2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数は何個あるか。また、その中で一組の隣り合う2つの数字だけが同じであるものは何個あるか。
という問題なんですけど、解説よんだら、4個の数字が全て異なるのは9×9×8=4536とか載ってて訳分かんないです…
その式が分かれば9000から引けばいいんですけど、なんでその式がでてきたのかもサッパリです。
あと、「また、」から始まる問題もよく分かりません…
9×9×8という式がでて来たかとおもえば、次の式には×3が足されてて。
因みに答えは4464、1944です。
この分野ほんと苦手なので、詳しく解説して貰えると助かります。。。

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A 回答 (3件)

 まず、次の記述は誤記ですよね。


   「4個の数字が全て異なるのは9×9×8=4536」
(正)「4個の数字が全て異なるのは9×9×8×7=4536」

 4個の数字が全て異なる4桁の正の整数を、記号を使って、次のように表します。

  ○△□×

 さて、ここで、各桁が取れる数字の範囲を考えます。
 △、□、×は0~9で互いに異なる数字でなければなりません。
 しかし、最高桁の○は、この数が4桁になるためには、○は0ではいけませんので、1~9の△、□、×と異なる数字でなければならないことが分かります。
 そこで、各記号の取り得る場合の数を上の桁から考えてみますと、次のようになります。

 ○: 1~9の数字             9通り
 △: 0~9のうち○とは異なる数字     10-1=9 通り
 □: 0~9のうち○と△とは異なる数字   10-2=8 通り
 ×: 0~9のうち○と△と□とは異なる数字 10-3=7 通り

 従って、各桁がすべて異なる数字でできる4桁の整数は
  9×9×8×7 = 4536 通り
となります。
 あとは、4桁の整数は 9999-999=9000 通りありますので、これから引いて 4464 通り と求めれば良いのです。


 「また」以降の問題ですが、これも記号を使って表すと、次の3つのパターンに分けることができます。

  ○○△□  △○○□  △□○○

 このそれぞれにパターンについて、取り得る場合の数を考えてみます。

1) ○○△□の場合
  ○: 1~9の数字             9通り
  △: 0~9のうち○とは異なる数字     10-1=9 通り
  □: 0~9のうち○と△とは異なる数字   10-2=8 通り

  9×9×8 通り

2) △○○□の場合
  △: 1~9の数字             9通り
  ○: 0~9のうち△とは異なる数字     10-1=9 通り
  □: 0~9のうち○と△とは異なる数字   10-2=8 通り

  9×9×8 通り

3) △□○○の場合
  △: 1~9の数字             9通り
  □: 0~9のうち△とは異なる数字     10-1=9 通り
  ○: 0~9のうち□と△とは異なる数字   10-2=8 通り

  9×9×8 通り

 以上の3パターンについて足し合わせると、次のようになります。

  9×9×8×3 = 1944 通り


 なお、上記では1パターンずつばらして考えましたが、○○の部分をひとまとまりと見ることができれば、すべて数字の異なる3桁の正整数の場合の数にパターン数(3)を掛けて求めることができます。
 この場合も、式は同じで、次の式で求めることになります。

  9×9×8×3 = 1944 通り
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訂正


2の者です。

9×9×8×7=4536でした。
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2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数は何個あるか。


千の位に入る数は0以外の9通。
そのそれぞれについて百の位には千の位の数以外の9通り、十の位には千の位・百の位の数以外の8通り、一の位には千の位・百の位・十の位の数以外の7通り。
9×9×8×7=4464(4個の数字が全て異なる)
9000というのは4桁の正の整数全体(1000~9999)のことです。
よって(全体)-(4個の数字が全て異なる)とすれば2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数の個数がでてきます。

また、その中で一組の隣り合う2つの数字だけが同じであるものは何個あるか。
隣り合う2つの数字をひとつにまとめるだけです。
また隣り合う2つの数字は、千の位・百の位、百の位・十の位、十の位・一の位の3通りありますので9×9×8×3=1944となります。
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