高校生のものです。
ペル方程式x^2-ny^2=1を満たす整数x、yを求めよという問題があったとします。
具体的に扱うために、n=2にします。
このときx^2-2y^2=1となります。
僕はこれはy=±1/√2を漸近線とする、放物線に見えました。
したがって、この放物線上の格子点を求めればよい。と考えたのですが、このやり方では解は求まらないでしょうか?

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A 回答 (5件)

ペル方程式には、代数的に解くのが多いですが、幾何学的(作図的)に解く方法もあります。



例えば、二つの双曲線
x^2-2y^2=±1
上の格子点で、第一象限にあるものを考えます。
原点Oに近いものから、
A(1,0),B(1,1),C(3,2),D(7,5),E(17,12),…

ここで、△OAB=1/2,△OBC=1/2,△OCD=1/2,△ODE=1/2,…
となっています。
この面積の性質を利用すると、ある種の作図によって、次々、解を表す点が求まります。

なお、格子点を頂点にもつ三角形の面積が1/2ということは、ピックの定理により、その三角形の内部には格子点が存在しないことがわかります。

そのことから、二つの双曲線x^2-2y^2=±1ではさまれた領域(境界は含まない)には、原点以外には格子点が存在しないことがわかります。

ついでに、ディオファンタス方程式ax-by=1(a,bは互いに素)の特殊解を求めるのに代数的に解くのが多いですが、幾何学的(作図的)に解く方法もあります。
http://www.max.hi-ho.ne.jp/shizuka/math/seisuu9. …
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#1です。


>この一般解
括弧[ ]内は添え字を表すものとする。
(x[0],y[0])=(1,0)として
2行2列の行列A=
(3,4)
(2,3)
とおき、t()を転置の記号とすれば
t(x[n],y[n])=A^n*t(1,0) (n≧1)
により、整数の組{x[n],y[n]}を定める。

このとき、n=2の場合のペルの方程式の一般解の
整数の組(x,y)は
(±x[n],±y[n]) (n=0,1,2,3, ... )
で与えられるかと思います。

具体的に求めて見ると以下のようになりますね。
(±1,0), (±3,±2), (±17,±12), (±99,±70), (±577,±408), (±3363,±2378), (±19601,±13860), (±114243,±80782), (±799701,±571215), (±4683963,±3313047), …
(ここで複号は全ての組合せをとるものとする)
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 左辺をふつーに因数分解して


a = (x+(√n)y)
b = (x-(√n)y)
ab = 1
と書いてみると、明らかに、任意の自然数kについて
(a^k )(b^k) = 1
でもある。この(a^k)を(√n)の多項式に展開して
(a^k) = X+(√n)Y (X, Yは(√n)の因子を含まない)
の形に整理したら、(b^k)も
(b^k) = X-(√n)Y
と表せるのは自明。だから、x,yが整数解ならX,Yも整数解になっている…
と、こういう話になるのは方程式の右辺が1であってくれる御蔭なんで、右辺がどんな定数でも、という訳には行きません。で、「双曲線上の格子点」という発想だと、どんな定数でもという訳には行かない、という事情が酌めていないところが弱いかな。
 さて、
(1) どんな整数解もこの格好かというと…
(2) タネになる整数解はどうやって見つけるかというと…
というあたりが一般解の話ですね。高校生向けの詳しい解説が 
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node60. …
にありました。また、 
http://ja.wikipedia.org/wiki/ペル方程式
には右辺が1でない場合の話もちょっと書いてあります。
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>このときx^2-2y^2=1となります。

僕はこれはy=±1/√2を漸近線とする、放物線に見えました。

はっきり言うが、放物線と双曲線との区別も出来ない者が、ペル方程式を理解できるとは思えない。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node61. …

ブラーマグプタの恒等式というのがある。
(x^2-ay^2)*(m^2-an^2)=(xm+ayn)^2ーa(xn+ym)^2 が成立する。a=2とすると、(x、y)、(m、n)が x^2-2y^2=1 の解ならば、(xm+2yn、xn+ym)も解である。

この事からしても、xとyの解は無数にあり、従って、そこから派生する解:(xm+2yn、xn+ym)も無数にあるだろう。
結局、解は無数にあるだろう。

詳細で正確な解説は、大学で整数論を学んだ人に任せるが。。。。

この回答への補足

双曲線ですね。ただの書き間違いです。
質問してる側ですが、そこまで偉そうに言わなくてもいいんじゃないでしょうか?書き間違えぐらい誰にだってあるでしょ?

結局一般解は存在しないのでしょうか?
解が無数にあることは、直感的にわかりますし、ペル方程式と名前があるぐらいだから、一般解もあると思うんですが。

補足日時:2009/05/22 23:00
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> x^2-2y^2=1


これは放物線ではなく双曲線の方程式です。

>y=±1/√2を漸近線とする、
y=±(1/√2)x が漸近線です。

>このやり方では解は求まらないでしょうか?
求まりますよ。

簡単にやっただけで
x=±3のときy=±2
x=±17のときy=±12
x=±99のときy=±70
が見つかりました。

もっと絶対値の大きな(x,y)の組もあると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに結構小さい数から大きな数まで満たす解がたくさんありますね。
ちなみにこの一般解なんかないでしょうか?

お礼日時:2009/05/22 23:27

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