1/{e^x+e^(-1)}を積分するとarctan(e^x)となるはずなのですが
方法が分りません。
=In e^x/(e^x+1)dxにしてみたりもしましたが出来そうにありません。
どなたか教えていただけませんか?

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A 回答 (4件)

>>>すみませんでした。

(-1)ではなく(-x)_です。

あー、やはりそうでしたか。
30分ぐらい格闘したのにできなかったもので、おやっと思っていました。

与式 = ∫1/{e^x+e^(-x)}dx = ∫e^x/{ (e^x)^2 + 1 }dx

-------------------------
ここで、y = e^x と置けば、
dy = e^xdx = ydx なので、dx=dy/y
-------------------------

つづき
与式 = ∫y/(y^2 + 1)・dy/y
 = ∫1/(y^2 + 1)・dy

-------------------------
ここで、y=tant と置けば、
dy = dt/(cost)^2
であり、また、
分母は、
y^2 + 1 = (tant)^2 + 1
 = (sint/cost)^2 + (cost/cost)^2
 = 1/(cost)^2
-------------------------

つづき
与式 = ∫1/(1/(cost)^2)・dt/(cost)^2
 = ∫(cost)^2・dt/(cost)^2
 = ∫dt
 = t + Const.
 = arctany + Const.
 = arctan(e^x) + Const.

合いました。
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この回答へのお礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。
おかげで出来るようになりそうです。

お礼日時:2009/05/18 07:12

#2ですが



#1の補足欄の質問者の式変形も間違っていますよ
正しくは
In e^x/(e^“2x”+1)dx

です
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 07:14

どちらにしても


In 1/{e^x+e^(-1)}≠In e^x/(e^x+1)dx
ですよ
In 1/{e^x+e^(-1)}=In e^x/(e^2x+1)dx

e^x=tとおけば
In e^x/(e^2x+1)dx=In (t)'/(t^2+1)dx
であとは1/t^2+1の積分がわかれば解けます

この回答への補足

すみません。
訂正がありました。

補足日時:2009/05/18 02:52
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私の間違いかもしれませんが、


どうやってそう変形したのでしょうか?
In e^x/(e^x+1)dxになりませんでした。
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この回答へのお礼

すみませんでした。
(-1)ではなく(-x)_です。

1/{e^x+e^(-x)}を積分するとarctan(e^x)となるはずなのですが
方法が分りません。
=In e^x/(e^x+1)dxにしてみたりもしましたが出来そうにありません。
どなたか教えていただけませんか?

の間違いです。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 02:44

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Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

積分公式よりS=~



積分公式は教科書に載っていないので、こういう使い方が受験に通じるのか不安です。回答お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「積分公式」ってなんのことでしょうか?
それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
すでに、ここの質問でも通用していないくらいですから。

単に積分の計算であれば、とくに明記せずに用いてもいいと思います。
この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

Q∫【1→2】{(x^2-x+4)/x(x^3+1)}dx

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 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
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 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

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与式 = lim[h→0] { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h) となって、
log(与式) = lim[h→0] log { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h)
     = lim[h→0] (1/h){ (1/h)log(1+h) - log e }。

この式に、log z の z = 1 でのテーラー展開
log(1+h) = 0 + h - (1/2)h^2 + o(h^2) を代入すれば、
log(与式) = lim[h→0] (1/h){ (1/h){ h - (1/2)h^2 + o(h^2) } - 1 }
     = lim[h→0] { -1/2 + o(h^2)/h^2 }
     = -1/2。

すなわち、与式 = e^(-1/2)。


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