Γ関数は以下の画像の(1)のように定義されます。ここで、Γ(p)が収束する条件はp>0ですが、もしここで、p=-3/2としたら、これは収束しなくなるのでしょうか?

以下の画像のように解くことは間違っているのでしょうか?
条件通り考えれば収束しないはずです。
間違っているとしたら、何故なのかも教えてください。

よろしくお願いします。

「Γ関数の収束について」の質問画像

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A 回答 (4件)

(1)はRe p>0におけるΓ(p)の定義ですが、


Re p<0 へのΓ(p)の拡張は
Γ(p)=Γ(p+1)/p…(●)
で定義されていますので、
>p=-3/2としたら、これは収束しなくなるのでしょうか?
pが負の整数以外では収束します。
なので(●)の式とΓ(1/2)から
Γ(-3/2)=(4/3)√π
を導いて問題ありません。
p=-1/2,-3/2の値は次のサイトに載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3% …

負の整数以外のp<0に対するΓ(p)の計算は次のサイトで計算してくれます。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi

参考URL:http://www.tomakomai-ct.ac.jp/department/gene/ap …
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「Γ関数は(1)を解析接続して得られる関数として定義され、z=-n(n=0,1,,2,...)で留数が(-1)^n/n!である1位の極を持ち、それ以外では正則である。

」とされ(岩波全書「数学公式III])、
Γ(-n+1/2)=(-4)^nn!/(2n)!
で、n=2とするとΓ(-3/2)の場合になり、4π^.5/3となります。
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p>0ではガンマ関数は(1)の積分表示で定義されますが、


-n<p<-n+1の範囲では、
Γ(p+n)=(p+n-1)(p+n-2)…(p+1)pΓ(p)・・・(2)
より、
Γ(p)=Γ(p+n)/(p+n-1)(p+n-2)…(p+1)pにより、定義されます。
(p+n>0だから、Γ(p+n)は(1)の積分で計算される。)
従って、
Γ(1/2)=(-1/2)(-3/2)Γ(-3/2)=(3/4)Γ(-3/2)
より、
Γ(-3/2)=(4/3)Γ(1/2)=(4/3)√π
つまり、関係式(2)により、ガンマ関数のマイナスの値を決める
ということです。(解析接続)
p<0では、(1)の積分表示は通用しません。
ただし、マイナスの整数のところでは、定義されません。
1位の極。
アルティンのガンマ関数入門などの本に詳しく記載があります。
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それは, 実際に定義そのものを使って Γ(-3/2) を求めたのではありませんよね.


「解析接続」という言葉はヒントになるでしょうか?
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