「形式主義」というものについて、不案内なもので、いくつか お尋ねさせていただきます。
○形式主義は、その名のとおり、形式さえ ふんでいれば何でもアリ のごツゴウ主義ですか?
○形式主義は無定義の考えかたであるということなら、その命題に意味は全く ないということですか?
○公理とするものが、単なる仮定に過ぎないなら、たぶん正しいだろうと思われるが不確かなことを仮に定めたに過ぎないのだから、そもそも正しいかどうか実のところ分からないものから導き出したものを、正しい結論を出せた、と言うことに何の意味があるのでしょうか?
もう一つ、
○形式主義というのは、いまの数学界で、どういう存在ですか?
以上、よろしく お願いします。

A 回答 (2件)

数学における「形式主義」をご指名(?)だとして、的外れな私見を少々。



・「形式さえふんでいれば何でもアリ のごツゴウ主義」とは逆に、厳密な公理系と推論規則を守ろうとする体系。
 ヒルベルトは、本質的に意味のある結果をもたらすために、確実な超数学的方法を熟考したのである。

・「その命題に意味は全くない」とは逆に、パラドックス問題の解決を目指した体系。

・「公理とするものが、単なる仮定に過ぎない」という極言が許されるのなら、実益本位みたいに見える自然科学
 の体系すら、「単なる仮定に過ぎない」モデルからの推論で成立しているといえるだろう。

・「形式主義というのは、いまの数学界で」は、不完全性定理によって挫折。
 ヒルベルトの形式主義は有限算術の進展に寄与したといわれているが、ヒルベルトは有限算術に関しては現実主義者
 だったらしい。
 
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この回答へのお礼

さっそくアドバイスをいただいて、ありがとうございます。
返事が出遅れまして、失礼しました。

はい、数学における「形式主義」です。
「的外れ」などとは、とんでもない。と言うか、私には「的外れ」か否かも分からないのですが。。。

形式主義においては、推論規則が最重要なものかと思うのですが、「厳密な」公理ということの意味が、よく分からないのです(形式主義に おいてです)。

>パラドックス問題の解決を目指した

これは、集合論とかに関わるのでしょうか。

>自然科学の体系すら、

数学界における形式主義の出発点と、自然科学の それとを同様に考えることは妥当なのでしょうか??

ゲー出るの登場によって挫折したという話は、少し聞いてます。
>ヒルベルトは有限算術に関しては現実主義者だったらしい。

そうですか。なんか皮肉な感じがしますね。。。

お礼日時:2009/05/22 08:54

3番目だけ回答します。



一般社会では「仮定」は正しいかどうか曖昧なものを持ってくることが多いですが、数学の「公理」は自明なもの、つまり正しいことが明らかなものです。

>不確かなことを仮に定めたに過ぎない

ということはありません。百歩ゆずってみても、「不確かなこと」ではなく「ほとんど間違いのないこと」を前提にしているので、公理が原因で論証の全体が揺らぐということは、まずありません。あったとしたらそれは公理が原因ではなく、途中の論理展開に問題があったのでしょう。
だから、数学においてはご指摘のような心配はありません。

蛇足:ひょっとして質問者さんは、数百億分の一の不確かさ・不完全さ、失敗の可能性などを理由に、全体を放棄しようとしていませんか? そうしたことはまず起きないし、たとえ起きても保険的対策を予めとることにより被害を最小限にできます。
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この回答へのお礼

さっそくのアドバイスを いただいて、ありがとうございます。
返事が出遅れまして、失礼しました。

>数学の「公理」は自明なもの、つまり正しいことが明らかなもの

ですが、一般的に数学で言う「公理」と、(数学界での)形式主義に おける「公理」とは、また違うのだろうかと思ったのです。

形式主義では、そもそも定義すらない、とか聞きましたので。
もっとも、定義しないというのであれば、間違いがないか どうかを問う意味すらもないのではないでしょうか。

>数百億分の一の不確かさ・不完全さ、失敗の可能性などを理由に、全体を放棄しようとしていませんか?そうしたことはまず起きないし、たとえ起きても保険的対策を予めとることにより被害を最小限にできます。

そうなんですか。
まあ、これは私自身のことではないのですが(笑)むしろ「保険的対策を予めとる」ために形式主義に拘っていたような御仁を見かけて、たいへんフシギに思ったものですから。。。

お礼日時:2009/05/22 08:40

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こんばんは No.2です

一個一個行かないと、一気には辛いと思いますよ。
中学と高校の頭くらいで、4,5年掛けてやるようなことですから^^

無理せず、ゆっくり。

ルートの中の話を。(疑問で頂いていますので)

~~~~~~
(ルート8+ルート2)(3ルート6-2ルート2) これも
普通に展開して、ルートを整理すれば大丈夫です。
 #掛け算のときに ルート の中なら中
 #外なら外同士を掛け算してくださいね
 #答えが 18√3 -12 になると思います。

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~~~~~
(ルート8+ルート2)=3ルート2 で正解!

掛け算を普通にしてあげれば大丈夫ですよ。

3ルート2 ×(3ルート6-2ルート2)

これを普通に、展開してみてください♪
 #ルートの内外だけ注意してくださいね。

ルートの中身が違うときは、そのまま 別のものとして
扱ってください。
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心配しないで、着実に進んでください m(_ _)m

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ttp://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
↑9.
ttp://ufcpp.net/study/set/axiom.html
ttp://blog.livedoor.jp/calc/archives/50760599.html#
ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9587/tips/zahlen.html


複数のパラメタを考慮して記述された置換公理
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
↑6.
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_replacement
ttp://pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/tmp/kikaku03-proj.pdf
↑10頁
ttp://page.mi.fu-berlin.de/geschke/ModelleMengenlehreV2/MMskriptV2.pdf
↑1頁(7)

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「複数のパラメタを考慮して記述された置換公理」を自分なりに記述した物( ∧ , ⇒ 等かなりいい加減です)
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複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理
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↑9.
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Aベストアンサー

y_1,...,y_nのようなパラメータは、たとえば定数を表現するのに使います。
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どの大学で学べるのでしょうか?
公理的集合論はエリートの学問のような気がしますが(日本の数学学部の講義で公理的集合論を開講してる所は少なく,書籍の著者も東大や京大の教授の方ばかりのような気がするからです)
論文を閲覧できるサイトは高額の年間契約金を払わねばならず現在A大学では部外者となってますので大学に潜入して調べる事もできません(っていうか飛行機で行かねばならない遠方なのでそう簡単に赴けません)。
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Aベストアンサー

こんばんは
t-h1970さんも仰っしゃっているように、米国のPh.D.コースを目指しておられるのでもまずは国内の専門家に相談されることをお勧めします.(米国でPh.D.を取得した後 日本の大学で教えている集合論の専門家も何人かいます.)去年、京大の数理解析研究所で「公理的集合論と集合論的位相空間論」という研究集会が開かれました.その出席者を調べてみたらいかがでしょうか? そこからたどっていけばきっと集合論が学べる米国の大学院や「公理的集合論の将来の展望」についても知ることが出来ると思いますよ.

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数学Iの問題です。解法のご解説をよろしくお願い致します。

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BD=タ-√チであり、台形ADBCの面積はツテである。

コ~テに入る数字又は符号を答えよ。

Aベストアンサー

余弦定理より
cosA=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2*AB*CA)
   =(25+19+8√3-12)/{10(4+√3)}
   ={8(4+√3)}/{10(4+√3)}
   =4/5
sinA=√(1-cos^2A)=3/5
よって、△ABCの面積=(1/2)*5*(4+√3)*(3/5)=(12+3√3)/2

この台形は等脚台形
<<弧BCの円周角なので、∠BAC=∠BDC。
  また、AC//DBなので、∠BDC=∠ACD。そして、∠BCD=∠BADから
  ∠BCA=∠DAC >>
△ABD≡△CDBだから、CD=5。
△CDBで余弦定理より、
12=BD^2+25-2*BD*5*(4/5) <<cos(∠BDC)=cos(∠BAC)なので>>
BD^2-8BD+13=0を解いて、BD=4-√3(4+√3の方はACに一致)
∠ABD=∠BACなので、△ABDの面積は(1/2)*BD*AB*sin(∠BAC)より
(1/2)*(4-√3)*5*(3/5)=(12-3√3)/2
よって、台形ADBCの面積=△ABCの面積+△ABDの面積=12
となります。

余弦定理より
cosA=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2*AB*CA)
   =(25+19+8√3-12)/{10(4+√3)}
   ={8(4+√3)}/{10(4+√3)}
   =4/5
sinA=√(1-cos^2A)=3/5
よって、△ABCの面積=(1/2)*5*(4+√3)*(3/5)=(12+3√3)/2

この台形は等脚台形
<<弧BCの円周角なので、∠BAC=∠BDC。
  また、AC//DBなので、∠BDC=∠ACD。そして、∠BCD=∠BADから
  ∠BCA=∠DAC >>
△ABD≡△CDBだから、CD=5。
△CDBで余弦定理より、
12=BD^2+25-2*BD*5*(4/5) <<cos(∠BDC)=cos(∠BAC)なので>>
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Q命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真?

命題「PならばQ」で、Pが偽のとき、Qの真偽に関わらず
「PならばQ」が真になるのが、納得できません。

よい説明がありましたらお願いします。

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これはすでに語り尽くされた問いで,この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく,

鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館

という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです.

私としては次のように答えておきます.

(1) Pが偽のとき,「PならばQ」は『真になる』のではなく,『真とする』のです.つまり,「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが,数学の世界で合意された約束事です.
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-- そのうえで,数学の論理で通常用いられる「ならば」という語と折り合いをつける
ためには『そのように定めるのが都合がよい』からです.
(3) なぜそのように定めると都合がよいのか? この段階で,いろんな説明が試みられています.でも,それを心底『納得』するには,たぶん,自分自身で数学の論理を扱う経験を重ねることで,「数学の論理とは何か」を洞察できるだけの成熟した理解に達する必要があるでしょう.
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これはすでに語り尽くされた問いで,この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく,

鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館

という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです.

私としては次のように答えておきます.

(1) Pが偽のとき,「PならばQ」は『真になる』のではなく,『真とする』のです.つまり,「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが,数学の世界で合意された約束事です.
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・アルゴリズム
をやらされましたね。

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広く浅く知ってるといいかも知れません。

ちなみに私は
1次試験で履歴書忘れて
2次試験で遅刻して
3次試験で連絡無しで遅刻して落ちました。

Q高校数学を勉強中の者です。数学で、公理の定義はわかっても具体的にどんな公理があるのかわかりません

高校数学を勉強中の者です。

数学で、公理の定義はわかっても具体的にどんな公理があるのかわかりません

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公理を元に定義が生まれ、そこから定理が開発されると理解していますが、

肝心の公理とは具体的にどんなものがあるのか、教科書には載っていません。

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Aベストアンサー

有名なのは、ユークリッドの5個の公準でしょうか?
議論の出発点の「要請」事項です。

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2 有限直線を連続して1直線に延長する。
3 任意の位置と距離で円を描く
4 全ての直角は等しい
5 1直線が2直線に交わり、同じ側の内角の和を2直角より小さくすると
この2直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側
にで交わる。

今の数学の全ての分野は公理系で成り立っているので、
「代数 公理」「幾何 公理」「線形代数 公理」「集合論 公理」など、個別に検索すれば色々解ります。


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