半角の公式の証明

tan(a/2) = sqrt{(1-cos a)/(1+cos a) = {sqrt(1+tan a) - 1}/(tan a)
の証明ってどうやるのでしょうか?
教えてください。

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A 回答 (2件)

a=60°とします。


tana=√3
cosa=1/2
tan(a/2)=1/√3

これで計算すると2つ目の等号が成り立ちません。

1つ目の等号は
sin(a/2)=√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2)
から出てきます。

tan(a/2)=√((1-cosa)/(1+cosa))
のルートを外すと
tan(a/2)=(1-cosa)/sina
になります。
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>半角の公式


tan(a/2) = SQRT{(1-cos a)/(1+cos a)} = {SQRT(1+tan a) - 1}/(tan a) ..... の証明

スタート・ポイントが難しいところですけど、とりあえず cos の倍角公式から前半を…。
 cos(2b) = cos^2(b) - sin^2(b) = 2*cos^2(b) - 1 = 1 - 2*sin^2(b)
  ↓
 2*sin^2(b) = 1 - cos(2b)
 2*cos^2(b) = 1 + cos(2b)
  ↓
 tan^2(b) = {1 - cos(2b)}/{1 + cos(2b)}

後半は、tan の倍角公式から…。
 
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