Aをn次正方行列、Iをn次単位行列とし、

f(λ)=det(λI-A)

とおく。αが方程式f(λ)=0の単根であるとき、

rank(αI-A)=n-1

であることを示せ。

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

αに対応するAの固有空間の次元がmだったとして、


この固有空間の基底を含むようにAを座標変換すれば、固有多項式は
f(λ)=det(λI-A)=(λ-α)^m Q(λ)
の形にかける。もしαが単根なら、m>1になることはできないため、m=1でなくてはならない。
mはKer(αI-A)の次元だから、次元定理から、
rank(αI-A)= n - m = n -1
になる。
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> No.2


寝ボケてた。Aが正則である必要はない。忘れてくれ。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

αがf(λ)=0の根であることから、
|αI-A|=0
となるので、行列αI-Aは正則ではないです。

正則であればrankがnになりますが、αI-Aは正則でないのでrank(αI-A)=nとなることはないということまではわかりました。

しかしn-1になる理由がわかりません。

補足日時:2009/05/24 02:19
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あー、あと、


Aは「正則な」n次正方行列という条件が必要じゃないかな。

その条件が抜けると、rankは「たかだかn-1」としか言えない。
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うん、で、


あなたはその問題をどんな風に解こうとしたのかな?

ヒント:
 因数分解(代数学の基本定理)、対角化
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