3次の正方行列A,Bが
rank(A)≦1
rank(B)≦1
を満たすならば、A+Bは正則でないことを示せ。

どうやれば示せるでしょうか??

rank(A)≦1
rank(B)≦1
から、A,Bは正則ではないことはわかりますが、そこからA+Bも正則でないということが示せません。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

こんにちは.


すでにきちんとした解答が出ていますが…長々と書いてみます.

行列Aの1行目をベクタxで書きます.
このとき,rank(A)≦1ですから,
行列Aの2行目と3行目はある定数a_1,a_2によって,
それぞれa_1*x,とa_2*xと書くことができます.
同様にrank(B)≦1ですから,行列Bの1行目をベクタyで書くと,
行列Bの2行目と3行目はある定数b_1,b_2によって,
それぞれb_1*y,とb_2*yと書けます.

さて,行列 C=A+B について考えます.
Cは以下の行列です.
[x + y]
[a_1*x + b_1*y]
[a_2*x + b_2*y]
ここで,a_1≠b_1とします.
a_1=b_1なら2行目は1行目に従属しますから,Cは正則ではありません.
いま,1行目のz倍と2行目のw倍の和が3行目に等しいとして,
以下の式を立てます.
z*(x + y) + w*(a_1*x + b_1*y) = a_2*x + b_2*y
zとwは現段階では未知ですから,変数として整理して,
係数を比較すると以下の線型方程式を得ます.
z + a_1*w = a_2
z + b_1*w = b_2
a_1≠b_1のもとでこの関係を満たすzとwの対は常に一意に決まりますから,
3行目は1行目と2行目に従属します(=Cは正則でない).

なお,上記の議論は x = t*y なるスカラーが存在しない場合についてです.
このようなtが存在する場合は議論の余地無くCは正則ではありません.
この場合についてはご自身で考えてみてください.
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kern A ∩ kern B が空集合にならないことを示せば十分.

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