次の問題は自分で勝手に考えた問題です.正規の問題ではありません.

f(θ) = sinθ + (sin3θ)/3 + (sin5θ)/5 + (sin7θ)/7 + ・・・ + (sin(2n-1)θ)/(2n-1)

ただし,0<θ<π とします.

nを無限大にしたときの f(θ) の極限値がAであることを示せ.」

このようにθの値が具体的に決まっていない場合,これは数学的に解ける問題なのでしょうか?

それが無理だとしたら,θを仮に θ=π/2 と決めて解くこととします.この場合は数学的に解ける問題になるのでしょうか?

数学的に,と強調したのはエクセル等で解析的に解くのは避けるためです.また,Aは実際に解いて頂く問題ではないため敢えて書きませんでしたが,有界な値です.

どなたか詳しい方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願い致します.

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A 回答 (2件)

 #1です。


 お礼をありがとうございます。

 解法はいろいろあると思いますが、私は複素数を使って求めました。
 以下にヒントを記しますので、よければ参考にしてください。

ヒント1) sin{(2n-1)θ}=[exp{i(2n-1)θ}-exp{-i(2n-1)θ}]/(2i)

ヒント2) Σ[n=1→∞] x^(2n-1)/(2n-1)= arctanh(x)

ヒント3) arctanh(x±iy)=1/2 arctanh{2x/(1+x^2+y^2)}±i/2 arctan{2x/(1-x^2-y^2)}
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 解けますよ。


 これはフーリエ級数と呼ばれるもので、極限は一定値になりますが、θの範囲によって値が変わります。

0<θ<πのとき f(θ)=π/4
θ=0,πのとき f(θ)=0
π<θ<2πのとき f(θ)=-π/4
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この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます.
ご指摘のように,この問題はフーリエ級数を意識しています.

フーリエ変換にフーリエ逆変換があるように,フーリエ級数展開にもその逆があるのか疑問に思ったのがきっかけです.

f(θ)が判明していて,それをフーリエ級数展開し,0<θ<πのとき f(θ)=π/4 となることは自然と求まりますが,フーリエ級数展開した結果,0<θ<πのとき f(θ)=π/4となるような元のf(θ)を求めるのは可能かどうか不安でした.
でも,できるということなので安心して問題に取り組めそうです.

お礼日時:2009/05/21 02:11

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