教えてください。

『方程式 xy-2x-3y=0 を満たす正の整数の組(x、y)は何組あるか、答えなさい。』
という問題です。
答えは、4組なんですけど、解き方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

yについて揃えると、(x-3)*y=2x。


x-3=0の時は、0=6となり不適。
x-3≠0の時、y=(2x)/(x-3)=2+(6)/(x-3)。‥‥(1) 従って、x≧1より、x-3≧-2. ‥‥(2)
従って、yも正の整数であるから、6/x-3が整数でなければならない。
(2)より、x-3=±1、±2、3、6. がその候補になる。
この中で、実際にxとyが共に正の整数になるものをチェックしていけばよい。

別解としては、(結局は見かけが違うだけで、同じことなんだが)、(1)より、(y-2)*(x-3)=6と変形して、y≧1より y-2≧-1、x≧1より、x-3≧-2.の条件に注意して、(y-2)*(x-3)が6になるものを調べる。

整数問題は、時として“調べる”事も必要になる。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
助かりました。

お礼日時:2009/05/20 11:22

xy-2x-3y=0を次のように変形します。


xy-2x-3y=(x-3)(y-2)-6=0
(x-3)(y-2)=6
x,yともに整数であるから、x-3,y-2も整数。
掛け合わせて6になる二つの整数の組み合わせは
(1,6),(-1,-6),(2,3),(-2,-3),(3,2),(-3,-2),(6,1)(-6,-1)
の8通り。
x.yがともに正の整数であることから、x-3≧-2,y-2≧-1から適合しないものを除けばよい。

コツは左辺を掛け算の形に持っていくこと、右辺を整数にしてしまうことでしょうか。
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この回答へのお礼

非常にわかり易い回答ありがとうございます。
右辺を整数にするコツは、ほかの問題でも使えますね^^

お礼日時:2009/05/20 18:05

色々な解き方があると思いますが(中学生か高校生かにもよります)、



xy - 2x - 3y = 0
y(x-3) = 2x
ここで、仮にx=3ならば、左辺=0、右辺=6で方程式を満たさないので、x≠3が分かる. よって両辺を(x-3)で割ることができて、
y = 2x/(x-3)
分子に6を引いてから6を足す(分かりやすくするためのテクニック)と
y = (2x-6+6)/(x-3)
y = (2x-6)/(x-3) + 6/(x-3)
y = 2 + 6/(x-3)
となります。

ここから正の整数という条件を使っていきます。
まず、xが9より大きいと、右辺が分数になります(約分ができないので)。するとyが分数ということになり、矛盾。したがってxは1~9の範囲とわかります。

あとはもう候補が9つしかないので1つずつ試していけばよくて、yがちゃんと正の整数になる場合を数え上げていくと4通りとわかります。


*この手の整数に関する問題は慣れていないと手も足も出ないこともあると思ったので、少し「丸投げ」的な質問でしたが回答しました。でももしかすると後で消されてしまうかもしれないので、補足に何か書くと良いかもしれません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質問が初めてなので質問の仕方を以後気をつけます。
式の変形が重要なんですね。とてもわかりやすい回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/20 11:22

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Q「タッグを組む」の意味

いつもお世話になっております。

「どうやら、共通のライバルが現れて、タッグを組むことにしたみたい」

「タッグを組む」はどういう意味でしょうか。
辞書を引きましたが、見当たりませんでした。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

お返事ありがとうございました。

タグはtagです。
確かに、直訳すると荷札・値札ですが、それは、もの、あるいは服の証明書ですよね。そのもの・服が意味を持つのは、荷札・値札があるから、ということで、タッグを組むのは、バラバラのものがひとつになるという意味があるのかもしれません。

タッグの二次的な意味では、2人または、3人1組になって、交替で試合をするプロレスなどの用語です。2人で力を合わせるということです。

Q数1因数分解です。⑴2x²-3xy-2y²+5x+5y-3⑵x²-xy-2y²+2x-7y-3

数1因数分解です。
⑴2x²-3xy-2y²+5x+5y-3

⑵x²-xy-2y²+2x-7y-3

⑶6x²+5xy-6y²+x-5y-1

途中式も詳しく教えてくださると嬉しいです!たすきがけの部分もできたら教えてください

Aベストアンサー

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あとは、a~f を整数になるかならないかで、整数で表わせなければ、「きれいに」因数分解できないということです。

 これを展開すると
  adx² + (ae + bd)xy + bey² + (af + cd)x + (bf + ce)y + cf
となるので、これと与えられた式を比べて、a~f を求める、という作業をするのが「正攻法」です。

 やってみましょう。(a, b, c)と(d, e, f) は対称形になるので、一方だけを示します。

(1)
ad = 2
ae + bd = -3
be = -2
af + cd = 5
bf + ce = 5
cf = -3
面倒ですが、これを解けば
 a=2, b=1, c=-1, d=1, e=-2, f=3
となります。
 つまり
2x² - 3xy - 2y² + 5x + 5y - 3
= ( 2x + y - 1)( x - 2y + 3)

(2)同様に
ad = 1
ae + bd = -1
be = -2
af + cd = 2
bf + ce = -7
cf = -3
これを解けば
 a=1, b=1, c=3, d=1, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
x² - xy - 2y² + 2x - 7y - 3
= ( x + y + 3)( x - 2y - 1)

(3)さらに同様に
ad = 6
ae + bd = 5
be = -6
af + cd = 1
bf + ce = -5
cf = -1
これを解けば
 a=2, b=3, c=1, d=3, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
6x² + 5xy - 6y² + x - 5y - 1
= ( 2x + 3y + 1)( 3x - 2y - 1)

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あ...続きを読む

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原稿用紙・印刷物などで、1行または1枚に収まる文字の数。
――『広辞苑』

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=2x^2 +(5y-1)x -3y^2 +4y -1
=2x^2 +(5y-1)x -(3y-1)(y-1)

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>2x^2 +5xy -3y^2 -x +4y -1
=2x^2 +(5y-1)x -3y^2 +4y -1
=2x^2 +(5y-1)x -(3y-1)(y-1)

=(2x-(y-1))(x+(3y-1))

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六番の問題が分かりません。
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