次の問題は自分で勝手に考えた問題です.正規の問題ではありません.

f(θ) = sinθ + (sin3θ)/3 + (sin5θ)/5 + (sin7θ)/7 + ・・・ + (sin(2n-1)θ)/(2n-1)

ただし,0<θ<π とします.

nを無限大にしたときの f(θ) の極限値がAであることを示せ.」

このようにθの値が具体的に決まっていない場合,これは数学的に解ける問題なのでしょうか?

それが無理だとしたら,θを仮に θ=π/2 と決めて解くこととします.この場合は数学的に解ける問題になるのでしょうか?

数学的に,と強調したのはエクセル等で解析的に解くのは避けるためです.また,Aは実際に解いて頂く問題ではないため敢えて書きませんでしたが,有界な値です.

どなたか詳しい方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願い致します.

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A 回答 (2件)

 #1です。


 お礼をありがとうございます。

 解法はいろいろあると思いますが、私は複素数を使って求めました。
 以下にヒントを記しますので、よければ参考にしてください。

ヒント1) sin{(2n-1)θ}=[exp{i(2n-1)θ}-exp{-i(2n-1)θ}]/(2i)

ヒント2) Σ[n=1→∞] x^(2n-1)/(2n-1)= arctanh(x)

ヒント3) arctanh(x±iy)=1/2 arctanh{2x/(1+x^2+y^2)}±i/2 arctan{2x/(1-x^2-y^2)}
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 解けますよ。


 これはフーリエ級数と呼ばれるもので、極限は一定値になりますが、θの範囲によって値が変わります。

0<θ<πのとき f(θ)=π/4
θ=0,πのとき f(θ)=0
π<θ<2πのとき f(θ)=-π/4
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この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます.
ご指摘のように,この問題はフーリエ級数を意識しています.

フーリエ変換にフーリエ逆変換があるように,フーリエ級数展開にもその逆があるのか疑問に思ったのがきっかけです.

f(θ)が判明していて,それをフーリエ級数展開し,0<θ<πのとき f(θ)=π/4 となることは自然と求まりますが,フーリエ級数展開した結果,0<θ<πのとき f(θ)=π/4となるような元のf(θ)を求めるのは可能かどうか不安でした.
でも,できるということなので安心して問題に取り組めそうです.

お礼日時:2009/05/21 02:11

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教えていただければ助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

0~T[s]でΔt刻みにN個の点を取った
の意味ですが、
0からT秒までをΔtの幅で分割します。
分割した区間内のある時刻に計測するわけです。
たとえば、すべての区間で最初に測るときもあれば、
すべての区間で最後に測るときもあるでしょう。
 N回測ったときにかかる時間は、
それぞれの区間で計測した瞬間だけではなく、
各区間の残りの時間を含めて考えるべきです。
 そうしないと、
(N+1)回目の測定は、2*Δt秒間で1回計測することになってしまいます。
均等にするには0.9秒の瞬間に測ったとしても残りの0.1秒をつけた区間の中で1回測ったとして扱いますので、10回測るのに必要な時間は1秒となります。

Qlim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

lim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

ということなのですが、区分求積法を使おうとしたのですが、よくわかりません。
複雑ですが、解けた方は教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従って、そのフーリエ係数はn→∞のとき0に収束する。
(リーマン-ルベグの定理を用いた。)よって第二項目の積分は0となる。

よって、lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=1/2・log(1+π/2)
となる。

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
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Q分解能について(フーリエ変換)

フーリエ変換について、時間分解能Δtと周波数分解能Δfについて、
両立は難しいと言われますよね。

サンプリング周波数 f_s
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詳しい方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>Δt = 1/f_s = 0.001 s の細かさまで信号は扱えるのではないですか?

いや、例えばバイオリンのビブラートを測定したいとします。
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積分の中に埋もれてしまいます。

つまり、ここでいう、時間分解能とは、積分間隔のこと。
サンプリング間隔はどうでもよいのです。

Qn^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθの極限

cosθ=exp(-(1/2)θ^2+a(θ)θ^2)
a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおく事をヒントに、
lim(n->∞)n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ=(2π)^1/2
が示せるそうなんですが、全くわかりません。
変数変換するんでしょうけどうまくいきません…助けてください。
(∫[x=-∞,∞] exp(-x^2) dx=π^1/2 を使うらしいです)

Aベストアンサー

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

となります。logを1の周りで展開すると、

 log(cos(x/√n))=-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)

となるので、結局、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2
     =n[-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)]/x^2 +1/2
     =-1/2-O(x^2/n)+1/2
     =-O(x^2/n)

となります。これを元の被積分関数のexpに戻すと、
被積分関数 fn(x)は、

 fn(x) = exp(-(1/2)x^2 - O(x^2/n))

となります。
n→∞のとき、fn(x)→exp(-x^2/2) に収束します。また、このとき積分範囲は[-∞,∞]となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えてもよいならば、
(この辺が少し曖昧ですが・・)

lim(n→∞)∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]fn(x)dx
 =∫[x=-∞,∞]exp(-x^2/2)dx
 =√(2π)

となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えるには、何らかの定理を使う必要があるかもしれません。

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

となります。logを1の周りで展開すると、

 log(cos(x/√n))=...続きを読む

Qアナログ信号とフーリエ変換

デジタル信号の周波数分析として離散フーリエ変換があります。そして、アナログ信号の周波数分析としてフーリエ変換と考えていました。またアナログ信号を離散フーリエ変換で考える方法もあり、アナログ信号をサンプリングすることで離散フーリエ変換で考えることが出来ると考えています。

ですが、「アナログ信号の周波数分析にフーリエ変換を使うと定義されている」という考え方は間違いであると言われました。
何が違うのか分かりません。よく分からないので詳しく教えてください。

Aベストアンサー

国語の話をしても建設的ではない

離散変換は
サンプリングしてのフーリエ変換なので折り返しがでる
また離散変換は
周期関数にたいするものなので周期関数で近似できる関数で無ければならない

つまり、
離散変換は
周期関数のサンプリング信号を対称にするものであり
周期関数で近時できないものやサンプリング時の折り返しが問題になる場合にはNGである

ただしサンプリングの問題はサンプリング周波数をあげれば解決できる場合もある

しかしいくら周期を長くしてもうまくない場合にはNG

Q20番の問題を解いてみたのですが、答えが(1)はx=12/π ,12/5πで(2)はx=2/π ,

20番の問題を解いてみたのですが、答えが(1)はx=12/π ,12/5πで(2)はx=2/π , 6/5πとなりました。合ってるか曖昧で、もし間違っていたら教えてください!あと、できたらグラフも教えてもらえると助かります(><)

Aベストアンサー

(1)2[ sin(x) + cos(x) ] = √6  ①

 sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)  ②
という加法定理の公式があります。これを使って、たとえば B=パイ/4 とすると

 sin(A + パイ/4)
= sin(A)cos(パイ/4) + cos(A)sin(パイ/4)
= (1/√2)sin(A) + (1/√2)cos(A)
= (1/√2)[ sin(A) + cos(A) ]

となります。これを使えば
 sin(A) + cos(A) = √2sin(A + パイ/4)
になります。

これを①に適用すると

  2√2sin(x + パイ/4) = √6
  sin(x + パイ/4) = √3 /2

0≦x<2パイ の範囲では
  x + パイ/4 = (1/3)パイ、(2/3)パイ
よって
  x = (1/12)パイ, (5/12)パイ

※計算は合っているようですが、質問者さんの「分数」の書き方は、分子・分母が逆ですね。

(2)sin(x) + √3 cos(x) = -1   ③

 今度は、上の②の式で、B=パイ/3 としてみましょう。

 sin(A + パイ/3)
= sin(A)cos(パイ/3) + cos(A)sin(パイ/3)
= (1/2)sin(A) + (√3/2)cos(A)
= (1/2)[ sin(A) + √3 cos(A) ]

となります。これを使えば
 sin(A) + √3 cos(A) = 2sin(A + パイ/3)
になります。
  
これを③に適用すると

  2sin(x + パイ/3) = -1
  sin(x + パイ/3) = -1/2

0≦x<2パイ の範囲では
  x + パイ/3 = (7/6)パイ、(11/6)パイ
よって
  x = (5/6)パイ, (3/2)パイ

※こちらは計算が違っているようですよ。
 x=(1/2)パイ だと、③に代入すると
  sin((1/2)パイ) + √3 cos((1/2)パイ)
 = 1 + 0
 = 1
なので違いますね。

(1)2[ sin(x) + cos(x) ] = √6  ①

 sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)  ②
という加法定理の公式があります。これを使って、たとえば B=パイ/4 とすると

 sin(A + パイ/4)
= sin(A)cos(パイ/4) + cos(A)sin(パイ/4)
= (1/√2)sin(A) + (1/√2)cos(A)
= (1/√2)[ sin(A) + cos(A) ]

となります。これを使えば
 sin(A) + cos(A) = √2sin(A + パイ/4)
になります。

これを①に適用すると

  2√2sin(x + パイ/4) = √6
  sin(x + パイ/4) = √3 /2

0≦x<2パイ の範囲では
  x + パイ/4 = (1/...続きを読む

Qフーリエ変換

アナログからディジタルに変換する際の処理として、よくフーリエ変換が使われるのですが、いったいフーリエ変換してなにがいいのでしょう?
簡単にいうと、何故、フーリエ変換するのでしょうか?

Aベストアンサー

周波数分布とはなんですか?:
周波数分布という表現は誤解を招きやすいので
訂正すると
「各周波数にどの程度信号成分があるかの分布」
です

離散時間信号をフーリエ変換する処理をしてるいるんですが、ちょっとなぜ変換するかよくまだ分かりません。:
x(t)のフーリエ変換をX(f)としたとき
x(t)をサンプリング周波数1でサンプリングした信号
xs(t)=Σ(-∞<n<∞)・x(n)・δ(t-n)
のフーリエ変換Xs(f)をX(f)で表してみれば分かります

Q0≦θ<2πのとき、次の不等式を解け。 という問題

0≦θ<2πのとき、次の不等式を解け。

sin(θ - 5/12π)≦1/2

範囲は -5/12π≦θ - 5/12π< 19/12π で
θ - 5/12π = xと置くと、sinx≦1/2
となります。
ここからがよく分からないのですが

範囲のスタート地点は負の部分ですよね?
三角方程式や三角不等式の解に負が含まれてもいいのでしょうか?
例えばこの問題なら、最初にsinxが1/2となるのは30度(π/6)だから
-5/12π≦x≦π/6
とするのでしょうか?

こうした場合
5π/6≦x≦19/12π
も解となり、θ - 5/12π = xだから
xにθ - 5/12πをそれぞれ代入して答え
となると思うのですが、どうなのでしょうか?

Aベストアンサー

>三角方程式や三角不等式の解に負が含まれてもいいのでしょうか?
全く問題ないですね。何か間違った先入観がありませんか?

>最初にsinxが1/2となるのは30度(π/6)だから
>-(5/12)π≦x≦π/6
>とするのでしょうか?

それで良いですね。あとは元のθにもどして
0≦θ≦(7/12)π
とします。

>こうした場合
>(5/6)π≦x≦(19/12)π
>も解となり、
「(5/6)π≦x<(19/12)π」の間違い(上限には等号が入らない)

xをθに戻した
(15/12)π≦θ<2π
もあわせて答えとしないといけないね。
まとめた答えは
0≦θ≦(7/12)π,(15/12)π≦θ<2π
となるね。


》θ - 5/12π = xだから
>xにθ - 5/12πをそれぞれ代入して答え
>となると思うのですが、どうなのでしょうか?

その通り、θで答えないといけないです。


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