こんにちは。大学学部生1年です。
処理できない問題があるのでご協力いただきたく投稿しました。
なお、今考えている証明を載せておきますので、訂正などしていただけると嬉しいです。(^^;


【問】
下に有界な単調減少列{an}について、{an}が極限αを持つならばan≧αを証明せよ。
∵)∃Mは実数,∀nは自然数;M≦anとする。
  また、αが{an}の極限であることから、
  ∀ε>0,∃Nは自然数,n≧N;|an-α|<εが成り立つ。―(1)
  今、an<αと仮定すると、{an}は単調減少列なので、
  α>an≧an+1≧an+2≧…≧Mとなる。―(2)
  (1)より、an<αのとき、α-an<ε
  また、(2)より、α-an<α-an+1<α-an+2<…となり、
  αが極限であることに矛盾する。
  よって、an≧α                  (証終)

なんか変な気がするんですよね・・・
環境依存文字が多かったため、表記が稚拙なところがあります。すみません。

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A 回答 (3件)

何か難しく考えすぎていませんか。


あるNについて、α<aNとなるようなαが極限となりえないことを示せばよいのです。
ε-N論法で極限にならないことを示すには、あるεについてn>Nなる全てのnに対して|an-α|>=εであることを示せばよい。

α>aNであるとする。ε=α-aNとおくと、n>Nとなる全てのnについて
α-an>=α-aN=εである。これはαが{an}の極限であることに矛盾する。

以上の内容に少し肉付けをすればよい。
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実は中身とは関係なく


「(2)より、α-an<α-an+1<α-an+2<…となり」
は間違ってますね. 不等号の下に等号が必要です.
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>今、an<αと仮定すると、{an}は単調減少列なので、


ここの n と (1) での n が混同されています。

> (1)より、an<αのとき、α-an<ε
ここの εと (1) での εも混同されています。

>なんか変な気がするんですよね・・・
題意が掴めていないためです。
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こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

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ことばでいえば、
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Aベストアンサー

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よって 0≦|a(n+1)-α| < α^n|a1-α|
nを無限にとばすと右辺は0にいくのではさみうちの原理より
O.K.ですね。

(ii)について
an>√3 ですので 
rn< 1/(√(3+√3)+α) (=rとおく)
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(iii)について
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(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
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Aベストアンサー

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(1)
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(3)
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(4)
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(2)
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Aベストアンサー

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|x^(1/3)-a^(1/3)|・(x^(2/3)+x^(1/3)・a^(1/3)+a^(2/3))<(3/4)・a^(2/3)・ε

|x^(1/3)-a^(1/3)|・((x^(1/3)+a^(1/3)/2)^2+(3/4)・a^(2/3))<(3/4)・a^(2/3)・ε

|x^(1/3)-a^(1/3)|・(3/4)・a^(2/3)<(3/4)・a^(2/3)・ε

|x^(1/3)-a^(1/3)|<ε


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