ベクトル空間の問題なのですが,
f:V→Vを線型変換とするとき,Imf^n=Imf^(n+1)を満たすn(≧1)が存在することを示せ。またそのnについてKerf^n=Kerf^(n+1)が成り立つことを示せ。(f^nはfのn回合成変換)
という問題なのですが,全然解けなくて…。
どなたか解説お願いします。

A 回答 (2件)

たぶん,条件が落ちてる.


無限次元ベクトル空間だったらNo.1さんのように
反例ができちゃう.
きっと,「多項式の積分」(積分定数は固定)も反例になる.
たぶん「有限次元」であることは
教科書かなり,講義なりの大前提なんだと思う.

で証明なんだけども,有限次元だと仮定すると
これはそんなに厄介ではない.
以下に証明してみるけども,
実は一箇所ほど論証をごまかしてるところがある.
掲示板で書くと記号が錯綜するのであえて端折ってるけど
本当はきちんと論証しないといけないんだが,
それくらいは自力で.

線型写像f:V->Vに対して
dim V = dim Ker(f)+dim Im(f)
だから,
dim V >= dim Im(f)
f^2:Im(f)->Im(f^2)に対しても同様で
dim Im(f) >= dim Im(f^2)
以下同様にして,
dim V >= dim Im(f) >= dim Im(f^2) >= ・・・ >= 0
と「0以上の整数の広義単調減少列」ができるので,
かならず,0以上の整数nが存在して,
dim V >= dim Im(f) >= dim Im(f^2)
>= ・・・
>= dim Im(f^n) = dim Im(f^(n+1)) = dim Im(f^(n+2)) ・・・
Im(f^k) (k=1,2,・・・)は
Im(f^k)⊃Im(f^(k+1))なので
Im(f^n) = Im(f^(n+1))

このnに対して,f^n:V->Vを考えれば
dim V = dim Ker(f^n) + dim Im(f^(n))
同様にして
dim V = dim Ker(f^(n+1)) + dim Im(f^(n+1))
両辺をひくことで
dim Im(f^n) = dim Im(f^(n+1))
より
dim Ker(f^n) = dim Ker(f^(n+1))
そして,Ker(f^k) (k=1,2,・・・)は
Ker(f^k)⊃Ker(f^(k+1))なので
Ker(f^n) = Ker(f^(n+1))

終わり
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この回答へのお礼

返信遅くなりました。
範囲が有次元実ベクトル空間で,その条件が抜けていました。
申し訳ありません。
無事解決しました。ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/29 16:28

例えば V として実数体 R 上の多項式全体 R[x] を考え、


f : R[x] → R[x] ( a(x) -> x * a(x) )
とすると、f は R ベクトル空間 R[x] 上の線形写像となる。

明らかに Im(f^n) = { a(x) | deg(a) ≧ n } 、Im(f^n) ≠ Im(f^(n+1))

この回答への補足

有次元実ベクトル空間という条件が抜けていました。。。
申し訳ありません。

補足日時:2009/05/29 16:28
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