y = uvであるから
     y1 = e^(x^2) * e^(j√2x)
       = e^(x^2) cos √2x          ←?
          :

・・・と書いてあるのですが、オイラーの公式で

     e^(j√2x) = cos √2x + j sin √2x

なので、

     y1 = e^(x^2) * e^(j√2x)
       = e^(x^2) { cos √2x + j sin √2x }

じゃないんですか?
なぜ、j sin √2x が消えているんですか?
(ちなみに、y2 は -j も消えて y2 = e^(x^2) sin √2x になっています・・・)
どうか教えてください。お願いします。

次の2階非斉次線形微分方程式の一般解を求めよ。
(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = e^(x^2)

・・・という問題で、
(※下記の j は虚数の i と読み替えてください)

     v = e^(x^2)

     (d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0
u = d^(λx)とおいて、
     λ^2 + 2 = 0
     λ=j√2, -j√2
よって、独立解は
     e^(j√2), e^(-j√2)

y = uvであるから
     y1 = e^(x^2) * e^(j√2x)
       = e^(x^2) cos √2x          ←?
          :

・・・と書いてあ...続きを読む

Aベストアンサー

解の表示を複素数も許容するのか,実数だけにしたいのかということが混乱の原因になっているように思います.

虚数単位にiではなくてjを使っているところをみると,質問者様は工学系の先生が書かれた教科書で勉強しているのでしょう.

数学ならば解なら方程式を満たせばよろしいとなりますが,工学や物理の問題は実数である必要があることがほとんどです.だから,解は最終的には実数だけで記述することが多いのです.

(☆)y''-4xy'+4x^2y=e^{x^2}

まず,☆を解くためにy=ue^{x^2}とおき,uの微分方程式を導きます.それは次のようになります.

(★)u''+2u=1

これの同次形は

u''+2u=0

となります.これはただちに解けて(というか覚えておくべき)

(1)u(x)=C_1e^{i√2x}+C_2e^{-i√2x}

となります.C_1,C_2は複素数でよいのですが,もし実数の解が必要ならこれに制限が加わります.u^*=uより

C_1^*=C_2

の関係があります.C_2=(A+iB)/2と実部A/2,虚部B/2に分けるとC_1=(A-iB)/2で

u(x)={(A-iB)e^{i√2x}+(A+iB)e^{-i√2x}}/2
=A(e^{i√2x}+e^{-i√2x})/2-iB(e^{i√2x}-e^{-i√2x})/2

つまり次のようになります.

(2)u(x)=Acos(√2x)+Bsin(√2x)

※もちろん,(2)でA,Bが虚数でも解にはなります.しかし,実数解を考えるときは普通は係数など実数だけで記述します.

次に,特殊解ですが★の形からu=1/2が解の一つであることは容易にわかります.

こうして,★の一般解は同次形の一般解+特殊解として,

u(x)=C_1e^{i√2x}+C_2e^{-i√2x}+1/2

または

u(x)=Acos(√2x)+Bsin(√2x)+1/2

となります.y=ue^{x^2}によって☆の一般解は

y=C_1e^{x^2}e^{i√2x}+C_2e^{x^2}e^{-i√2x}+e^{x^2}/2

または

y=e^{x^2}{Acos(√2x)+Be^{x^2}sin(√2x)}+e^{x^2}/2

となります.

解の表示を複素数も許容するのか,実数だけにしたいのかということが混乱の原因になっているように思います.

虚数単位にiではなくてjを使っているところをみると,質問者様は工学系の先生が書かれた教科書で勉強しているのでしょう.

数学ならば解なら方程式を満たせばよろしいとなりますが,工学や物理の問題は実数である必要があることがほとんどです.だから,解は最終的には実数だけで記述することが多いのです.

(☆)y''-4xy'+4x^2y=e^{x^2}

まず,☆を解くためにy=ue^{x^2}とおき,uの微分方程式を導き...続きを読む


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