重積分の問題がわからなくて困ってます
教えてください

I(a)=∬D e^-(x+y) dxdy
D={(x,y)|x≧0,y≧0,x+y≦a}

重積分I(a)を求め
I(a)をaの関数を考え、定義域 0<a<+∞ に対して
極値、変曲点、極限を考慮してそのグラフを書きなさい。

特に、グラフがどのようになるかが分かりません。
とき方も教えてくださるとすごくうれしいです
よろしくお願いします。

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二重 割合」に関するQ&A: 日本人の二重の割合

A 回答 (4件)

#2です。


>I(a)=-{e^(-a)}(a+1)+1
ですね。

I'(a)=a e^(-a)
I''(a)=(1-a)e^(-a)
変曲点はI''(a)=0からa=1の所が変曲点が出てきて、
このときのI(a)の値を求めると
I(1)=-{e^(-1)}*2+1=1-(2/e)
となりますね。
a>0なので常にI'(a)>0
なのでf(a)は定義域 0<a<+∞で単調増加関数ですので、
I(a)はこの定義域で極値を持たないことが分かりますね。
また、
lim[a→∞] I'(a)=lim[a→∞] a/e^a=lim[a→∞] 1/e^a=0
lim[a→∞] I''(a)=lim[a→∞] (1-a)/e^a=lim[a→∞] -1/e^a=0
I(a)は単調増加関数で、その傾きI'(a)がゼロに近づき、増加割合もゼロに近づきますのでI(a)は上限があり、それに収束することが分かります。
実際
lim[a→∞] I(a)=lim[a→∞] {1-(a+1)/e^a}=1-lim[a→∞] (a+1)/e^a
=1-lim[a→∞] 1/e^a =1-0=1
なので上限は1で、y=1が漸近線ということが分かりますね。

こういった説明よりも、グラフを描けば一目瞭然ですね。
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この回答へのお礼

すごくよく分かりした!
丁寧にありがとうございます

お礼日時:2009/05/21 21:06

二重積分の問題は体積を求める問題に置き換えると


理解しやすい。
「重積分についての質問です。」の回答画像4
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この回答へのお礼

答えありがとうございます!

お礼日時:2009/05/21 21:06

サイトの投稿のマナーとして以下のことが求められています。


------------------------------------------------------------------
基本的なマナーとして、ご自身である程度問題解決に取り組まれた上での
疑問点や問題点、お困りの点を明確にしてご投稿いただきたい。
------------------------------------------------------------------
をご存知なら、自分の解答を何も書かないで解き方や解説をまるまる求めるのではなく、質問者さんのやられた解答の過程を詳細を補足に書いた上で行き詰っていて分からない所だけを質問するようにして下さい。

アドバイス)
#1さんのヒントで積分の仕方がありますので、そのアドバイスで導出されるI(a)のグラフだけ描いて添付図としておきますので参考にして下さい。
極値なし、変曲点(1,1-(2/e),I(∞)=1(漸近線y=1)
「重積分についての質問です。」の回答画像2

この回答への補足

質問の仕方に問題があると指摘していただきありがとうございました
これから先、気をつけるよう心掛けます

I(a)=-e^-a (a+1)+1

と重積分は出たのですが
グラフの書き方がわかりませんでした

補足日時:2009/05/19 09:54
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この回答へのお礼

グラフを見て理解することができました
本当にありがとうございます

お礼日時:2009/05/19 13:32

I(a)=∬ e^-(x+y) dxdyは、まず ∫e^-x dx(0→a-y)を積分して、1-


e^(y-a)次にこれをyで積分、I(a)=∫(1-e^(y-a))dy(0→a)これでIはa
のみの関数になるので、グラフがわかります。
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この回答へのお礼

解き方を教えていただきありがとうございました!

お礼日時:2009/05/19 09:46

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Q図と絵の違いは何ですか?使い分け方は?

たとえば、洋裁の本ですが、
服の作り方をカラーでない黒色で書かれた図の解説でしてあるのと、カラーで書かれた図の解説でしてあるのとを、分かりやすい言葉で書き分ける際、
作り方を図の解説、作り方をカラー絵の解説、、、、と書いたら伝わりますか?
なんて表現したらスムーズで伝わりやすいですか?

Aベストアンサー

単色図、カラー図、などと分けるのをよく見かけますが。
いちいち分けずに「図2」などとカラー白黒関係無く通し番号を振っておいて、文章中で使えば問題無いように思います。

辞書、「字統」 によると圖(図)は農地を区切った地図、畫(画)は画文をほどこした楯の意味だとの事です。
元々の意味としては、図が説明的で俯瞰的、画のほうがより装飾的で呪術的なようです。
今でも図の方が実用的でわかりやすく説明するための物、画のほうが装飾的で精神的に楽しむための物、というような傾向があるのではないでしょうか。はっきり分けられない部分もありますが。

質問の場合どちらも図であって、違いはカラーか単色かなのですから図と画と言い分けるとかえって混乱すると思います。

Q∬sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか?
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのです...続きを読む

Aベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL:http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i...続きを読む

Q野草の図鑑の絵と写真の違い

最近になって道端にさいている野草に興味をもって名前をしらべているのですが、写真でみるよりも絵でかいてあるほうが実際の花に近いように見えて解りやすいことにきがつきました。
写真の方が実物を撮影しているので本物に近くて見分けやすいように思っていたら、絵のほうが実物と照らし合わせやすいです、写真風に書いてある絵なので一部を誇張しているでもなく色も写真のようですが絵のほうが良いです、
 花の名前の図鑑は絵が多い理由がわかったような気がしました。(図(絵)だから図鑑なんですが)
 絵の達人の方は現物を見て書くときに特徴をだしているのでしょうか。写真はその固体そのものなので
違う個体になると違ってみえます。
同じ種類の花でも一つ一つの違いを平均して書いているのでしょうか
 写真は好きで良く撮るのですが、絵はまったく駄目なので良くわかりませんが、絵は作者の頭の中で見た物を整理して人にわかりやすく書く能力があるのでしょうか、何か不思議なきがします


 

Aベストアンサー

写真は同じ方向から平面的(片目で見たような状況)に写し出します。
そして対象物すべてにピントを合わせません。
これによって対象物を忠実に写し出しているように見えて、すべての特徴をとらえることが困難になります。
さらに対象物以外の余計な情報(個体差や汚れ・破損・変形・光・影など)を同時に提供してしまうことがあります。
逆にこれらの条件をうまく使うことで同じ被写体でも、つまらない画像になったり感動する画像になったりします。
写真で一つのものを詳細に説明する場合は、角度やピント合わせなどを工夫して複数の画像を用いる必要が出てきます。

図鑑で対象物を絵で描写するときは、作画する人の手によってすべての部分、または必要とする部分だけにピントを合わせた作画が可能です。
また特徴に注目して、余計な情報を排除することができます。
場合によっては見えない部分も特徴を捉えて同じ構図内で見せることも可能です。
1回では見えないが角度を変えて見れば見えることを1枚の絵で書けてしまうこともあります。
伝えたいことを書いているが、実際には見えない(写真には写らない)絵を描くこともできるのです。

人が初めて見る物を観察するときは、正面からの画像だけでなく、両目で立体的に見て、さらに角度を変えて見ます。
さらに光と影などを無意識に補正します。
それが脳内で処理されて観察結果になるのです。
正面から平面的にとらえた写真と比べるよりも、同じように観察した結果を描いた図鑑の絵と比べた方が「似ている」と思うのはそのためだと思います。

写真は同じ方向から平面的(片目で見たような状況)に写し出します。
そして対象物すべてにピントを合わせません。
これによって対象物を忠実に写し出しているように見えて、すべての特徴をとらえることが困難になります。
さらに対象物以外の余計な情報(個体差や汚れ・破損・変形・光・影など)を同時に提供してしまうことがあります。
逆にこれらの条件をうまく使うことで同じ被写体でも、つまらない画像になったり感動する画像になったりします。
写真で一つのものを詳細に説明する場合は、角度やピント合わせ...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q点と線ではなく「絵」がメインの星座図

星座図というと、星を表す点が線で結ばれたものがほとんどで、場合によってはその背景に星座を表す絵(さそり座であればさそりの絵)がうっすらと描かれているものがあると思います。

しかし、そういうものではなく、星座を表す絵がメインになっている星座図を探しています。(理想的には、カラーでほぼ全天がカバーされているものがいいですが、そうでなくてもいいです)

(1)こういったものは何と呼べばよいでしょう?名前がわかりません(何語でもいいので情報を頂ければ幸いです)。
(2)こういったものはどのような店で手に入るでしょうか?もしウェブ上にそのような図があったらそれでも構いません(探しましたが見つかりませんでした)。

よろしくおねがいいたします。

Aベストアンサー

現代の星図でなくても良いのでしたら、、、。
「天球図」「古星図」「Celestial Atlas」などで画像検索してください。
大体、この手のものは古いものが多いので(17C~18C)、現在の星図とは多少違っています(現在の88星座になったのは、19C前半)。その分、美しい図版がありますが。
東京にお住まいですか?
10年ほど前、府中市郷土の森美術館のプラネタリウムで、こういった天球図の企画展がありました。その時の図録(平成7年度特別展『星座の文化史』→カラーが多くて良い)が、たぶんまだ販売されていると思います。(HPから問い合わせができるので、聞いてみた方がいいでしょう)
また、その時の監修にあたっていた原恵さんという方の著作にあたれば、あるいは見つかるかも知れません。
なお、現物は、千葉市郷土資料館が充実していましたが、千葉市科学館が新設されるため(10/20オープン)、移設されるようです。(ちなみに千葉市郷土資料館の図録はモノクロが多いので、あまりお薦めしません)

Qa+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0

a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0)
abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。

という問題が分かりません。助けてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

確かに相加相乗を使いますが、先ほどの式は違います。

n個の正数があるとき、
相加平均はn個の総和をnで割ったもの。
相乗平均はn個の積のn乗根をとったもの。

それに対して常に(相加平均)≧(相乗平均)が成り立ち、等号はn個の正数の値が全て等しいときになります。

今回はa,b,2cと3数があるので、
相加平均は(a+b+2c)/3
相乗平均は(a*b*2c)^(1/3)となり、
(a+b+2c)/3≧(2abc)^(1/3)が成り立ちます。

a+b+2c=4kより、4k/3≧(2abc)^(1/3)となります。
両辺を3乗すると、64k^3/27≧2abcで、abc≦32k^3/27
等号成立時がabcの最大値となるので、a=b=2c、即ちa=b=4k/3,c=2k/3のとき最大値32k^3/27となります。

Q地図記号と地形図記号の違い

地図記号と地形図記号の違いはあるんですか?
違いがありましたらどういうものが地形図記号かを教えてください

Aベストアンサー

地図に書かれた地名は地形図記号ではないようです、
地形図記号は下記などを参考にしてください
http://www.gsi.go.jp/MAPSAKUSEI/25000SAKUSEI/zushiki-zushiki.html

Q2直線 x/a+y/b=1, x/a+y/b=2(a>0, b>0)の

2直線 x/a+y/b=1, x/a+y/b=2(a>0, b>0)の間の距離を求めよ。

という問題の解説に、

2直線は平行だから、第一の直線上の点(1、0)を通る。よって、ここからbx+ay=2abまでの距離を求める

と、ありました。

なぜ(1,0)を通るのですか?

Aベストアンサー

誤記なんてレベルでは済まないですよ。
 A.2直線は平行である。
 B.第一の直線が点(1,0)を通る。or B'.第一の直線上のどこかの点を第二の直線が通る。
 C.AがB(またはB')の根拠になっている。
このうち正しいのはAだけです。

第一の直線は点(a,0)を通る。
また、2直線は平行だから、点(a,0)から第二の直線までの距離を求めればよい。
とでも書くのなら良いのですが、論理が滅茶苦茶ですね。

QWordのオブジェットと図の違いについて

お世話になります。

Word文書に.jpgなどの写真を挿入する時、挿入/図/ファイルから と
挿入/オブジェクト/ファイルからでは、「図」と「オブジェクト」なんですが、画像は同じように入るのですが、違いがよくわかりません。このふたつの違いを教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私なりに解釈していることとして、Word内に埋め込む
方法が違うのではと思います。
どちらも[浮動配置]では違いが解り難いですが、[行内]
に埋め込む[行内配置]では違いがハッキリします。
(フィールドコードを表示している場合の違い)

・図として埋め込んだ場合

1) [図]そのものを埋め込んでいるので、そのサイズ分
ぐらいのファイルサイズが増えるのみ。

2) 図を加工するのにWord内の機能でしか出来ない。
図をダブルクリックしても[図の書式設定]しかでない。

3) オブジェクトはでないので、[フィールドコード]で
表示されない

・オブジェクトとして埋め込んだ場合

1) 図の大きさがファイル元サイズで埋め込まれ、関連
するアプリケーションのオブジェクト情報も埋め込まれる
ことからファイルサイズが極端に増える。

2) 図を編集するのに、図の拡張子がWindowsで関連させた
アプリケーション(埋め込みに使用したオブジェクト)で
作業が出来る。図をダブルクリックでオブジェクトが開く。

3)オブジェクトなので、フィールドコードを表示させると
関連するオブジェクト名が表示される。
{ EMBET MSPhotoED.3 } 等の表示になる。この場合は
PhotoEditorが関連するオブジェクトになる。 

他にも違いがあるでしょうが、私が認識している範囲では
この違いがあるので、出来るだけ図として埋め込む(挿入)
するようにしています。

図の加工は挿入する前に必ず行い、別名で保存した図を
挿入するようにしています。

私なりに解釈していることとして、Word内に埋め込む
方法が違うのではと思います。
どちらも[浮動配置]では違いが解り難いですが、[行内]
に埋め込む[行内配置]では違いがハッキリします。
(フィールドコードを表示している場合の違い)

・図として埋め込んだ場合

1) [図]そのものを埋め込んでいるので、そのサイズ分
ぐらいのファイルサイズが増えるのみ。

2) 図を加工するのにWord内の機能でしか出来ない。
図をダブルクリックしても[図の書式設定]しかでない。

3) オブジェクトはでないの...続きを読む


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