図とかもかけなくてイメージがわきません。
よろしくお願いします。

「積分を用いて立体の体積を求める問題です。」の質問画像

A 回答 (2件)

式を見て、立体を思い浮かべる必要はありません。


立体を輪切りにして、断面積を求めて、それを積分すれば体積が求まります。

(1) とりあえず、x=一定という面で輪切りにして、その断面積を求めましょう。(xを定数だと思う)
すると、
z=x^2+y^2
z=x+y
で囲まれた部分というのは、xを定数だと思えば、yz平面上の放物線と直線で囲まれた部分の面積ということになります。
求めた断面積をf(x)と書けば、それをx方向に積分した
∫f(x)dx
が求める体積ということになります。積分範囲は、f(x)が0以上になる範囲です。

あるいは、z=一定という断面を考えて(zを定数だと思う)、xy平面上の円と直線とで囲まれる部分の面積を求める、という方法もありますが、この面積を求めるのはちょっとだけ面倒な気がします。(こっちでもできますが)

(2)も同様に、x=一定という平面で輪切りにした断面積を求めて、それを積分します。
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とりあえず


(2)だけ
V=π∫[0,a](b^2/a)xdx=πa(b^2)/2
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