こんばんは。青チャート3C、P149基本例題91です。問題は、 aは定数とする。方程式ax=2logx+log3の実数解の個数について調べよ。ただしlim〔x→∞〕(logx/x)=0を用いても良い。解答は、真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は(2logx+log3)/aと同値。f(x)=(2logx+log3)/xとするとf´(x)={2-(2logx+log3)}/x^2={2-(logx^2+log3)}/x^2=(2-log3x^2)/x^2 f(x)=0とすると,x>0であるからx=e/√3以下省略。ここで(1)微分の計算過程でどうすれば2が出てくるのか,(2)どうしてlog3x^2=2 x=e/√3になるのか,(3)(2)の2は分子の2でよいのか以上3点わかるかたよろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

(1)f(x) = (2logx+log3)/x


を微分するには、f(x) = (1/x)*(2logx+log3)とする。
この時、合成関数の微分を用いて、df(x)/d(x) = (1/x)'*(2logx+log3) + (1/x)*(2logx+log3)' = (-1/x^2)*(2logx+log3) + (1/x)*(2/x) = {2-(2logx+log3)}/x^2

後は、xlog(a) = log(a^x)を用いて簡単にする。
そして、log(a)+log(b) = log(ab)の関係を用いて同じく簡単にする。

結果は、f'(x) = {2-log(3x^2)}/x^2

(2)2-log(3x^2) = 0が成り立つのだから、
log(3x^2) = 2より、3x^2 = e^2
両辺を3で割ると、x^2 = (e^2)/3
よって、x = ±(e)/√(3)
答えが成立するのは、プラスのときだから、x=e/√(3)

(3)(1)での計算をやってみると分かります。
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