学校がインフルエンザ流行防止のために休校となり先生に質問することができません。次の問題を教えてください。

(問題)
二つの二次関数f(x)=-x^2+ax+a-2,g(x)=x^2-(a-2)x+3
について次の条件を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ
(1)どんなxの値に対してもf(x)<g(x)が成り立つ
(2)どんなx1(エックスワン),x2の値に対しても,f(x)<g(x)が成り立つ

解説には(1)の解答の中に「条件を満たすためには二次方程式g(x)-f(x)=0の判別式をDとしたとき、D<0となる」というところがあるのですが、ここが特にわからないので、よろしくお願いします

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A 回答 (4件)

(1)どんなxの値に対してもf(x)<g(x)が成り立つ


→どんなxの値に対しても0<g(x)-f(x)が成り立つ
であることはわかりますよね?

g(x)-f(x)=0の判別式をDとすれば
D<0の時はすべての実数xについて0<g(x)-f(x)が成り立つというのがおそらく教科書に書いてあるかと思います


>(2)どんなx1(エックスワン),x2の値に対しても,f(x)<g(x)が成り立つ
(2)どんなx1(エックスワン),x2の値に対しても,f(x1)<g(x2)が成り立つ
ということでしょうか?

これはf(x)の最大値とg(x)の最小値を考えて
f(x)の最大値<g(x)の最小値
なら、どのようなx1、x2を取っても
f(x1)<g(x2)
になりますね
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございました。
おかげで(2)はわかりました。
しかし、(1)の「D<0の時はすべての実数xについて0<g(x)-f(x)」
というのが、なぜD<0のときに成り立つのかがわかりません。

お礼日時:2009/05/21 19:59

(1)f(x)は、上に凸な2次関数。


  g(x)は、下に凸な2次関数。
  どんなxの値に対してもf(x)<G(x)が成り立つということは、
  f(x)とg(x)が交点を持たないということ。
  つまり、g(x)-f(x)=0が実数解を持たないということ。
  g(x)-f(x)={x^2-(a-2)x+3}-(-x^2+ax+a-2)
       =x^2-(a-2)x+3+x^2-ax-a+2
       =2x^2-2(a-1)x-(a-5)=0 とすると、
  上の式の判別式をDとすれば、D<0を満たせばよい。
ということです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
二つの二次関数のグラフをそれぞれ
書いてたらわかりました

お礼日時:2009/05/22 11:51

>なぜD<0のときに成り立つのかがわかりません。



グラフを考えれば、分かるだろう。f(x)<g(x)は、下に凸の2次関数から、平方完成した式:2{x-(a-1)/2}^2+(5-a)-(a-1)^2/2 において、このグラフが常にy軸より上にあれば良い。
従って、(5-a)-(a-1)^2/2>0であれば良い。この式が、判別式を意味する。

>(2)どんなx1(エックスワン),x2の値に対しても,f(x)<g(x)が成り立つ

この問題も、判別式だけで片がつく。書込みが面倒だから、x1=α、x2=βとしょう。

f(β)<g(α)を計算すると、α^2-(a-2)α+β^2-aβ+(5-a)>0であるから、これが任意のαに対して成立するから、α^2の係数>0より、判別式<0.
整理すると、β^2-4aβ+16-a^2>0. これが任意のβについて成立するから、β^2の係数>0より、判別式<0 よつて、|a|<2√2.
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この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございました。
f(x)<g(x)ということが、まだいまいち理解できていないため
まだわかりません。
(2)の方は解決しました。

お礼日時:2009/05/21 20:48

>しかし、(1)の「D<0の時はすべての実数xについて0<g(x)-f(x)」


というのが、なぜD<0のときに成り立つのかがわかりません

教科書に書いてあるはずなんですが…

とりあえず
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/club/suug …
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この回答へのお礼

二次関数のわかりやすいプリントを紹介していただきありがとうございました。

お礼日時:2009/05/21 20:48

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