AB<AP<ACであることを証明せよ （数A・平面図形）

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★∠B＝90°の直角三角形ABCの辺AB上に頂点と異なる点Pをとるとき、
　AB<AP<ACであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mikikotan 回答日時： 2009/05/19 16:20

全部書いてしまっていいのかどうか？なので考え方だけを。

直角三角形の斜辺は他の辺より長いのは自明ですからAP<ACだけを証明すればいいですね。これは三平方の定理を使って、「ACの２乗ーAPの２乗」をAB、BP、BCを用いて表して、これが正であることを証明します。そうするとACの２乗＞ＡＰの２乗となり、ＡＣとＡＰは辺の長さなのですから正、したがってＡＣ＞ＡＰとなります。

数式で書かないと判りづらいかもですが。

この回答への補足

なるほどです＾＾
自分、図形が苦手なのですが、なんとかできそうですｖ

(AC)^2－(AP)^2
＝｛(AB)^2(BC)^2｝－｛(AB)^2(BP)^2｝
＝(BC)^2－(BP)^2
＝(PC)^2
＞0

って感じですかね…

補足日時：2009/05/19 16:53

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
分かりやすかったですｖ

お礼日時：2009/05/19 17:29

No.3 回答者： i_noji 回答日時： 2009/05/20 00:09

∠ABP＞∠APB

より
AB＜AP
∠APC＞90°＞∠ACP
より
AP＜AC
で
AB＜AP＜AC
じゃダメなんですかね

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/19 19:26

ＡＢ＝a、ＢＣ＝b、ＣＡ＝cとし、ＢＰ＝x、ＣＰ＝b-x、ＡＰ＝yとする。

但し、0＜x＜b ‥‥(1)　
題意より、c＞y＞aを示すと良い。
ピタゴラスの定理から、a＾2＋b＾2＝c＾2　‥‥(2)　a＾2＋x＾2＝y＾2　‥‥(3).
(2)－(3)より、b＾2-x＾2＝（b＋x）*（b-x）＝c＾2-y＾2＞0.　∵　(1)　従って、c＞y。
(3)より、x＾2＝y＾2-a＾2＞0より、y＞a。以上より、c＞y＞a。