∫(6x2乗-8x+5)dxの原始関数の求め方がわかりません。置換積分法はわかるんですがこれで解くと途中でつまづいてしまいます。他の公式を使うんでしょうか?わかる方教えて下さいm(__)m

A 回答 (2件)

一つ一つ積分を考えれば、


6ⅹ^2 ⇒ 6/(2+1)×x^(2+1)=2ⅹ^3
-8ⅹ  ⇒ -8/(1+1)×ⅹ^(1+1)=-4ⅹ^2
5    ⇒ 5/1×ⅹ^(0+1)=5ⅹ
ですから、答えは

∫(6ⅹ^2-8ⅹ+5)dx=2ⅹ^3-4ⅹ^2+5ⅹ+C
                  (Cは任意の定数)

置換積分法は、使う必要が無いと思います。
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この回答へのお礼

詳しい解答ありがとうございますm(__)m助かりました!

お礼日時:2009/05/20 21:00

積分の載っている高校の教科書や参考書を最初から復習されることをお勧めします。



>置換積分法はわかるんですがこれで解くと途中でつまづいてしまいます。
おやりのことが何のためなのか理解に苦しみます。
何も難しいことや置換積分も必要ありません。ただ普通に不定積分すれば良いかと…(原始関数なので不定積分するだけ、積分定数Cは不要)。
>∫(6x^2-8x+5)dx
⇒(6/3)x^3-(8/2)x^2+5x (後は式を簡単にするだけ…その計算結果が原始関数です。)
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この回答へのお礼

普通に不定積分すればよかったんですね!なぜか公式を使わなくちゃと思ってしまいました。ありがとうございますm(__)m

お礼日時:2009/05/20 20:26

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Q原始関数の問題です

自分の解き方で間違ってないか、ご指南おねがいします。

問:次の関数の原始関数を求めよ。
(1) f(x)=(3x+1)^5

∫(3x+1)^5 dxより、
3x+1=tとおくとdt=3dx。
∫t^5 dx=∫t^5・(1/3)dt
f'(x)=5・3・(3x+1)^4 +C (Cは積分定数)

(2) g(x)=1/(x(x^2+1))
g'=(-3x^2-1)/(x^3+x)^2 +C (Cは積分定数)
間違っているなら、計算途中のヒントをいただければ
ありがたいです。

Aベストアンサー

計算用紙を用意してください.

まず,原始函数を求めたい函数を書きます:
 f(x) = (3 x + 1)^5.
書けたら,右肩の 5 という数字を○で囲って,そこに注目します.
微分して 5 乗が出てくるということは,微分する前は何乗だったのでしょう.
微分して 1 小さくなって 5 ということは,もとは 6 だったはずですね.
そこで,とりあえず,
(3 x + 1)^6
と書きましょう.
ついでに,6 を○で囲って,先ほどの○から矢印を引き,
 (5) ---> (6)
などとしておきましょう.
あとで見やすくするためです.

さて,(3 x + 1)^6 を微分して,f(x)にどのくらい近づいたか見てみましょう.
先ほど書いた (3 x + 1)^6 から続けて
 (3 x + 1)^6 --- 微分 ---> 18 (3 x + 1)^5 = 18 f(x)
と新たに書き,最後の 18 に波線を引いてください.
ここで,18 が x を含まない式であることに注意.
定数倍は微分の内外に自由に出入りできましたね.

したがって,
 F(x) = (1/18) (3 x + 1)^6
とおけば,
F(x) の微分が f(x) になる,
つまり,F(x) は f(x) の原始函数となるわけです.
上の F(x) の式も書いて,1/18 に波線です.
先ほど 18 に引いた波線から今回の波線に矢印を引いておきましょう.

最後に検算の意味も込めて,
F(x) を微分して f(x) になることを確認しておきます.

確認できたら,いま書いた計算をよく見直して,
この問題の感覚をつかんでください.


本当は,論理的に理解するのが一番なんですけどね・・・.

計算用紙を用意してください.

まず,原始函数を求めたい函数を書きます:
 f(x) = (3 x + 1)^5.
書けたら,右肩の 5 という数字を○で囲って,そこに注目します.
微分して 5 乗が出てくるということは,微分する前は何乗だったのでしょう.
微分して 1 小さくなって 5 ということは,もとは 6 だったはずですね.
そこで,とりあえず,
(3 x + 1)^6
と書きましょう.
ついでに,6 を○で囲って,先ほどの○から矢印を引き,
 (5) ---> (6)
などとしておきましょう.
あとで見やすくするためです....続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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まではわかったのですが
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また、微分で
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=-1/x+C

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質量150g の硬球が時速108km で飛んできた。SI 単位を用いて以下の問いに答えよ。
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よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

こんばんは。

1.
運動量 = mv [kg・m/s]
m = 0.150 [kg]
v = 108000/3600 [m/s]


2.
角運動量 = mvr・sinθ
垂直なので、θ=90度、sinθ=sin90度=1
m = 0.150 [kg]
v = 108000/3600 [m/s]
r = 1.2 [m]


3.
vの変化は、
72000/3600 - (-108000/3600)
 = 72000/3600 + 108000/3600
 = (72000+108000)/3600 [m/s]

このvの変化が0.01秒に平均的に起こったということは、
加速度aは、
(72000+108000)/3600 ÷ 0.01 [m/s^2]

平均の力Fは、
F = ma


以上ですが、
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8/xを微分すると、-8/x二乗になるようなんですけど、なぜそうなるのか教えてください。

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Aベストアンサー

x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるというのは習ったと思いますが、
それを利用します
(ちなみに記号^は累乗の記号です。a^bは「aのb乗」を意味します)。

8/x = 8x^(-1)と変形して、無理矢理x^nの形に直します。
x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるので、
x^(-1)をxで微分すると-x^(-2)となります。
よって8x^(-1)をxで微分すると-8x^(-2) = -8/(x^2)となります。


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