教科書に載っている問題で、わからない問題があったので教えて欲しいです…
問1は、A=ai+2j+k
B=3i+bj+k
C=2i+j+ck
が互いに垂直になるような a,b,c の値を求める。

問2は、
三つのベクトル A,B,C が定める平行六面体の体積はA・(B×C)の絶対値に等しいことを証明せよ。
なお、A・(B×C)をスカラー3重積という。

A 回答 (2件)

こんばんは。



問1
互いに垂直ということは、内積がゼロです。

0 = A→・B→ = 3a + 2b + 1
0 = B→・C→ = 6 + b + c
0 = C→・A→ = 2a + 2 + c
これで連立方程式ができましたから、a、b、c が求まります。


問2
平行六面体というのは、直方体のことです。
体積は、縦×横×高さ ですよね。
3つのベクトルは互いに垂直なのですから、
体積 = A→の長さ かける B→の長さ かける C→の長さ
 = A→の絶対値 かける B→の絶対値 かける C→の絶対値

あとは、地道な計算です。
絶対値は、3つの成分のそれぞれの2乗をとって、それらを足して、√の中に入れればよいですよね。
A→・(B×C)も、定義に沿って計算するだけです。


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました、お陰様でなんとかなりそうです!

お礼日時:2009/05/19 23:17

問題2



A・(B×C)を擬スカラーと言います。因子(B×C)が座標軸に依存し
普通のスカラーと違うからです。スカラー量は座標の選び方とは無関係です。

次にベクトルAとベクトル積P=(B×C)とのスカラー積
A・(B×C)を考えます。ベクトル積P=(B×C)はベクトルB,Cにより
張られる平行四辺形の面積に等しい。

何故なら、定義により
ベクトル積P=(B×C)
=|B|・|C|sin(B,C)だからです。

けっきょく
A・(B×C)
=A・(平行四辺形の面積)
=|A|・|(平行四辺形の面積)|COS(A,(平行四辺形の面積))
=平行六面体の体積
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!
証明は、どの問題よりも特に苦手な分野なので助かりました。

お礼日時:2009/05/19 23:20

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