こんにちは!数IIIの質問です。

f(x)=x^2cos1/x  (x≠0)
a (x=0)

この時、f(x)がx=0で連続になるような定数aの値を求めよ。
という問題です。

0≦lim(x→0)|f(x)|=lim(x→0)|x^2cos1/x|≦lim(x→0)x^2=0
よってlim(x→0)|f(x)|=0
∴lim(x→0)f(x)=0
したがって、a=0 □

と、解いていくと解説に書かれてましたが、解答の頭からf(x)に絶対値記号がついている理由がわからないんです。。
問題にはついていなかったのに、なぜ絶対値をつけるのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

A 回答 (1件)

確かにとっつきにくいでしょうね。


答えが分かっていて、そこから逆算したら
最初から絶対値をつけて解答を作るでしょうね。

そんなのはなかなか出来ないので、絶対値なしで考えてみてください。
同じ要領で出来ます。

==============================
-1≦cos(1/x)≦1 なので、
両辺にx^2をかけると、
 -x^2≦x^2 cos(1/x)≦x^2

ここで、lim(x→0)(-x^2)=0, lim(x→0)(x^2)=0
つまり不等式の両端は0に収束する。
なので、間に挟まれた、x^2 cos(1/x)も0に収束する。
つまり、a=0
==============================

という感じです。
私は「挟み撃ちの定理」という名前で習いました。
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この回答へのお礼

おぉぉぉぉ!!そういうことだったんですね!
私もはさみうちの定理習いました!
でもまだまだ使いこなせないので要練習ですね(^_^;)
ありがとうございます!

お礼日時:2009/05/23 20:46

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Q外せる結束バンド

ランケーブルを購入したときに付いていた結束バンドはつめの下に
指で押さるところがあって押さえると外れるこのような結束バンドを購入したいのですが
結束バンドの名前がわかりません。
どなたか名前と購入先を教えてください。
太陽の当たるところに使います。

Aベストアンサー

結束バンド(インシュロック)の外せるタイプの呼び名はメーカーによって多少異なるかもしれませんが、「リピートタイ」や「再結束バンド」と呼ばれています。

屋外で使う場合、紫外線によって劣化してしまうので「耐候性」の物をお使い下さい。

http://www.amazon.co.jp/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%A0%E9%9B%BB%E6%A9%9F-%E3%83%AA%E3%83%94%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%BF%E3%82%A4-%EF%BC%92%EF%BC%95%EF%BC%90%EF%BD%8D%EF%BD%8D%E8%80%90%E5%80%99%E3%83%BB%E9%BB%92-%EF%BC%95%EF%BC%90%E6%9C%AC%E5%85%A5%E3%82%8A/dp/B001Q2HPW2/ref=pd_sim_sbs_k_3

http://www.hellermanntyton.co.jp/product/cabletie/a06_repeat.html

Qf(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)

f(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)の極値を教えてください。

Aベストアンサー

>f(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)の極値を教えてください。

0≦x≦πより、0≦2x≦2π
0≦2x≦πのとき、|sin2x|=sin2xだから、
0≦x≦π/2 …(1)のとき、
f(x)=sin2xcos2x=(1/2)sin4x ……(2)
π<2x≦2πのとき、|sin2x|=-sin2xだから、
π/2<x≦π …(3)のとき、
f(x)=-sin2xcos2x=(-1/2)sin4x ……(4)
(2)より、
f'(x)=(1/2)・4・cos4x=2cos4x
(4)より、
f'(x)=(-1/2)・4・cos4x=-2cos4x
f'(x)=0より、どちらも、cos4x=0
0≦x≦πより、0≦4x≦4πだから、
4x=π/2,3π/2,5π/2,7π/2より、x=π/8,3π/8,5π/8,7π/8
(1)より、(2)では、
0≦x<π/8のとき、f'(x)>0,π/8<x<3π/8のとき、f'(x)<0
3π/8<x≦π/2のとき、f'(x)>0だから、
x=π/8のとき、極大値f(π/8)=1/2,
x=3π/8のとき、極小値f(3π/8)=-1/2
(3)より、(4)では、
同様に増減を調べて、
x=7π/8のとき、極大値f(7π/8)=1/2
x=5π/8のとき、極小値f(5π/8)=-1/2

よって、
極大値1/2(x=π/8,7π/8のとき)
極小値-1/2(x=3π/8,5π/8のとき)

どうでしょうか? 増減表を作って確かめて下さい。

>f(x)=|sin2x|cos2x (0≦x≦π)の極値を教えてください。

0≦x≦πより、0≦2x≦2π
0≦2x≦πのとき、|sin2x|=sin2xだから、
0≦x≦π/2 …(1)のとき、
f(x)=sin2xcos2x=(1/2)sin4x ……(2)
π<2x≦2πのとき、|sin2x|=-sin2xだから、
π/2<x≦π …(3)のとき、
f(x)=-sin2xcos2x=(-1/2)sin4x ……(4)
(2)より、
f'(x)=(1/2)・4・cos4x=2cos4x
(4)より、
f'(x)=(-1/2)・4・cos4x=-2cos4x
f'(x)=...続きを読む

Qつっぱり棒+ワイヤーネット+結束バンドの強さ

写真のように、キッチンで

突っ張り棒とワイヤーネットを結束バンドでくっつけて、収納するところを作ろうと
思っているのですが。

結束バンドって、どんなくらいの強度でしょうか。

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包丁をおいて、フライ返しをおいて、小さいサイズのフライパンをかけたいのです。

この3つのものを支えられるくらいの強度はあるのでしょうか。

結束バンドに、アロンアルファなどの接着剤で強度を高めたりはどうでしょうか。

どなたかアドバイスありましたらよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

バンドはくれぐれもメーカー品を使用して下さい。
↓が大手で結構使用されています。
http://www.hellermanntyton.co.jp/product/cabletie/

強度は強いです。
わからないと思いますが、一番細いものでも人がぶら下がっても
大丈夫です(初期値)
http://s.hellermanntyton.co.jp/dr/info/tech/1111_tec_data.pdf

できたら、耐候性のあるタイプがいいです。
http://www.hellermanntyton.co.jp/product/cabletie/a02_ms/ms_w.html

時間と共にもろくなりますが通常の状態では大丈夫です。
念のため、複数の使用をして下さい。

100均ではだめです。

アロンアルファは不要ですというか接着はしない方がいいです。
ちなみに材料がナイロンのため、接着できる接着剤は限られており
ホームセンタでも売られていません。

そうそう、余分な部分は根元で切りますが、ニッパーが必要です。
(100均でOK)
それと切り口が鋭くなっているので手を切ることがあるので
注意して下さいね。

バンドはくれぐれもメーカー品を使用して下さい。
↓が大手で結構使用されています。
http://www.hellermanntyton.co.jp/product/cabletie/

強度は強いです。
わからないと思いますが、一番細いものでも人がぶら下がっても
大丈夫です(初期値)
http://s.hellermanntyton.co.jp/dr/info/tech/1111_tec_data.pdf

できたら、耐候性のあるタイプがいいです。
http://www.hellermanntyton.co.jp/product/cabletie/a02_ms/ms_w.html

時間と共にもろくなりますが通常の状態では大丈夫です。
念のため、複数の使用をして...続きを読む

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q結束バンド

ちょっとベランダの上げ底大工をしています。
スノコとブロックを結束バンドで固定したいなと思っているのですが、結束バンドって長さには限界がありますか?
メジャーで結束したい長さを測ってみたら、40cmありました。
なので、結束バンドはそれ以上のものが欲しいのですが、ネットで探していても見当たらないようです。
あまりそういう用途では使わないので、そんな長いのはないのでしょうか。
主婦なもので、なるべく簡単に出来るものはないかと考えついたのですが・・・

Aベストアンサー

55cmというものもありますが必要なだけの入手が難しいかも知れません。
=>http://www.hinomotoinc.co.jp/cabletie_c.html

No.1さんの回答のように次々と連接出来ますが繋いだ数だけ頭が目立ちますね。

他の方法としては荷造り結束バンド(黄色が多いです)ならフリーサイズです。
ホームセンターで簡単に買えます。\100ショップにも。

Q【問題】f(x)=|e^x-ax| (0≦x≦1)の最大値が2であると

【問題】f(x)=|e^x-ax| (0≦x≦1)の最大値が2であるとき,正数aの値を求めよ。

微分してみようと思ったのですが…
絶対値記号がついていて…どうしたらいいのかわかりません。。。

これはどうやってとけばいいのでしょうか??

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

f(x)<0とf(x)>0のときに場合わけをして考えましょう
f(x)の範囲が負になる範囲がx<aのとき
f(x)<0のとき(0≦x≦a)
f(x)=|e^x-ax|=-(e^x-ax)=ax-e^x
の最大値をもとめる.そのときのxをx1とすると
f(x1)=-(e^x1-ax1)

f(x)>0のとき(a<x≦1)
f(x)=|e^x-ax|=e^x-ax
の最大値をもとめる.そのときのxをx2とすると
f(x1)=e^x2-ax2

f(x1)とf(x2)の大きさを比べて明らかにどっちかがおおきかったらそっちを選ぶ
そのときのf(x)が2となります

aの値が2種類ある場合もあります

Q結束バンドより耐久性がある物を探しています。

 家の駐車場には元々照明が無かったので、物干しざおにライトを
 付けて、その竿を駐車場に立っているポールに結び付けている状況です。 
その固定に結束バンドを使っているのですが、以外と雨風に弱いので、長持ちしません。
そこで、結束バンドより耐久性のある結ぶ物を探しております。もちろん定期的にチェック・交換はしますが、
 できればホームセンターなどで身近に売っている結束バンドに代わる
 耐久性のある紐のような物をご存じの方がいらっしゃいましたら、教えて下さい。

Aベストアンサー

結束バンドとは、ナイロン製のインシュロックやタイラップと言われているものでしょうか。
ナイロンは水や紫外線で劣化するので屋外での長期使用には向きません。
ステンレス製のホースバンドでは止りませんでしょうか。
ホームセンターによっては結束用の大きなサイズもあります。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Q結束バンドが結束されない

結束バンドがちっとも固定されないのですが、
やり方?みたいなものってありますか?
買った一袋中ほとんどのものが結束してくれません。
かろうじて結束しても何だか緩くてそのうち外れそうな感じです。
結束する相手は針金だったり、キーホルダーだったり色々です。

Aベストアンサー

表裏が逆
対象物に対して適合しないサイズのモノを使用している

その辺だとは思うが、その結束して緩そうな状態の画像でも添付してくれればもっと明確に分かるんじゃないのかな

Qf(x) が |f(x)|≦x^2(xの二乗)であるとき f′(0)

f(x) が |f(x)|≦x^2(xの二乗)であるとき f′(0) について考察せよ。 という問題がわかりません。 だれか教えてください。

Aベストアンサー

まず、
  |f(x)| ≦ x^2
  -x^2 ≦ f(x) ≦ x^2
より、
  f(0) = 0
です。

ここから平均値の定理を用います。
平均値の定理とは、
f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して
  (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
が成り立つ。
ってやつですね。

区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると
  (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c)
  f(x)/x = f'(c)
  (-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x
  -x ≦ f'(c) ≦ x
ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より
  f'(0) = 0


補足、
上に書いたのは[0,x]を考えているのでx>0の場合です。
つまり右極限lim[c→+0]{f'(c)}しか考えていないので、区間[x,0]で考えた場合も同様に証明しといた方がいいかもしれません。
また、平均値の定理を使うためf(x)を[0,x]で微分可能と仮定しています。そもそもこの仮定が成り立つかどうか、成り立たない場合にはどうか、別に考える必要があります。

まず、
  |f(x)| ≦ x^2
  -x^2 ≦ f(x) ≦ x^2
より、
  f(0) = 0
です。

ここから平均値の定理を用います。
平均値の定理とは、
f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して
  (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
が成り立つ。
ってやつですね。

区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると
  (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c)
  f(x)/x = f'(c)
  (-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x
  -x ≦ f'(c) ≦ x
ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より
  f'(0) = 0


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