高校生のものです。
ペル方程式x^2-ny^2=1を満たす整数x、yを求めよという問題があったとします。
具体的に扱うために、n=2にします。
このときx^2-2y^2=1となります。
僕はこれはy=±1/√2を漸近線とする、放物線に見えました。
したがって、この放物線上の格子点を求めればよい。と考えたのですが、このやり方では解は求まらないでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

ペル方程式には、代数的に解くのが多いですが、幾何学的(作図的)に解く方法もあります。



例えば、二つの双曲線
x^2-2y^2=±1
上の格子点で、第一象限にあるものを考えます。
原点Oに近いものから、
A(1,0),B(1,1),C(3,2),D(7,5),E(17,12),…

ここで、△OAB=1/2,△OBC=1/2,△OCD=1/2,△ODE=1/2,…
となっています。
この面積の性質を利用すると、ある種の作図によって、次々、解を表す点が求まります。

なお、格子点を頂点にもつ三角形の面積が1/2ということは、ピックの定理により、その三角形の内部には格子点が存在しないことがわかります。

そのことから、二つの双曲線x^2-2y^2=±1ではさまれた領域(境界は含まない)には、原点以外には格子点が存在しないことがわかります。

ついでに、ディオファンタス方程式ax-by=1(a,bは互いに素)の特殊解を求めるのに代数的に解くのが多いですが、幾何学的(作図的)に解く方法もあります。
http://www.max.hi-ho.ne.jp/shizuka/math/seisuu9. …
    • good
    • 0

#1です。


>この一般解
括弧[ ]内は添え字を表すものとする。
(x[0],y[0])=(1,0)として
2行2列の行列A=
(3,4)
(2,3)
とおき、t()を転置の記号とすれば
t(x[n],y[n])=A^n*t(1,0) (n≧1)
により、整数の組{x[n],y[n]}を定める。

このとき、n=2の場合のペルの方程式の一般解の
整数の組(x,y)は
(±x[n],±y[n]) (n=0,1,2,3, ... )
で与えられるかと思います。

具体的に求めて見ると以下のようになりますね。
(±1,0), (±3,±2), (±17,±12), (±99,±70), (±577,±408), (±3363,±2378), (±19601,±13860), (±114243,±80782), (±799701,±571215), (±4683963,±3313047), …
(ここで複号は全ての組合せをとるものとする)
    • good
    • 0

 左辺をふつーに因数分解して


a = (x+(√n)y)
b = (x-(√n)y)
ab = 1
と書いてみると、明らかに、任意の自然数kについて
(a^k )(b^k) = 1
でもある。この(a^k)を(√n)の多項式に展開して
(a^k) = X+(√n)Y (X, Yは(√n)の因子を含まない)
の形に整理したら、(b^k)も
(b^k) = X-(√n)Y
と表せるのは自明。だから、x,yが整数解ならX,Yも整数解になっている…
と、こういう話になるのは方程式の右辺が1であってくれる御蔭なんで、右辺がどんな定数でも、という訳には行きません。で、「双曲線上の格子点」という発想だと、どんな定数でもという訳には行かない、という事情が酌めていないところが弱いかな。
 さて、
(1) どんな整数解もこの格好かというと…
(2) タネになる整数解はどうやって見つけるかというと…
というあたりが一般解の話ですね。高校生向けの詳しい解説が 
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node60. …
にありました。また、 
http://ja.wikipedia.org/wiki/ペル方程式
には右辺が1でない場合の話もちょっと書いてあります。
    • good
    • 0

>このときx^2-2y^2=1となります。

僕はこれはy=±1/√2を漸近線とする、放物線に見えました。

はっきり言うが、放物線と双曲線との区別も出来ない者が、ペル方程式を理解できるとは思えない。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node61. …

ブラーマグプタの恒等式というのがある。
(x^2-ay^2)*(m^2-an^2)=(xm+ayn)^2ーa(xn+ym)^2 が成立する。a=2とすると、(x、y)、(m、n)が x^2-2y^2=1 の解ならば、(xm+2yn、xn+ym)も解である。

この事からしても、xとyの解は無数にあり、従って、そこから派生する解:(xm+2yn、xn+ym)も無数にあるだろう。
結局、解は無数にあるだろう。

詳細で正確な解説は、大学で整数論を学んだ人に任せるが。。。。

この回答への補足

双曲線ですね。ただの書き間違いです。
質問してる側ですが、そこまで偉そうに言わなくてもいいんじゃないでしょうか?書き間違えぐらい誰にだってあるでしょ?

結局一般解は存在しないのでしょうか?
解が無数にあることは、直感的にわかりますし、ペル方程式と名前があるぐらいだから、一般解もあると思うんですが。

補足日時:2009/05/22 23:00
    • good
    • 0

> x^2-2y^2=1


これは放物線ではなく双曲線の方程式です。

>y=±1/√2を漸近線とする、
y=±(1/√2)x が漸近線です。

>このやり方では解は求まらないでしょうか?
求まりますよ。

簡単にやっただけで
x=±3のときy=±2
x=±17のときy=±12
x=±99のときy=±70
が見つかりました。

もっと絶対値の大きな(x,y)の組もあると思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに結構小さい数から大きな数まで満たす解がたくさんありますね。
ちなみにこの一般解なんかないでしょうか?

お礼日時:2009/05/22 23:27

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数学C 双曲線

数学C 双曲線の問題
確認お願いします!

2点 (3,0)(-3,0)を焦点とする直角双曲線の方程式を求めよ。という問題です!

【自分の解き方】
(√(a^2+b^2),0)を利用して√(a^2+b^2)=3
a^2+b^2=9
「直角双曲線なのでa=bよって2a^2=9」←ここが不安

a^2=9/2

双曲線の方程式に代入して
x^2/9/2-y^2/9/2=1

よって求める方程式はx^2-y^2=2/9


すいませんが解き方、答えの確認おねがいします!

Aベストアンサー

x 軸上に両焦点を持つ双曲線の方程式は x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 と書くことができ、
焦点座標は (±√(a^2+b^2), 0) である …ことを、既知として利用したのですね。
そのことを明記していないのが、ちょっと不安な点かな。解ってやっているのかな?と。
「直角双曲線なので a=b」は問題ないし、答えも合っていると思います。

Q数学III「2つの放物線y=x^2とx=2y^2ーyによって囲まれる部分の面積Sを求めよ」

数学III「2つの放物線y=x^2とx=2y^2ーyによって囲まれる部分の面積Sを求めよ」という積分の問題の解き方がわかりません。教えてください。略解は1/2でした。

Aベストアンサー

囲まれる部分のグラフを描いて見ましたか?

そうすれば、積分をy軸方向に行えば一回の積分でSが求まります。
S=∫[0,1] (√y-(2(y^2)-y))dy
=1/2
途中の積分は簡単ですからやってみて下さい。

なお、x軸方向に積分を行おうとすると面積を3つに分けて3回積分して加えて引くといった事をしないといけません。
或いはy=xの直線で面積領域を2つに分割してx方向とy方向の積分の和としてSを求める方法もあります。
最初の積分なら一回の積分だけでSが求まります。

Q双曲線xy=a >_<!!??

双曲線xy=a(a>0)の接線がx軸、y軸と交わる点をA.Bとするとき、三角形OABの面積は一定であることをしめせ。

この問題わかりません>_<!!
双曲線xy=aと書いてありますけど、双曲線ってxy=aなんてあるんですか???xy=aを変形してもy=a/xなので、双曲線の式に見えません>_<?

私の知ってる双曲線は
x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 で焦点を求める時は
c=√(a^2+b^2)だと習ったのですけど。。。

あと双曲線の図を試しに描いてみて
”接線”と題意に書いてあるので、接するだけの線を
引いてみたのですけど、その時、”双曲線”って右と左に二つの凸放物線が向き合ってると思うのですけど
右と左、どっちに接する線を描けばよいのですか??
両方接する線は書けないとおもうのですけど。。??

誰か教えてください、お願いします>_<!!

Aベストアンサー

>ここで言う、x=xcos45°ってなんですか?!
  1次変換とか写像という分野は習ったのでしょうか?
  一般に、xy平面上で、任意の点P(x、y)をθだけ原点Oの回りに
  回転移動して点P'(x'、y')に移す変換は
   x'=xcosθ-ysinθ
   y'=xsinθ+ycosθ   で表されます。

>途中式が抜けててどうして、こうなったのかわからないのでおしえてく
>れませんか?
  式(xcos45°-ysin45°)(xsin45°+ycos45°)=a
  で、sin45°=cos45°=1/√2 ですからこの式は
  (x/√2-y/√2)(x/√2+y/√2)で、それぞれの( )から
  1/√2を共通因数としてくくり出せば、
  (1/√2)×(1/√2)(x-y)(x+y)=a で
  (1/2)(x-y)(x+y)=a で
  (x-y)(x+y)=2a となります。

Q放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の

放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の両方に接する直線の方程式を求めよ

という問題が解けません。

高2が分かるような解き方がありましたら教えてくださいませんか?;w;

Aベストアンサー

求める直線をy=ax+bとおいて、
(1)放物線とこの直線が接する→(1/2)x^2+x=ax+bとしてこの二次方程式が重解を持つ
(2)円と直線が接する→円の中心からy=ax+bまでの距離が円の半径に等しい

この二つを連立させればaとbが求められます。

Q双曲線の問題

教員採用試験に向けて勉強中の大学三回生です。
お恥ずかしいことに数学教師を目指していながら数学の問題がわからないので質問させてください。

双曲線の問題です。
焦点の座標が(-1,0),(1,0)であり、漸近線がy=-√3x,y=√3xである双曲線がある。
(1)双曲線の方程式を求めよ。
解答.12x^2-4y^2=3
(2)この双曲線を原点のまわりにπ/3だけ回転してできる双曲線の方程式を求めよ。
解答.8√3xy+8y^2=3

(1)はできました。
(2)がわかりません。双曲線を媒介変数表示して回転行列でやったらうまくいくかと思い試しましたがうまくいきません。

大まかな手順で結構ですのでよろしく御願い致します。

Aベストアンサー

>> (a^2)+(b^2)=1
>> (b^2)/(a^2)=3
>> (a^2)=(1/4),,,(b^2)=(3/4)
>> (4/1)(x^2)-(4/3)(y^2)=1
>> 12(x^2)-4(y^2)=3

X=xcos60度-ysin60度 → x=Xcos60度+Ysin60度 
Y=xsin60度+ycos60度 → y=-Xsin60度+Ycos60度

或いは直接、
  x=Xcos(-60度)-Ysin(-60度)
  y=Xsin(-60度)+Ycos(-60度)

  x=(1/2)X+(√3/2)Y
  y=-(√3/2)X+(1/2)Y

12[{(1/2)X+(√3/2)Y }^2]-4[{-(√3/2)X+(1/2)Y}^2]=3

12[(1/4)(X^2)+(√3/2)XY+(3/4)(Y^2)]
   -4[(3/4)(X^2)-(√3/2)XY+(1/4)(Y^2)]=3

8√3XY-8(Y^2)=3
   smallに書き直して、
8√3xy-8(y^2)=3  。

>> (a^2)+(b^2)=1
>> (b^2)/(a^2)=3
>> (a^2)=(1/4),,,(b^2)=(3/4)
>> (4/1)(x^2)-(4/3)(y^2)=1
>> 12(x^2)-4(y^2)=3

X=xcos60度-ysin60度 → x=Xcos60度+Ysin60度 
Y=xsin60度+ycos60度 → y=-Xsin60度+Ycos60度

或いは直接、
  x=Xcos(-60度)-Ysin(-60度)
  y=Xsin(-60度)+Ycos(-60度)

  x=(1/2)X+(√3/2)Y
  y=-(√3/2)X+(1/2)Y

12[{(1/2)X+(√3/2)Y }^2]-4[{-(√3/2)X+(1/2)Y}^2]=3

12[(1/4)(X^2)+(√3/2)XY+(3/4)(Y^2)]
   -4[(3/4)(X^2)-(√3/2)XY+(1/4)(Y^2)]=3

8√3XY-8(...続きを読む

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Q双曲線の式

双曲線の標準形は,x^2/a^2-y^2/b^2=1ですが,
式y=ax/(b+x)も双曲線と聞きました。
これは,標準形からどのように導けばよいのでしょうか?
また,どのような特徴(標準形でいう,長軸や焦点)があるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>標準形からどのように導けばよいのでしょうか?

>式y=ax/(b+x)
を変形しますと、
  y-a=-ab/(x+b)  ・・・・・☆
となりますので、漸近線がx=-b、y=aで中心が(a、-b)の直交双曲線であることが分かります。
 したがって、標準形から導くときは、直交双曲線の標準形から
  X^2/A^2-Y^2/A^2=1
 ⇔X^2-Y^2=A^2   ・・・・・・・・・(A)
から、原点を中心に-45°回転させてから、
  X'=Xcos45°-Ysin45° =(X-Y)/√2
  Y'=Xsin45°+Ycos45° =(X+Y)/√2
これをさらに、中心が (a,-b) となるように、x軸方向に+a、y軸方向に-b平行移動させると、
  x=X'-a, y=Y'+b
求める放物線の形(式☆)が得られることと思います。
 試しに計算してみてください。


>どのような特徴(標準形でいう,長軸や焦点)があるのでしょうか?

 双曲線の場合には主軸はありますが、長軸はありません。(長軸・短軸があるのは楕円の場合です。)
 式y=ax/(b+x)で、a,b>0 であれば、グラフはxy平面の右下と左上にしかありませんので、y=-x+C という直線上に主軸があることが分かることでしょう。(標準形への式変形で確認してみてください。)
 また、焦点は双曲線の場合もあります。
 直角双曲線の標準形(式(A))で、焦点は(A,0),(-A,0)にありますので、標準形への式変形でAが何に対応するか(Aをaとbだけで表す)が分かれば、その焦点の座標を、今度は逆に、x軸方向に-a、y軸方向に+b平行移動させた後、原点を中心に+45°回転されたところに、y=ax/(b+x) の焦点があることが分かることと思います。(計算で確認してみてください。)

>標準形からどのように導けばよいのでしょうか?

>式y=ax/(b+x)
を変形しますと、
  y-a=-ab/(x+b)  ・・・・・☆
となりますので、漸近線がx=-b、y=aで中心が(a、-b)の直交双曲線であることが分かります。
 したがって、標準形から導くときは、直交双曲線の標準形から
  X^2/A^2-Y^2/A^2=1
 ⇔X^2-Y^2=A^2   ・・・・・・・・・(A)
から、原点を中心に-45°回転させてから、
  X'=Xcos45°-Ysin45° =(X-Y)/√2
  Y'=Xsin45°+Ycos45° =(X+Y)/√2
...続きを読む

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q数学C 双曲線について

双曲線の範囲について質問です

焦点がx軸上にあるときとy軸上にあるときの見分け方が分かりません。
慨形を描く際に困っております。

楕円を学んでいるときは、x^2/a^2 + y^2/b^2=1 でb>aのときはy軸上に焦点があると考えていたのですが

双曲線のときはどのように焦点の位置を区別すればよいのでしょうか

よろしくおねがします。

Aベストアンサー

aをx座標、bをy座標とします。

(1)(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1のとき
焦点(±√(a^2+b^2),0)より焦点はx軸上

(2)(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1のとき
焦点(0,±√(a^2+b^2))より焦点はy軸上

つまり、マイナス記号の前にあるものにyが入っていたら焦点はy軸上、xが入っていたら焦点はx軸上と思っておいたらいいかと思います。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報