家で趣味的に方程式を作っていたところ
自分では解けそうにない式にぶつかってしまいました。
 x+2{1-√(x-a)}{1-√(x-b)}=1  ただし、0<b<a<x<1
です(xについての方程式です)。
aとbが可換なこととかを使って解くのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

参考までに。



数値計算で調べてみると
1>x>a>b>1/3では解が存在しないようですね。
b<=1/3でもaの値が1に近づくと解が存在しなくなりますね。

解が存在する場合は最大2個です。
解を解析的に求めることは難しいです。つまり数値計算で解を求めるしか無いですね。
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 #2です。


 補足を拝見しました。
>でも、なかなか最後の式から先へ進めません(泣)

 この4次方程式を解析的に解くのは、かなり大変のようですね。
 4次方程式は原理的には解けるはずですので、手間さえ掛ければ必ず解けます。
 しかし・・・、数式処理ソフトMAXIMAを使っても、 << Expression too long to display! >>と表示されて、かなりかなり複雑な式になりそうですよ。

 趣味で解くなら、やるだけやってみてもよいと思いますが、忍耐力との勝負になるかも・・・
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 x+2{1-√(x-a)}{1-√(x-b)}=1


⇔√(x-a)√(x-b)-√(x-a)-√(x-b)=-(x+1)/2
∴ √(x-a)+√(x-b)=√(x-a)√(x-b)+(x+1)/2 ・・・(1)

 √(x-a)√(x-b)-√(x-a)-√(x-b)=-(x+1)/2
⇔√(x-a)√(x-b)=√(x-a)+√(x-b)-(x+1)/2
⇒(x-a)(x-b)=(x-a)+(x-b)+(x+1)^2/4+2√(x-a)√(x-b)-(x+1){√(x-a)+√(x-b)} (両辺を自乗)
⇔(x-a)(x-b)=(x-a)+(x-b)-(x+1)^2/4-(x-1)√(x-a)√(x-b) (式(1)を代入)
⇔(x-1)√(x-a)√(x-b)=(x-a)+(x-b)-(x+1)^2/4-(x-a)(x-b)

 この式の両辺を自乗すれば、4次方程式に帰着します。

この回答への補足

ありがとうございます。
(1)式の両辺を2乗するだけでも最後の式は出るようですね。
でも、なかなか最後の式から先へ進めません(泣)

補足日時:2009/05/21 21:23
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移項して 2乗して移項して 2乗してってやると 4次方程式になりそうな気もします.

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Q二重根号:√2√2

√2√2
の二重根号ってどうしたら二重根号はずせますか?
教えてください

Aベストアンサー

二重根号であることには間違いないです。
√(a+2√b)においてa=0、b=2の場合ですね。

これがルートの和に直せるのは、足してa、掛けてbになる二つの有理数が
見つかる時です。教科書などをもう一度確認してください。

今回は、足して0、掛けて2になる数を見つけたいわけですが、残念ながらこれを
満たす数は実数の中には存在しません。なので二重根号は外せないことになります。


さて、「二重根号を外す」という操作は一種の「有理化」です。
つまり根号の中を有理数にすることが目的です。無理数だと無限小数を途中で
打ち切ってから根号を計算する必要があるので誤差の問題があるわけですね。
(もちろん最終的な答えもまたどこかで打ち切るしかないですが…)

今回の√(2√2)は他の方が解答されている通り8^(1/4)のように4乗根ひとつで
書くことができるのでそういった意味では「二重根号」ではないことになります。

ただ、累乗根を筆算で求めることを考えた場合、4乗根は結局平方根を2回繰り
返すしかないですから、見た目が4乗根ひとつになったところで嬉しくないわけです。
結局2√2という無理数をルートするはめになるわけで有理化にはなりません。

二重根号を外す練習をする理由はおそらくこんな背景もあると思います。

二重根号であることには間違いないです。
√(a+2√b)においてa=0、b=2の場合ですね。

これがルートの和に直せるのは、足してa、掛けてbになる二つの有理数が
見つかる時です。教科書などをもう一度確認してください。

今回は、足して0、掛けて2になる数を見つけたいわけですが、残念ながらこれを
満たす数は実数の中には存在しません。なので二重根号は外せないことになります。


さて、「二重根号を外す」という操作は一種の「有理化」です。
つまり根号の中を有理数にすることが目的です。無理数だと無限小...続きを読む

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。

Q二重根号について

二重根号の解法の仕方が分かりません。
例えば、「次の二重根号を外して簡単にせよ」と出た時、
√7+2√14はどう求めれば良いのですか?
具体的にお願いします。

Aベストアンサー

その問題だとうまくいきません。
だいたいはうまくいくようになっていますので
問題がおかしい可能性が高いです。
例えば√7+2√10のような問題だったら
以下のように解けます。
便宜上一番外の√をrt、自乗を^2と書いておきます。

rt( 7 + 2√10 )............................................a
=rt( 2 + 2√10 + 5 )...............................b
=rt( (√2)^2 + 2√10 + (√5)^2 )....c
=rt( (√2 + √5)^2 )...............................d
=√2 + √5.................................................e

cからdへの変換が難しいですが、
dからcを見ると実は展開されているだけです。
cからdへの変換は意識としては因数分解に近いです。
参考:

2x^2 + 2xy + 5y^2
= (2x + 5y)^2

まずeからaへの流れ(ただの展開ですが)をしっかり
覚えておけばあとはなれでaからeへと持っていく
ことができるようになると思います。
がんばってください。

その問題だとうまくいきません。
だいたいはうまくいくようになっていますので
問題がおかしい可能性が高いです。
例えば√7+2√10のような問題だったら
以下のように解けます。
便宜上一番外の√をrt、自乗を^2と書いておきます。

rt( 7 + 2√10 )............................................a
=rt( 2 + 2√10 + 5 )...............................b
=rt( (√2)^2 + 2√10 + (√5)^2 )....c
=rt( (√2 + √5)^2 )...............................d
=√2 + √5..............................続きを読む

Qμ((a,b))=∫[a..b]x^2dx (-∞

こんにちは。よろしくお願い致します。

測度の定義は
(Ω,B)を可測空間(BはΩ上σ集合体)とする時,fが
(i) ∀b∈B,f(b)∈[0,∞],f(φ)=0.
(ii) f(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k) (B∋b_1,b_2,…は互いに素)
を満たせば(Ω,B)上の測度という。

ボレル集合体の定義は
位相空間(X,T)においてσ(T):={B;T⊂B,BはX上のσ集合体}をB(X)と書き,X上のボレル集合体という。

有限加法族の定義は
(i) Ω∈B, (ii) b∈B⇒b^c∈B, (iii) b,c∈B⇒b∪c∈B.
の時,BをΩ上の有限加法族という。

a finite measureの定義は
(i) Bが有限加法族, (ii) fは(Ω,B)上の測度, (iii) f(b_1∪b_2)=f(b_1)+f(b_2) (B∋b_1,b_2は互いに素)
の時,Bを(Ω,B)上のa finite measureという。

a σfinte measureの定義は
(i) fは(Ω,B)上のa finite measure, (ii) Ω=∪[i=1..∞]b_i且つf(b_i)∈R (B∋b_1,b_2,…は互いに素),
の時,fを(Ω,B)上のa σfinite measureという。

です。

[Q] Define a measure μ on open intervals in R by
μ((a,b))=∫[a..b]x^2dx (-∞<a<b<∞)
(1) Why does this uniquely determine the measure μ on all of B(R)?
(2) Show μ({0})=0. (Be specific)
(3) Is μ a finite measure? σ-finite? Why?

という問題です。
(1)の「何故これが一意的に全B(R)(ボレル集合体)上の測度μを決定するのか?」の意味が分かりません。
1次元ボレル集合体B(R)とはσ(T):={B∈2^R;T⊂B (BはR上のσ集合体)}(Tは開集合全体の集合)だと思います。
全てのB(R)だから
K_1={(a,b)∈2^R;a,b∈R}や
K_2={[a,b)∈2^R;a,b∈R}や
K_3={(a,b]∈2^R;a,b∈R}や
K_4={[a,b]∈2^R;a,b∈R}と置くとユークリッド空間Rの位相は
T_0={φ,R},
T_1={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_1},
T_2={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_2},
T_3={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_3},
T_4={∪[λ∈Λ]G_λ;G_λ∈K_4},
T_5=2^R
はいずれもRの位相になると思いますので少なくとも
B(R)は6種類が考えられると思います。
これ以外にもB(R)はあるのでしょうか?
あるのならどんな位相が考えられるのでしょうか?そして網羅しつくした事をどうやって示せばいいのでしょうか?
そして全B(R)上の測度μはこのμ唯一つしかない事はどうやって示せばいいのでしょうか?
とりあえず,自力でやってみました。。
このμの他にB(R)(仮に位相はT_0としてみて)上の測度μ'があったとすると
B(R)=σ(T_0)は∩[B∈{B;T⊂B,BはR上のσ集合体}]B={φ,R}になると思います。
そしてμ'は測度なのだから

(i) ∀b∈B,μ'(b)∈[0,∞],μ'(φ)=0.
(ii) μ'(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]μ'(b_k) (B∋b_1,b_2,…は互いに素)

を満たさねばなりません,,,,
これからμ'がμ'(φ)=0 (∵測度の定義)は言えましたが
このB(R)は今{φ,R}なので区間を元に持ちませんので
μ'((a,b))=∫[a..b]x^2dx (-∞<a<b<∞)と書き表せようがないと思います。

問題文を誤釈してますでしょうか?


(2)については今,R上のσ集合体Bをopen intervalsにしているので
{0}=∩[n=1..∞](-1/n,1/n)∈Bと言えるから∩[n=1..∞](-1/n,1/n)はμ上で定義されていている。
それで
μ({0})=μ(∩[n=1..∞](-1/n,1/n))=Σ[n=1..∞]μ((-1/n,1/n))
=Σ[n=1..∞]∫[-1/n..1/n]x^2dx=Σ[n=1..∞][x^3/3]^1/n_-1/n
=Σ[n=1..∞]2/(3n^3)
となってしまったのですがこれは0になりませんよね。
何が間違っているのでしょうか?

(3)については
まずこのμがa finite measureを吟味してみますとa finite measureの定義から
まずσ集合体Bが有限加法族になっていないといけません。
しかし,ここでのσ集合体Bはopen intervalsで-∞<a<b<∞となっていますので
少なくともR∈Bを満たしませんからBは有限加法族になってません。
従って,このμはa finite measureではない。
次にa σfinite measureになっているかを吟味すると,
まずa finite measureになっていなければなりませんが
既にa finite measureでない事は判明済みなのでσfinite measureでもない。。。

と結論づいたのですがこれで正しいでしょうか?

すいません。ご教示ください。

こんにちは。よろしくお願い致します。

測度の定義は
(Ω,B)を可測空間(BはΩ上σ集合体)とする時,fが
(i) ∀b∈B,f(b)∈[0,∞],f(φ)=0.
(ii) f(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k) (B∋b_1,b_2,…は互いに素)
を満たせば(Ω,B)上の測度という。

ボレル集合体の定義は
位相空間(X,T)においてσ(T):={B;T⊂B,BはX上のσ集合体}をB(X)と書き,X上のボレル集合体という。

有限加法族の定義は
(i) Ω∈B, (ii) b∈B⇒b^c∈B, (iii) b,c∈B⇒b∪c∈B.
の時,BをΩ上の有限加法族という。

a finite measureの定義は
(i) Bが有限加...
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Aベストアンサー

> A_i⊆A_i+1とh'(D∩A)<+∞を仮定しない場合がどうしても示せません。

前者は、あらかじめ有限和について証明しておき、一般には
 B_n = ∪[i=1..n]A_i
とおけば、B_i⊆B_i+1なので、これに帰着する。
後者は、h'(D∩A)=+∞のとき、
 h'(D)≧h'(D∩A)+h'(D∩A^c)
を言うにはh'(D)=+∞を言えば良いが、これは
 D∩A⊆D
を使えば、すぐ言える。

Q二重根号がはずせません

√-4・(√2+1)

この式の二重根号がはずせません!
自分でも一生懸命考えているのですが、できません…。
数学の得意なかた、どうがお力添えお願いします。

Aベストアンサー

二重根号ということは
√{-4(√2+1)}
と言うことで良いですか?
√内が負ということは純虚数ですね。
この純虚数を「2重根号を使わないで形で表せ」ということでしょうか?

虚数単位を√(-1)=iと書くと
√{-4(√2+1)}=i√(4√2+4)

√(4√2+4)=2√(√2+1)は「a+b√2(a,bは有理数)の形」では2重根号はなずせません。

>この式の二重根号がはずせません!
この式の場合は、誰であろうとはずせません。

>自分でも一生懸命考えているのですが、できません…。
どんな優れた数学者でも、できないものはできない。なので「一生懸命考えて」も時間の浪費になるだけですから諦めましょう!

Aベストアンサー

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (...
続きを読む

Q二十根号について

1/√(4+2√2)[途中でこんがらがり、根号がとれなくなってしまいました;]と(√2+1)/√(4+2√2)[(3√2)/2]を二十根号をはずし、有理化しなさいという問題です。
[]内は私の解答です。計算は慎重にしたつもりですが、合っているかどうかは不安です。
どなたか途中を解説してくださいませんでしょうか?;

Aベストアンサー

両方とも二重根号は完全には外せないケースだと思います。
だから分母の二重根号を外して有理化する計算だけすれば良いかと思います。
分子の二重根号は外れませんね。この場合は分母から√を無くせばいいということです。

したがって
前半の(答)は{√(2-√2)}/2
後半の(答)は{(√2+1)√(2-√2)}/2
これ以上は簡単になりませんね。

この(答)が駄目なら、問題が間違っていると思われます。そうなら、問題が合っているか確認してください。

Q数学で1/4{√4/9a2乘+8/3(3-a)}3乘が2/27{√(a-3)2乘+9}3乘になる展開

数学について質問です。

以下の展開がテキストにあるのですが、理解できません。

1/4{√4/9a2乘+8/3(3-a)}3乘が

2/27{√(a-3)2乘+9}3乘

になるようです。

なぜ下の式のようになるのか、教えてください。

Aベストアンサー

あなたは気を付けて書いているのだと思いますが、
他の方の回答の通り、質問の意味が伝わりません。

下の 11:06 の質問も同じです。
誤解されない様な記述方法を考えましょう。

具体的には、2乗や3乗は何処までの数字や記号に有効なのか、
平方根を表す「√」はどこまでが対象か、
分数を表す「/」はどこまでが分母なのか、
等々を明らかにする必要があります。

逆に云うと、紙などにシッカリと書いて、画像として貼り付けるとか。

Q二重根号のハズし方の注意点

いつも御世話になっております。二重根号の解法についての質問です。 一般に二重根号は√A±2√Bの型に変形しますが、このときに変形後の2数の符号のつけ方に何かしらの規則があるのでしょうか?時々型通りに解いても、間違えてしまいます。

例えば、√5-2√6は、√2+√3は×で、√3-√2が正答のわけを教えて下さると助かります。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

こんばんわ。
「二重の根号」が抜けてしまっていますね。><

以前の回答(http://okwave.jp/qa/q6876154.html)で、細かい式を書いていたと思いますが、
√(√5- 2√6)であれば、「足して 5、かけて 6」になる数を探すことになります。

そして、引き算になっているので、根号をはずしたときは
√△- √□の形にならないといけませんね。

ここでよくある間違いは、
√(√5- 2√6)= √2- √3

です。(質問文もそういう式だと思うのですが、「+」になっていますね)


そもそも√(なんとか)って、正の数のはずですよね?
式の変形として、きちんとした表現を用いるのであれば、
√(A^2)= |A|

としてあげないといけません。

参考URL:http://okwave.jp/qa/q6876154.html

Q方程式{(x-sin(x))^4*(-3x+5xcos(x)-2sin(x))}/(32x^3)=0

方程式{(x-sin(x))^4*(-3x+5xcos(x)-2sin(x))}/(32x^3)=0

を解きたいです。

どなたか解法を教えてください。

ニュートン法で解く方法を教えてください。

微分の式などできるだけ途中の式も省かずに教えてください。

解は、x=5.28前後だと思います。

Aベストアンサー

-3x + 5xcos(x) - 2sin(x) = 0 …1
または
x-sin(x) = 0 …2
で、2よりx = 0ですが0は不適(分母が0になるので)なので1のみを考えればよいでしょう。

f(x) = -3x + 5xcos(x) - 2sin(x)

として、あとは
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95
でも見ながら頑張ってください。


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