1/{e^x+e^(-1)}を積分するとarctan(e^x)となるはずなのですが
方法が分りません。
=In e^x/(e^x+1)dxにしてみたりもしましたが出来そうにありません。
どなたか教えていただけませんか?

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A 回答 (4件)

>>>すみませんでした。

(-1)ではなく(-x)_です。

あー、やはりそうでしたか。
30分ぐらい格闘したのにできなかったもので、おやっと思っていました。

与式 = ∫1/{e^x+e^(-x)}dx = ∫e^x/{ (e^x)^2 + 1 }dx

-------------------------
ここで、y = e^x と置けば、
dy = e^xdx = ydx なので、dx=dy/y
-------------------------

つづき
与式 = ∫y/(y^2 + 1)・dy/y
 = ∫1/(y^2 + 1)・dy

-------------------------
ここで、y=tant と置けば、
dy = dt/(cost)^2
であり、また、
分母は、
y^2 + 1 = (tant)^2 + 1
 = (sint/cost)^2 + (cost/cost)^2
 = 1/(cost)^2
-------------------------

つづき
与式 = ∫1/(1/(cost)^2)・dt/(cost)^2
 = ∫(cost)^2・dt/(cost)^2
 = ∫dt
 = t + Const.
 = arctany + Const.
 = arctan(e^x) + Const.

合いました。
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この回答へのお礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。
おかげで出来るようになりそうです。

お礼日時:2009/05/18 07:12

#2ですが



#1の補足欄の質問者の式変形も間違っていますよ
正しくは
In e^x/(e^“2x”+1)dx

です
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 07:14

どちらにしても


In 1/{e^x+e^(-1)}≠In e^x/(e^x+1)dx
ですよ
In 1/{e^x+e^(-1)}=In e^x/(e^2x+1)dx

e^x=tとおけば
In e^x/(e^2x+1)dx=In (t)'/(t^2+1)dx
であとは1/t^2+1の積分がわかれば解けます

この回答への補足

すみません。
訂正がありました。

補足日時:2009/05/18 02:52
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私の間違いかもしれませんが、


どうやってそう変形したのでしょうか?
In e^x/(e^x+1)dxになりませんでした。
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この回答へのお礼

すみませんでした。
(-1)ではなく(-x)_です。

1/{e^x+e^(-x)}を積分するとarctan(e^x)となるはずなのですが
方法が分りません。
=In e^x/(e^x+1)dxにしてみたりもしましたが出来そうにありません。
どなたか教えていただけませんか?

の間違いです。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/18 02:44

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