家で趣味的に方程式を作っていたところ
自分では解けそうにない式にぶつかってしまいました。
 x+2{1-√(x-a)}{1-√(x-b)}=1  ただし、0<b<a<x<1
です(xについての方程式です)。
aとbが可換なこととかを使って解くのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

参考までに。



数値計算で調べてみると
1>x>a>b>1/3では解が存在しないようですね。
b<=1/3でもaの値が1に近づくと解が存在しなくなりますね。

解が存在する場合は最大2個です。
解を解析的に求めることは難しいです。つまり数値計算で解を求めるしか無いですね。
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 #2です。


 補足を拝見しました。
>でも、なかなか最後の式から先へ進めません(泣)

 この4次方程式を解析的に解くのは、かなり大変のようですね。
 4次方程式は原理的には解けるはずですので、手間さえ掛ければ必ず解けます。
 しかし・・・、数式処理ソフトMAXIMAを使っても、 << Expression too long to display! >>と表示されて、かなりかなり複雑な式になりそうですよ。

 趣味で解くなら、やるだけやってみてもよいと思いますが、忍耐力との勝負になるかも・・・
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 x+2{1-√(x-a)}{1-√(x-b)}=1


⇔√(x-a)√(x-b)-√(x-a)-√(x-b)=-(x+1)/2
∴ √(x-a)+√(x-b)=√(x-a)√(x-b)+(x+1)/2 ・・・(1)

 √(x-a)√(x-b)-√(x-a)-√(x-b)=-(x+1)/2
⇔√(x-a)√(x-b)=√(x-a)+√(x-b)-(x+1)/2
⇒(x-a)(x-b)=(x-a)+(x-b)+(x+1)^2/4+2√(x-a)√(x-b)-(x+1){√(x-a)+√(x-b)} (両辺を自乗)
⇔(x-a)(x-b)=(x-a)+(x-b)-(x+1)^2/4-(x-1)√(x-a)√(x-b) (式(1)を代入)
⇔(x-1)√(x-a)√(x-b)=(x-a)+(x-b)-(x+1)^2/4-(x-a)(x-b)

 この式の両辺を自乗すれば、4次方程式に帰着します。

この回答への補足

ありがとうございます。
(1)式の両辺を2乗するだけでも最後の式は出るようですね。
でも、なかなか最後の式から先へ進めません(泣)

補足日時:2009/05/21 21:23
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移項して 2乗して移項して 2乗してってやると 4次方程式になりそうな気もします.

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