ただの例題です。
必ず感染するインフルエンザがはやったとして、
一日に2割ずつ感染者が増えていくとします。
現在200人の患者がいるとして、人口の1億3千万が必ず感染すると仮定すると、何日目で全人口を超えますか?
連立方程式だとおもいますが、計算式が思いつかないので、教えてください。

A 回答 (5件)

♯2です。



中学生レベルかぁ。難しいなぁ。

条件から患者の数は、
1日後は1.2倍
2日後は1.44倍
3日後は1.728倍
4日後は2.0736倍
5日後は2.48832倍・・・
になります。
こうして200人が130000000人になるには
患者の数は6500000倍にならなければなりません。
5日で2.48832倍だとその2倍の10日後には
2.48832×2.48832≒6.2倍になります。
更にその2倍の20日後には6.2×6.2=38.44倍、
更にその2倍の40日後には38.44×38.44≒1478倍、
更にその2倍の80日後には1478×1478≒2184000倍
となります。
更にその5日後には、2184000×2.488≒5434000倍
その翌日には5434000×1.2≒6521000倍で
全人口を超える事になります。

この問題は、連立(1次)方程式でも2次方程式でもなく、
指数方程式(任意の定数のⅹ乗)で表わされるものなので、
中学生レベルではちょっと難しいのではないかと思います。
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#1 です。



K(1) = 1.2 X N
K(M+1) = 1.2 X K(M)

上記の漸化式は、質問文を数式化したものなので、
この漸化式を一般式への変換をします。

K(2) = 1.2 X K(1)
= 1.2 X (1.2 X N)

K(3) = 1.2 X K(2)
= 1.2 X (1.2 X 1.2 X N)

上記考察から
K(D) = 1.2 のD 乗 X N
です。

Nは、200なので、
1.2 の D 乗が >= 130000000/200
の不等式を満たす D を求めればいいです。
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 面白い問題を考えましたね。



> 何日目で全人口を超えますか?

「一日に2割ずつ感染者が増えていく」という規則を素直に表したANo.1の式(「漸化式」と呼ばれる形をしています)は

K(M)=N×1.2^M

と書き換えることができ、ただし1.2^Mとは「1.2のM乗」のことです。この式によるとK(M)はM=74日目に全人口を越えます。(ANo.2の計算は、使った対数(log)の近似値の精度がちょっと悪すぎるようです。)

 しかし、そもそも「全人口を越え」るってどういう事でしょうか。たとえば「全人口1億3千万人のうち1億4千万人が感染している」という状況になる筈ですが、あれれ?はて、こんなことってあり得ますか?

 言い換えれば、「一日に2割ずつ感染者が増えていく」という規則はいつまでもは成り立たつはずがない。つまり、この仮定自体が矛盾を含んでいるのです。

 そこで、そういう矛盾が出ないように「感染者数が全人口に比べてかなり少ないうちは一日に2割ずつ感染者数が増えていくが、感染者数が全人口に近づくと増え方は頭打ちになって、結局、感染者数は全人口を越えない」ような規則とはどんなものか、という問いを考えてみましょう。
 もちろん答は一つではないけれども、たとえば、

K(0)=N
K(M+1)=(1+0.2(Z-K(M))/Z)K(M)  (M=1,2,....)

という漸化式で表される規則は答になってます。(Zは全人口で、Z≧N≧0。他はANo.1の記号に合わせました。)感染者数K(M)が増えるにつれて感染者数の増加率0.2(Z-K(M))/Zがだんだん小さくなって行く仕掛けです。
 残念ながらこの規則はANo.1の式のようには簡単にできません。なので表計算ソフトで計算してみますと、感染者数が全人口の90%を越えるのは84日目、99%を越えるのは95日目、99.9%を越えるのは105日目。
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>一日に2割ずつ感染者が増えていくとします。



前日に比べて、翌日は2割感染者が増えるんですよね?
それならば、D日後の感染者数K(D)は
K(D)=200×1.2^(D-1) で表されます。
これが1億3千万以上になる最小のDを求める訳です。
130000000÷200=13÷2×10^5
ここで、log1.2≒0.077 log13≒2.565 log2≒0.3 だから、
(log13-log2+5×log10)÷log1.2
   ≒(2.565-0.3+5)÷0.077
   ≒94.35
よって、96日目ですね。

この回答への補足

logがわかりません。
あと、^ がわかりません。
中学生レベルまで落としてほしいです。

補足日時:2009/05/21 09:02
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現在 N 人感染している。


M 日後の感染者を K(M) とあらわす。

K(1) = 1.2 X N
K(M+1) = 1.2 X K(M)

N が 200 としたとき、
K(D) が 1 億3千万を越す D を求めればいいです。

この回答への補足

むずかしくてわかりません。

補足日時:2009/05/21 09:01
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