テイラー展開による多項式近似の説明で多くの場、
x=aの近傍で…、などと書いてありますが、
xがaの近傍である必要はなぜですか?
わかる方よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

>xがaの近傍である必要はなぜですか?


たとえば
自然対数 ln(x)のx=1の周りに展開する場合
■x=0では ln(x)は未定義で微分が存在しないので展開もできません。

対数の多項式展開はx=1の周りのテイラー展開を使うか、ln(1+x)のx=0の周りのテイラー展開を使います。


tan(x)のx=(7/15)πの周りの展開では
x=0での展開式では誤差が多いので、x=(7π/15)付近のxに対するtan(x)の計算を行う場合は
x=(7π/15)の展開式の方が
■より少ない項数で精度良く近似計算ができるということです。
実際の両方の展開式で計算して見ると、やはり求めたいxの値に近いところのxの値の周りで展開した方が収束が速いことが分かるかと思いますのでやってみて下さい。
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 多項式近似をした場合、剰余項に (x-a)^n の項が出ますが、xがaから離れるに従って、この剰余項が大きくなるからです。


 つまり、誤差が大きくなってしまうため「x=aの近傍で」という条件が必要になります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4% …
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