sin^-1{x/(1+x^2}の微分

次のn階導関数を求めよ。
(1)1/(x+2)
(2)1/(x+2)(x-1)
(3)sin(2x+1)
(4)x^3×sinx
わかるやつだけでいいので教えてください

A 回答 (1件)

sin^-1x(=arcsinx)の微分と合成関数の微分を組み合わせれば解けます。



(1){1/(x+2)}' = 1/(x+2)^2
{1/(x+2)}'' ={1/(x+2)^2}' = 1*2/(x+2)^3
{1/(x+2)}'''={2/(x+2)^3}' = 1*2*3/(x+2)^4
分子はあえて計算しきってません。これでn階微分がどうなるか大方予測できると思います。

(2)1/(x+2)(x-1)=-1/3(1/x+2 - 1/x-1) となるので、後は(1)と同様の考え方です。

(3)sinのを微分してゆくと、
  sin→cos→-sin→-cos→sin→…
 と、4階微分で一周期なので、n=4k、n=4k+1、n=4k+2、n=4k+3で場合分けする必要があります。あと、中身の2x+1により、毎回xの係数の2が
飛び出してくることにも注意してください(実際に何回か微分してみればわかります。)
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