Aをn次正方行列、Iをn次単位行列とし、

f(λ)=det(λI-A)

とおく。αが方程式f(λ)=0の単根であるとき、

rank(αI-A)=n-1

であることを示せ。

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

αに対応するAの固有空間の次元がmだったとして、


この固有空間の基底を含むようにAを座標変換すれば、固有多項式は
f(λ)=det(λI-A)=(λ-α)^m Q(λ)
の形にかける。もしαが単根なら、m>1になることはできないため、m=1でなくてはならない。
mはKer(αI-A)の次元だから、次元定理から、
rank(αI-A)= n - m = n -1
になる。
    • good
    • 0

> No.2


寝ボケてた。Aが正則である必要はない。忘れてくれ。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

αがf(λ)=0の根であることから、
|αI-A|=0
となるので、行列αI-Aは正則ではないです。

正則であればrankがnになりますが、αI-Aは正則でないのでrank(αI-A)=nとなることはないということまではわかりました。

しかしn-1になる理由がわかりません。

補足日時:2009/05/24 02:19
    • good
    • 0

あー、あと、


Aは「正則な」n次正方行列という条件が必要じゃないかな。

その条件が抜けると、rankは「たかだかn-1」としか言えない。
    • good
    • 0

うん、で、


あなたはその問題をどんな風に解こうとしたのかな?

ヒント:
 因数分解(代数学の基本定理)、対角化
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

  • A     

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q間を楽しむとは?日本人の独特の概念であるまをたのしむってどういうことなんでしょうか?

間を楽しむとは?

日本人の独特の概念であるまをたのしむってどういうことなんでしょうか?

Aベストアンサー

余韻だとかのはなしですか?そんなことないですよ
クラッシックで曲が終わってまだ弦音が残ってるのに拍手するのは日本人が多いです
欧米のコメディ映画だってきちんと間をとって(計算して)構成してます
演説だってヒトラーの頃から間を取って聴衆の反応見ながらやってます

Q行列の証明です Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいた

行列の証明です
Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいたらお願いします!

Aベストアンサー

左辺がA^nの逆行列で有ることを示せば良い。

正則行列Bに対して異なる逆行列C, Dが存在すると
C=CE=CBD=ED=D で矛盾。従ってある正則行列に対して
その逆行列は1つしかない。

A^n(A^(-1))^n=A^(n-1)AA^(-1)(A^(-1))^(n-1)=
A^(n-1)(A^(-1))^(n-1)=・・・=A^2A^(-2)=AA^(-1)=E

なので (A^(-1))^nはA^nの逆行列 つまり (A^n)^(-1)

Qアクセサリーですが 再入荷なし限定品】鷹神ネクベトの魔冠(たかがみねくべとのまかんむりはどんな効果あ

アクセサリーですが
再入荷なし限定品】鷹神ネクベトの魔冠(たかがみねくべとのまかんむりはどんな効果ありますか?
知ってる人いますか?

Aベストアンサー

何の効果もありません

オタクだけです、効果が有るのは

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q中学2年生です。 学校に行きたくありまけん。 ここ3日間ほど休んでいます。別にいじめられてる訳でもな

中学2年生です。
学校に行きたくありまけん。
ここ3日間ほど休んでいます。別にいじめられてる訳でもないのですが行きたくありません。
思いあたるのが部活です。私はテニス部にはいっていて、いまは、2年の4人だけです。なので1人でも休むとみんなに迷惑をかけてしまいます。
ほんとに体調が悪くて休んだときでも、好きでそうなったわけじゃないのに「まじで体調管理しっかひしてー笑笑」と言ってくる子がいます。笑っているけど内心笑ってません。その子はちょっと冗談がきついとこがあってその子のせいでテニス部をやめちゃった子がいるし、不登校の子が2人います。
でもその子とは同じペアだし、仲が良い方です。私は3人グループで、もう一人のこもテニス部です。
私が休んだりしたら2人で悪口言ってるんじゃないかととても不安になります。部活という言葉にとてもプレッシャーを感じ、締め付けられてる感じがします。私はどうしたらいいんでしょうか?いまとてもつらいです。

長文失礼しました。ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

とてもナイ-ブなお悩みですね。
貴女は、将来どうしていこうか考えていますか?
学校に行きたくない理由は
部活にあるのでは?
貴女は傷ついてしまったのではないですか?

また、親御さんは
学校に行かない事を
何とおっしゃってるのでしょうか?
私の息子も部活の悩みがきっかけで
中学1年後半~中学2年まで
学校に行けない状態で
でも将来の為中学3年は
頑張って登校し
私立ですが、無事入学しました。
貴女に明確な夢があるのであれば
部活を辞めて、学校に
行くのがベストだと思いますが
明確に行きたい高校など
ない場合
気持ちが落ち着くまで
おうちにいたらどうですか?
イジメがないのは幸いかと
思います。
まず貴女は今後どうして行きたいか
考えてみては如何ですか?

QA,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-

A,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-B|を証明したいのですが。

Aベストアンサー

最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、
次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
|A  B|
|B  A|
のことを言っているようですね。それなら、値は
|A+B||A-B|
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
|A  B|
|B  A|
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。

Qあ・げ・ま・ん

「あげまん」の女性とは、
性格とか外見でいうと、どんなタイプの人なんですか?

Aベストアンサー

「自分と相性のいい相手と結婚すると自然とお金もついてくる」って占いのオヤジが言ってました。つまりどんな性悪女でもどんな不細工でも相性が良ければ、アゲマンなのかもしれないですよ。

Q{s_n}をf∈L^+(a,b)の定義関数列とする時,lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ

L^+(a,b) を区間(a,b)上の非負可積分関数全体の集合とする。

f∈L^+(a,b)に対し,定義関数列{s_n}が存在する。その時,
lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ。
(この∫は単関数のルベーグ積分)

という問題なのですがどのように証明していいのか分かりません。
定義関数列の定義からs_1(x)≦s_2(x)≦…≦f(x)
でs_n(x)はf(x)に近づいていくので0となる事は直観では分かるのですが…。

どのようにすればいいのでしょう?

Aベストアンサー

つまり
s_n(x)の存在を示して
f(x)=lim[n→∞]∫[a..b](s_n(x))dx
が成立するのを言えばいいのではないでしょうか。

P27,28に書いてあります。

参考URL:http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf

Qこれからは高濃度除菌アルコール!っていうCMを見ましたがアルコールに高濃度ってあるんですか?今ま

これからは高濃度除菌アルコール!っていうCMを見ましたがアルコールに高濃度ってあるんですか?

今までの除菌ってアルコール濃度が100%じゃなかったってこと?

高濃度除菌アルコールって濃度が何度のことを言ってるんでしょう?

多分、ジョンソンアンドジョンソンのつけおき卒業!
これからはスプレーするだけ!
高濃度アルコールで99.99%強力除菌!カビキラーアルコール除菌キッチン用だと思います。
http://www.johnson.co.jp/products/kabikiller_jyokin_alcohol.html

なんですか?高濃度アルコールって?

Aベストアンサー

消毒用アルコールはわざと濃度を下げてあります。
以下は Wikipedia からの引用です。

>高濃度のアルコールでは脱水作用により細胞膜など外膜に対して
>浸透圧による外圧が加わり、溶菌作用を減弱させるように作用する。
>したがってエタノールでは76.9 — 81.4 vol%程度に精製水を加えた
>エタノールが消毒用として最も強い作用をあらわすことになる

ただリンクを張られているような製品であれば、もともと濡れているものに吹きかけるために100%の濃度のアルコールの方が殺菌率が高いということはあり得るでしょうね。
もっとも薄まりすぎてしまう場合もあるでしょう。本来は乾燥したものに80%程度の濃度のものを使用するのが正しい方法だといえると思います。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。


人気Q&Aランキング