x^m/(x^2+A) もしくは 1/t(A/t-t)^m の積分のとき方と、

x=tanθ のとき cosθ と sinθ と sin4θ のxを使った表し方を教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

>x^m/(x^2+A)


ヒントだけ
Aの正負ゼロによって場合分けが必要です。
分子のmの偶数・奇数によって場合分けする。
mが偶数のときはx=tan(t)と置換積分を使う。

> 1/t(A/t-t)^m
分母の範囲が分かるように括弧( )で括って表すこと。

後半について
単位円または直角三角形を書いて考えれば
cosθ=1/√(1+x^2),sinθ=x/√(1+x^2)
sin(4θ)=2sin(2θ)cos(2θ)=4sinθcosθ{cos^2(θ)-sin^2(θ)}
に上のsinθ,cosθの式を代入して式を整理して下さい。

この回答への補足

すみません、
1/[t(A/t-t)]^m です。

補足日時:2009/05/24 01:42
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
補足間違えました、
1/[t(A/t-t)^m]です。

お礼日時:2009/05/24 01:47

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Qx^x^x^x^x^x^・・・・・^x  の一般的な表し方

タイトル通りになってしまいますが、

x^x^x^x^x^x^・・・・・・^x (xはn個ある)

を一般的に表すことができる式というのはあるものなのでしょうか?

grapesで
y=x
y=x^x
y=x^x^x
y=x^x^x^x
 ・
 ・
 ・

のグラフを描いてみましたところ、どうやらnが偶数か奇数かによって2種類のグラフに近づいているように見えたのです。どなたか一般的な記述の仕方をご存知の方、宜しくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定形の極限が現れるわけです。
数学的帰納法とたとえばlogを取って極限計算をされてみたらよいでしょう。

さて問題になっている、x^(x^x)などの表記ですが、
これにはクヌースのタワー表記(1976)というものが知られています。
たとえば
x^(x^x)=x↑↑3
x^(x^(x^(x^(x^x))))=x↑↑6
などと表示します。参考URL(wiki)などをごらんください。
wikiによるとx^^3や、x^^6などとも表示するようです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定...続きを読む

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

積分公式よりS=~



積分公式は教科書に載っていないので、こういう使い方が受験に通じるのか不安です。回答お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「積分公式」ってなんのことでしょうか?
それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
すでに、ここの質問でも通用していないくらいですから。

単に積分の計算であれば、とくに明記せずに用いてもいいと思います。
この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

Q(2)についての質問です。2(sinθ-cosθ)-(sin^2θ-cos^2θ)=2(sin

(2)についての質問です。

2(sinθ-cosθ)-(sin^2θ-cos^2θ)
=2(sinθ-cosθ)-(sinθ-cosθ)
×(sinθ+cosθ)
=(sinθ-cosθ){2-(sinθ+cosθ)}

この部分の展開がわかりません。
2(sinθ-cosθ)…… の所の説明をお願いします。拙い文章ですみません。

Aベストアンサー

sinθ=X, cosθ=Y とおくと
 X^2 - Y^2 = (X +Y)(X - Y)
はよいですね?

元の式は、
 2( X - Y ) - ( X^2 - Y^2 )
なので
 2( X - Y ) - ( X^2 - Y^2 )
= 2( X - Y ) - (X +Y)(X - Y)
= (X - Y) [ 2 - (X +Y) ]

ということです。

Q分点座標が±0.5のGauss-Legendre積分公式を知りませんか。

高精度化が必要な数値計算をやっています。
特に、数値積分の高精度化が必要なため、Gauss-Legendre積分公式の使用を考えています。
ただし、解く方程式が積分方程式であるなどの理由からそのままでは使用できません。
使用するためには、Gauss-Legendre積分公式の分点座標が区間の中心である必要があります。
例えば、分点数が2の場合、通常は座標x=±0.57735...重みw=1ですが、これを座標x=±0.5とできるような積分公式はないでしょうか?

Aベストアンサー

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の多項式で近似できるf(x)を扱う場合に旨く行きます。

 さて、ご質問は、おそらく積分範囲 x=-1~1に対してガウス・ルジャンドルの数値積分を使いたいけれど、次数を2にして、分点、すなわちサンプリングする点を±0.5だけにしたい、という注文です。たぶん、±0.5における被積分関数f(x)の値なら簡単に求められる、というのでしょう。
 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
dx/dt = g'(t)
の積を被積分関数としてt=-1~1について積分することになります。この場合、被積分関数 f(g(t)) g'(t) がtの2次多項式で近似できるんでないと、2次のガウス・ルジャンドル法を使って精度が出るという保証はありません。
 高精度の数値積分をやりたいと仰っている割に、f(x)が高々低次の多項式で近似してしまえるんだったら、何もガウス・ルジャンドル法に拘る必要はないんで、例えばニュートン・コーツ型の数値積分、すなわち分点を等間隔に取る方法でも十分じゃないの?と思うんですが、どうなんでしょうね。

 或いは分点の数をもっと増やして良い、というのだったら、代わりに例えば-1~-0.5, -0.5~0.5, 0.5~1の3つの区間に分けてそれぞれ積分するのでも良い。被積分関数の傾きが急な部分でサンプリングを細かくしてやるというのも精度が出ますし、その代わりに適当な変数変換をして等間隔サンプリングしたり、ガウス・ルジャンドル法を使ったり…いろんな処方が考えられます。

 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の...続きを読む

Qx^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

宜しくお願い致します。

4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、 
(*)をtで表すと?
という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 ...続きを読む

Q数学II「微分・積分」で面積を求める公式

6分の1の公式や3分の1の公式みたいに、積分を利用せずに面積を求められる公式って他にありませんか?

Aベストアンサー

(1)や(2)は高校数学のレベルで十分理解できると思います。
これらは,数値積分と呼ばれるもので,近似的に積分(求積)を実現しています。
参考になれば良いのですが。

(1)台形法
(2)シンプソン法
(3)ルンゲ・クッタ法

Qcos3θ+sin2θ+cosθ>0をどう変形すればcosθ(2sin

cos3θ+sin2θ+cosθ>0をどう変形すればcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0になりますか?

Aベストアンサー

・まずcos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ=cosθ×{4(cosθ)^2-3}となります。(※)

・次に、sin2θ=2sinθcosθ(2倍角の公式)。以上から

・cos3θ+sin2θ+cosθ

=cosθ{4(cosθ)^2-3}+2sinθcosθ+cosθ

=cosθ{4(cosθ)^2-3+2sinθ+1} ここで、(cosθ)^2=1-(sinθ)^2を用いて整理すると、

=cosθ{-4(sinθ)^2+2sinθ+2}

=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0となり、

目的のcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0が得られます。

※これは「3倍角の公式」と言われる公式で、暗記で覚えてしまう方法もありますが、納得のいかない人は3θ=2θ+θであることを用いて三角関数の加法定理で自分で導き出すこともできますよ(余談ですが僕は覚えられないのでそうしてます。)

・参考
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3

Q積分の公式の導出について

積分の公式の導出について

∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1))
なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ax+b=s とおくと ds/dx=a つまり dx=ds/a
従って 与式=∫s^n/a ds
あとは積分してsを元に戻すだけです。

Qsin^2θ-2cos^2θ=1/2cosθ の解答求む

現在受験勉強をしております。
問題を解いていてわからなかったので投稿しました。

【問題】
sin^2θ-2cos^2θ=1/2cosθ
を満たし、 -90°<θ<90°となる範囲にあるのは
θ=【ア】° またはθ=【イ】°である。


という問題の解答がわかりません。
解答だけでもいいのでアンサーをお願いしますm__m

途中の式が書いてあるとうれしいです^^

Aベストアンサー

sin^2θ-2cos^2θ=1/2cosθ

sin^2θ=1-cos^2θなので
1-3cos^2θ=1/2cosθ
両辺を2倍して移項すると
6cos^2θ+cosθ-2=0

因数分解してやると
(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0

ここで
-90°<θ<90°
のとき
0<cosθなので


cosθ=1/2
θ=±60°ですね


人気Q&Aランキング

おすすめ情報