n個のものをランダムに並び替えたときに完全順列になる確率は、nを1ずつ増やしたとき、
nが奇数から偶数に増えるとき:増加
nが偶数から奇数に増えるとき:減少
となりますが、これは直観的にはどうしてでしょうか。
ご回答よろしくお願いします。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8% …

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0の階乗」に関するQ&A: 0の階乗は1?

A 回答 (5件)

ANO.1のコメントを拝見しました。

うーん、そういうことですか。感覚的にワカッタというのは、こりゃもう完全に主観的体験だからなあ。

g[n]=(n-1)(g[n-1]+g[n-2])
がどうして出てくるのか、ひとつの説明をしてみると…
 「n個の鍵をn個の鍵穴に突っ込むけれども、どれ一つとして鍵が鍵穴に合わない」という場合の数を数える話です。まず、n番の鍵をk番(k≠n)の鍵穴に突っ込むことに決める。(kは1~n-1が選べます。)そうすると、n番の鍵穴には残りのどの鍵を突っ込んでも良い訳ですが、
 (1)ここでn番の鍵穴にあえてk番の鍵を突っ込んだとしましょう。そうすると、k番とn番の鍵および鍵穴については話が終わってしまったので、残りのn-2個の鍵と鍵穴の完全順列だけ考えりゃいいからg[n-2]通りある。
 (2)ここでまずn番の鍵穴の番号を「k番」と書き換えてしまう。従ってこの鍵穴にはk番の鍵を突っ込んではいけない。(なので、(1)の場合とは重複しません。)さて、これで1~n-1番の鍵穴に1~n-1番の鍵を突っ込む話になったから、g[n-1]通りある。(もちろん、突っ込み終わったら、「k番」と書き換えた鍵穴の番号を元のn番にもどしておくんです。)
…ということ。でも、この話からは奇数だ偶数だということはなかなか出てきそうにありません。

 そこで、漸化式を通して「g[2]が小さい」ということの影響が伝播していく、という説明にした訳です。
 イーカゲンに言えば、g[2n]が「ほんのほんのちょっと小さめ」になるのは、g[2n-2]が「ちょっと小さめ」で、g[2n-1]は「ほんのちょっと大きめ」で、両者が打ち消し合った結果である、とでも申しましょうか。
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この回答へのお礼

1/e への収束スピードを考えると、完全順列へのなりやすさ・なりにくさの違いは、微々たるものなんですよね。それでも、なんで奇数と偶数で変わるんだろう、と疑問に思ってしまいました。このような変な質問に何度も回答いただき、ありがとうございます。もともとは、小島寛之さんの『数学の遺伝子』という本の中で、Venn図で包除原理を使った説明がなされており、不思議に思って質問させていただきました。
主観的には、まだわかったという感じがしないのですが、納得することにします。ありがとうございました。

※それにしても、極限に e が顔を出すのは不思議ですね。また、1/e という確率もずいぶん高いなあと思ってしまいます。nが増えると、なんとなくですが、シャッフルしたときに偶々不動点ができちゃうケースが多くなりそうな気がします。しかも、収束が速いのも、なんか意外に思えてしまいます。。。

2009/05/25(月) 21:10

お礼日時:2009/05/25 21:12

g[n]=ng[n-1]±1 (±はnが偶数なら+、奇数なら-)


という形に書いたときの±1の部分を、g[n-2]より前の結果を使わずに(使うとn!と同じ形になってしまう)説明できりゃワカッタ!となるんじゃないかと思うんですが、その説明が入り組みすぎても駄目でしょうね、きっと。もう少し考えてみたいので、しばらく締め切らないで頂けると有り難いです。

この回答への補足

だいぶ時間が経ちましたので、締め切ります。自分には結局わからなかったので、あきらめようと思います。ストマック・マンさんには、何度もご回答いただき、ありがとうございました。

2009/07/15(水) 21:31

補足日時:2009/07/15 21:30
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この回答へのお礼

質問は当分の間は締め切らずにおきますので、ご安心(?)ください。むしろ、お手数をおかけしてしまい、すみません。

自分でもいちおう(失礼!)考えてはいるのですが・・・。奇数と偶数の違いは、2で割って1余るかどうかなので、No.1の表記でいう g[1]=0 が効いてくる、ということも考えてみました。ちょこっと( n が小さいとクリティカルに)だけど、とりあえず効いてくる。たとえば、No.2で説明していただいた、(1)のケースが帰納的に「選ばれ」続けた場合、偶数のときは、自然に完全順列ができあがるけど、奇数のときは、g[1]=0 のせいで最後は不動点になってしまう。n が大きいと、(1)のケースが選ばれ続ける確率は小さいので、g[1]=0 の影響はどんどん小さくなる。・・・みたいに考えたりもしたのですが、2つずつのペア同士で互換する場合のみを特別視しているような気がして、なんか胡散臭いんですよね。。。

2009/05/26(火) 20:41

お礼日時:2009/05/26 20:43

いやはや、ANo.3について訂正の訂正です。

とほほ。
p[n] = g[n]/f[n] = p[n-1]+((-1)^n)/f[n]
でした。
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またやっちまいました。

ANo.1を訂正です。
g[1]=1
なんて書いてますけど、0に決まってますね。で、rじゃなくて
p[n] = g[n]/f[n] = p[n]-((-1)^n)/n
となる。これが1/eに収束するんですね。
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完全順列の場合の数をg[n]とし、また普通の順列の場合の数、すなわちnの階乗(n!)をf[n]とすると


g[1]=1, g[2]=1
g[n]=(n-1)(g[n-1]+g[n-2]) (n≧3)
f[1]=1, f[2]=2
f[n]=(n-1)(f[n-1]+f[n-2]) (n≧3)
と書けますから、両者はn=2のときの値だけの違いしかない。で、
r[n] = (f[n]-g[n])/f[n]

r[1]=0
r[n]=r[n-1]+((-1)^n)/(n!)
と書ける。n→∞でr[n]はe^xのテイラー展開(x=-1)になってる訳です。そして、この級数は((-1)^n)の因子があるんで、項をひとつ増やすたびに収束値1/eより大きくなったり小さくなったり交互に振動しながら収束に向かう。
 …というのが、はて、ご質問の確率 p[n] = g[n]/f[n] が振動する直感的説明になってるのかどうか、いや人に依ると思うんですけどね。

この回答への補足

すみません。1つずつ「ずらす」のも完全順列なので、さきほどお礼に書いた「バラバラになる」はあまりに大胆すぎたかもしれません。。。

2009/05/24(日) 12:01

補足日時:2009/05/24 11:47
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この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
たしかに、式の上からは、おっしゃるような説明になると思うのですが、自分にとっては直観的という感じがしないのです。すみません。組み合わせ論的な説明と言ったほうがよかったかもしれません。
完全順列になることを、大胆に「並べ替えた後バラバラになる」ととらえると、なぜnが奇数のときのほうが「バラバラになりにくく」、nが偶数のときのほうが「バラバラになりやすい」のか。また、nを増やしていくとき、(nの範囲を)奇数に限定した場合は、nが大きいほど「バラバラになりやすく」なり、(nの範囲を)偶数に限定した場合は、nが大きいほど「バラバラになりにくく」なるのか。・・・などのシンプルな説明ってないのでしょうか。。。

2009/05/24(日) 10:33

お礼日時:2009/05/24 10:34

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Q数学、確率の問題について!

確率の問題が分からなくて困っております。答えだけでなく解き方まで説明して頂けると幸いです。

問題
PとQがジャンケンをする

Pがグーを出す確率 1/2 パーを出す確率1/4 チョキを出す確率1/3
Qがグーを出す確率1/4 パーを出す確率1/3 チョキを出す確率1/4

問1 2回ジャンケンして、Qがグーで勝つ確率
問2 4回ジャンケンして、Pがパーかチョキであいこ又は勝つ確率

以上、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

問1 ジャンケンして、Qがグーで勝つ確率
 Qがグーを出す確率×Pがチョキを出す確率
問2 ジャンケして、Pがパーかチョキであいこ又は勝つ確率
 Pがパーを出す確率×Qがグーかパーを出す確率
+Pがチョキを出す確率×Qがパーかチョキを出す確率

あい子なら、勝負がつくまで指定された回数までじゃんけんをするとき。
問1 2回までで、ジャンケンして、Qがグーで勝つ確率
問2 4回ジャンケンして、Pがパーかチョキであいこ又は勝つ確率

ならわかるかな。最終回までにグーで勝ったらおしまいだよ。

Q比率と割合の計算方法が分かりません。1:1:1:5%と(1:1:1):5%の違いと計算方法を教えて

比率と割合の計算方法が分かりません。
1:1:1:5%と(1:1:1):5%の違いと計算方法を教えてください

Aベストアンサー

No.2です。「補足」に書かれたことについて。

>1:1:1:5%なら20gと20gと20gと1g

はい、それでよいです。ただし、「普通はそんな書き方はしないが、そんな書き方がされているとしたら、こう解釈するのが適切でしょう」という程度の意味合いです。

>(1:1:1):5%なら20gと20gと20gと3g

いいえ。
No.2に書いたとおり、比には「カッコ」は何の意味もありません。
ですから、

「(1:1:1):5%なら、1:1:1:5%と同じで、20gと20gと20gと1g」

です。「カッコ」の中が「(1:1:1)が足されて 3 になる」などということは絶対にありません。

もし「(1:1:1):5%」と書いてあるなら、「まず最初の3つを20gずつ混ぜて(合計60g)、その後に4つ目を1g混ぜる」程度の意味でしょう。
ただし、これも「普通はそんな書き方はしないが、そんな書き方がされているとしたら、こう解釈するのが適切でしょう」という程度の意味合いです。

 いずれにせよ、「算数に詳しくない人」が書いたことは間違いないので、どういう意味か、どう解釈するのか、書いた本人に聞くのが一番でしょう。

No.2です。「補足」に書かれたことについて。

>1:1:1:5%なら20gと20gと20gと1g

はい、それでよいです。ただし、「普通はそんな書き方はしないが、そんな書き方がされているとしたら、こう解釈するのが適切でしょう」という程度の意味合いです。

>(1:1:1):5%なら20gと20gと20gと3g

いいえ。
No.2に書いたとおり、比には「カッコ」は何の意味もありません。
ですから、

「(1:1:1):5%なら、1:1:1:5%と同じで、20gと20gと20gと1g」

です。「カッコ」の中が「(1:1:1)が足されて 3 になる」などということは絶...続きを読む

Q今授業でやっている確率の問題がわかりません・・・

こんな問題です・・・
20歳の人が60歳以上生存する確率が90%であるとするとき20歳の友人5人についての確率の問題

1.5人とも60歳以上生存する確率
2.5人のうち4人だけが60歳以上生存する確率
3.5人のうち3人以上が60歳まで生存する確率

解説をおねがいします。

Aベストアンサー

友人をA、B、C、D、Eとする。

>1.5人とも60歳以上生存する確率

友人Aが60歳以上生きる確率は90%。

友人Aが60歳以上生きる確率は90%で、その90%のうち、友人Bも60歳以上生きる確率は90%。つまり、90%×90%=81%。

友人A、Bが60歳以上生きる確率は81%で、その81%のうち、友人Cも60歳以上生きる確率は90%。つまり、81%×90%=72.9
%。

同様に友人Eまでやると、90%×90%×90%×90%×90%=59.049%になります。

>2.5人のうち4人だけが60歳以上生存する確率

5人のうち、誰か一人だけ60歳まで生きられない確率になります。

Aだけ60前に死んでしまう確率は、10%×90%×90%×90%×90%=6.561%です。

Bだけ60前に死んでしまう確率は、90%×10%×90%×90%×90%=6.561%です。

Cだけ60前に死んでしまう確率は、90%×90%×10%×90%×90%=6.561%です。

Dだけ60前に死んでしまう確率は、90%×90%×90%×10%×90%=6.561%です。

Eだけ60前に死んでしまう確率は、90%×90%×90%×90%×10%=6.561%です。

全部足した6.561%+6.561%+6.561%+6.561%+6.561%=32.805%が、4人だけ60まで死なない確率です。

>3.5人のうち3人以上が60歳まで生存する確率

3人生きてる確率は90%×90%×90%×10%×10%=0.729%で、5人のうち3人が生き残る組み合わせは10通り。なので0.729×10=7.29%。

4人生きてる確率は90%×90%×90%×90%×10%=6.561%で、5人のうち4人か生き残る組み合わせは5通り。なので6.561×5=32.805%。

5人生きてる確率は59.049%(問題1の答え)

全部足すと、7.29+32.805+59.049=99.144%。

友人をA、B、C、D、Eとする。

>1.5人とも60歳以上生存する確率

友人Aが60歳以上生きる確率は90%。

友人Aが60歳以上生きる確率は90%で、その90%のうち、友人Bも60歳以上生きる確率は90%。つまり、90%×90%=81%。

友人A、Bが60歳以上生きる確率は81%で、その81%のうち、友人Cも60歳以上生きる確率は90%。つまり、81%×90%=72.9
%。

同様に友人Eまでやると、90%×90%×90%×90%×90%=59.049%になります。

>2.5人のうち4人だけが60歳以上生存する確率

5人のうち、誰か一人だけ60歳まで生きられない確率にな...続きを読む

Qmを自然数,nを奇数とするとき,2(1^n+2^n+…+m^n)がm(m+1)で割り切れる

mを自然数,nを奇数とするとき,2(1^n+2^n+…+m^n)が m(m+1)で割り切れることを証明したいのですが、あることに気づく必要があるといわれたのですが、それがどうもよくわかりません。

また、nが偶数のときには、何か別の性質があるのでしょうか?

Aベストアンサー

自然数をmで割った余りで分類する(剰余類)方法が分かっていればさほど難しい問題ではないですね

mが奇数なら自然数nはkを自然数として
n=mk,mk±1,mk±2,…,mk±(m-1)/2
mが偶数なら
n=mk,mk±1,mk±2,…,mk±(m-2)/2,mk+m/2
と表現できることに注意しましょう。


剰余で分類する問題だと、例えば

3で割り切れる数、3で割って1余る数、3で割って2余る数

のように分けることが多い気がしますが、3で割って2余る数を
3k+2=3(k+1)-1 (k=0,1,2,…)
と見れば
3k-1 (k=1,2,3,…)
と表現してもいいな、と分かりますね。
こう見るとnが奇数に限定されている理由も見えてくると思います。

余裕があったら、合同式などについても調べてみるといいかと思います。

Q確率の問題集

場合の数・確率が不得意なので、問題集を買うことにしました。
あまり確率だけに時間をかけたくないので、一冊の問題集だけをやり込むことにしました。
そこで、「ハッとめざめる確率」と「解法の探求・確率」どちらが良いですか。
アドバイスお願いします。

志望は国立難関大の理系です。

Aベストアンサー

おはようございます

「解法の探求」は、より多くの問題に当たるための問題集のように感じます。
確率の基本的な考えを学びたいということであれば、「はっとめざめる確率」のほうがいいのではないかと思います

Qnを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。

高校数学の教科書の数列のところの一番最後の一番難しい章末問題で
nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。
って問題なんですが、とりあえず数学的帰納法で解くんだろうけど全然解けそうにないです。
月曜日までにやってこないとやばいので、だれか助けてください!!

Aベストアンサー

因数分解すると
n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
=n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}/30
n、n+1のどちらかは必ず2の倍数

n,n+1のどちらも3の倍数でないのは
n=3k+1のときで(kは整数)
2n+1=6k+2+1=6k+3=3(2k+1)
なので、このとき、(2n+1)は3の倍数。
結局、n(n+1)(2n+1)は6の倍数になる。
また、
n=5k+m(kは整数、m=0,1,2,3,4)
とおけば
3n(n+1)-1=15k(5k+2m+1)+3m^2+3m-1
m=0のとき
n=5k
m=1のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+3)+5
m=2のとき
2n+1=10n+4+1=5(2n+2)
m=3のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+7)+35
m=4のとき
n+1=5k+4+1=5(k+1)
となり、必ず5の因数を含む。
したがって、
n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}
は30の倍数となる。

Q条件付き確率の問題です。 全部で20本、当たりが五本入っています。A、Bの順番で引く時、Aが外れて

条件付き確率の問題です。

全部で20本、当たりが五本入っています。A、Bの順番で引く時、Aが外れて、Bが外れる確率、さらにBが当たる確率はいくらですか
という問題です。

さらに当たる確率の方のやり方がわかりません。
解説を無くしてしまったので教えてください

Aベストアンサー

>さらに当たる確率の方のやり方がわかりません。

この確率と云う言葉は単独でBが「当り」又は「はずれ」を引く確率と考えて良いですか。

20本中5本が「当り」ですから、15本が「はずれ」です。
始めにAが「はずれ」を引く確率は 15/20=3/4 です。
次にBも「はずれ」を引く確率は 14/19 です。
(残りは19本になりますし、「はずれ」は14本になりましたから。)
この時Bが「当り」」を引く確率は 5/19 です。
(残りは19本になりますし、「当り」は5本のままですから。)

>Aが外れて、Bが当たり、さらにBが当たる確率です

この文章が良く分らないのですが、
「さらに」と云う事は2回目の試行ですね。
2回目のAの結果で答えは変わります。
「当り」の確率を求めるには、全部のくじの本数を分母にして、
残りの「当り」の本数を分子にすれば、求められます。

反対に、「はずれ」の確率を求めるには、全部のくじの本数を分母にして、
残りの「はずれ」の本数を分子にすれば、求められます。

処で、あなたは何年生ですか。
「Aが外れて、Bが当る事を一セットとして確立を求める。」と云う問題ならば
夫々の確率を掛け合わせたものになります。

>さらに当たる確率の方のやり方がわかりません。

この確率と云う言葉は単独でBが「当り」又は「はずれ」を引く確率と考えて良いですか。

20本中5本が「当り」ですから、15本が「はずれ」です。
始めにAが「はずれ」を引く確率は 15/20=3/4 です。
次にBも「はずれ」を引く確率は 14/19 です。
(残りは19本になりますし、「はずれ」は14本になりましたから。)
この時Bが「当り」」を引く確率は 5/19 です。
(残りは19本になりますし、「当り」は5本のままですから。)

>Aが外れて...続きを読む

Q【奇数+偶数=奇数の証明】 これって間違いですか?

『奇数+偶数=奇数』の証明です。これは間違いでしょうか?

nを自然数とすると、偶数は2n、奇数は2n+1で表せるから、
2n+(2n+1)=4n+1
nは自然数だから、4nは偶数である。
よって4n+1は奇数となり、奇数+偶数=奇数である。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

これでは100点をあげられないなあ。
> nを自然数とすると、偶数は2n、奇数は2n+1で表せるから、
ここでは一般の偶数と奇数を考えているのだから,これではまずい。どうして偶数よりも1だけ大きい奇数しか考えないのか?

Q確率の問題で

問題自体はさほど難しい問題ではないのですが、解説がどうなのか?と思ったので質問します。

A,B,Cの3人が試合をする。まず、2人が対戦して、買った方が残りの1人と対戦する。これを繰り返して、2連勝した人が優勝する。AがB,Cに勝つ確率をp、qとし、BがCに勝つ確率を1/2とする。次の確率を求めよ。
ただし、0<p<1,0<q<1とする。
(1) 第1戦にAとBが対戦し、Aが勝った場合にAが優勝する確率


この問題の解説では、「Aが第1戦に勝ったもとでAが(最終的に)優勝する確率」をPとおいて求めています。
Pを計算すると、P=2q/(2-p+pq)となります。ここまではいいのですが、この後、
Aが第1戦に勝って優勝する確率は
p*P=2pq/(2-p+pq)
として、これを答えとしています。

もし、問題が「・・・Aが勝って、Aが優勝する確率」とあるなら、何も疑問に思うことはないのですが、問題では「・・・Aが勝った場合に、Aが優勝する確率」とあるので、第1戦でAが勝ったという条件で、Aが優勝する確率を求めればいいので、
答えは、P=2q/(2-p+pq)
ではないかと思うのです。


第1戦にAが確率pをかける必要はあるのでしょうか?

問題自体はさほど難しい問題ではないのですが、解説がどうなのか?と思ったので質問します。

A,B,Cの3人が試合をする。まず、2人が対戦して、買った方が残りの1人と対戦する。これを繰り返して、2連勝した人が優勝する。AがB,Cに勝つ確率をp、qとし、BがCに勝つ確率を1/2とする。次の確率を求めよ。
ただし、0<p<1,0<q<1とする。
(1) 第1戦にAとBが対戦し、Aが勝った場合にAが優勝する確率


この問題の解説では、「Aが第1戦に勝ったもとでAが(最終的に)優勝する確率」をPとおいて...続きを読む

Aベストアンサー

質問者の方の解釈が正しいですね。
条件付確率を要求している問題と解釈すべきでしょう。

こういう問題が入試のような一発勝負に出て、正解を不正解として採点されちゃあたまらないですね。

そういうあいまいな問題に対しては、解答の冒頭で、問題をどのように解釈したかを明記しておくのが自衛策として望ましいですね。

ただし、日本語で「・・・して、・・・」という場合の「て」には、「・・・すると同時に」という意味が隠されている場合もありますよね。出題者に好意的に解釈すると、「初戦で勝つと同時にではなくて・・・」という意味を込めたかったんじゃあないでしょうか。

Q漸化式の確率の問題では、P[n+1]とP[n]の関係式を解くときに、例えばP[n]が偶数になる確率だ

漸化式の確率の問題では、P[n+1]とP[n]の関係式を解くときに、例えばP[n]が偶数になる確率だとしたら、なぜP[n+1]もn+1回目に偶数になる確率と置くんですか?

Aベストアンサー

まわりくどい説明になりますが、
通常、事象Aが起こる確率をP[A]と表しますね。
ここで、事象Aを「n回目に偶数になる」としたときの様に、試行回数目で表した方がよい場合、「n回目に偶数になる確率をP[n]」と回数目の数nで表した方がわかりやすいですよね?
ですから、n+1回目の確率もP[n+1]と表現できる(している?)のです。
通常、「偶数になる確率」のように、何回目だろうとその確率は変わらない場合はP[n]=P[n+1]となっています。
おそらく質問者さんが腑に落ちないのは、
「n回連続」の様にn回目とn+1回目が等しくない場合でもいいの?
ということだと思いますが、別に構いませんP[n]とP[n+1]が異なるだけです。


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