実数a,b,cが a分の(b+c)=b分の(c+a)=c分の(a+b) を満たすとき、
この式の値を求めよ。  

できればkを使う方法でお願いします。

A 回答 (4件)

各辺に +1 してから、辺ごとに通分すると、


各辺から (a+b+c) が、くくり出せる。
この式から、与えられた条件は、
a+b+c = 0 または 1/(a+b) = 1/(b+c) = 1/(c+a)
であることが分かる。
後の式は、各辺の逆数をとれば
a+b = b+c = c+a。
つまり、a = b = c である。

a+b+c = 0 の場合、与式の値は -1、
a = b = c の場合、与式の値は 1/2 となる。
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この回答へのお礼

たいへん有難うございました。

お礼日時:2009/05/22 00:20

加比の理、というものがある。

下のURLの最後のほうに書いてあるが。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0

k=(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/cより‥‥(1)、加比の理から、k==2(a+b+c)/(a+b+c)。
a+b+c=0の時、b+c=-a 等により、(1)から、k=-1.
a+b+c=0≠0の時、k=2.
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この回答へのお礼

とても良いサイトを教えていただきまして有難うございました。

お礼日時:2009/05/22 00:22

 (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k


とおくと、
 b+c=ak …(1)
 c+a=bk …(2)
 a+b=ck …(3)
となる。
この3式の辺々を加えれば
 2(a+b+c)=(a+b+c)k
よって、
 (k-2)(a+b+c)=0
故に、k=2またはa+b+c=0

ここで場合わけをする。
・k=2のとき
 (1)、(2)にk=2を代入して
  b+c=2a,c+a=2b
よって、
  c=2a-b=2b-a
となるので、a=b=c
 このとき、(3)も満たす。
ゆえに、a=b=c≠0のとき、k=2
・a+b+c=0のとき、
  b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c
 より、a≠0,b≠0,c≠0,a+b+c=0のとき、
   k=-a/a=-b/b=-c/c=-1



っていうkの使い方でよかったでしょうか?
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この回答へのお礼

とっても良く分かりました。
また、宜しくお願いします。k

お礼日時:2009/05/21 04:10

 (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c≡k とおきますと、次のような連立方程式ができます。



 b+c=ak、c+a=bk、a+b=ck

 最初の2つの式の差をとると、
  b-a=(a-b)k
となりますので、次の解が得られます。
  a≠bのとき k=-1
  a=bのとき kは任意

 次に、a=bの時についてさらに考えます。
 a=bのとき、元の方程式は次のようになります。
  1+c/a=2a/c=k

 ここで、c/a=x とおくと、上の方程式の左側は次のほうに2次方程式になります。
  1+x=2/x
 ⇔x^2-x-2=0、x≠0
 ∴x=-2,1

 x=-2のとき c=-2a  ∴k=-1
 x=1のとき  c=a(=b)∴k=2

 以上をまとめると、次のようになります。
  a=b=cのとき (k=)2
  それ以外の時   (k=)-1
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この回答へのお礼

そうっだたんですね。
簡単なのにわかりませんでした。
本当に苦手で困ります。
また宜しくお願いします。k

お礼日時:2009/05/21 04:18

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