1から99までのすべての奇数の積の下3けたはいくつになりますか?

また、その説明を中学生にしなければならないのですが…。


よろしくお願いいたします。

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A 回答 (6件)

腕力で解くのも1つかもしれません。

。。

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)・・・★
{x=0,10,20,30,40,50,60,70,80,90}
の下3桁を考えましょう。

●x^3以上の次数は、下3桁が全て零なので、考えない。
●x^2の係数は、
・ 5×○×○と表現できる係数(*)の和と、
・ 5以外の数×○×○と表現できる係数(**)の和の2通りで考える。
(*)については、2つの○の欄には{1,3,7,9}から2つ選ぶことになるが、6通りで偶数個ある。従って(*)の和の下1桁は零。
(**)については、5以外の数を{1,3,7,9}から3つ選ぶことになるが、それは、
1・3・7
1・3・9
1・7・9
3・7・9
の4通りあり、その積の和の下1桁は零になる。
→ x^2の係数も考えなくて良い。
●xの係数は、…<省略>…1689である。

これにより★の式の下3桁は、
1689・x + 945 の下3桁に他ならない。
x=0⇒945、x=10⇒835、x=20⇒725、x=30⇒615、x=40⇒505、x=50⇒395、x=60⇒285、x=70⇒175、x=80⇒65、x=90⇒955

これらを4桁以上を排除しながら掛けていけば、875が得られます。

あ~、しんど。。。
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積をX、下3桁だけで作った3桁の数をY(これが求める数です)、下3桁を000で置き換えた数をZとします。

X-Y=Zで、Zは1000の倍数となります。

1000を素因数分解すると2^3 * 5^3です。

1から99までの奇数には、5、15、25、35……がありますから、Xは5^3=125の倍数です。1000の倍数であるZも125の倍数ですから、Y=X-Zも125の倍数ということになり、125、375、625、875が候補となります(125の倍数ですが、偶数は除かれます)。

また、1000の倍数であるZは2^3=8で割り切れます。従って、Xを8で割った余りとYを8で割った余りは等しくなります。
X=1*3*5*7*9*11*……*99ですが、5*7*9*11を(8-3)*(8-1)*(8+1)*(8+3)のように考えると、13以降も4つ区切りで(8n-3)*(8n-1)*(8n+1)*(8n+3)と表すことが出来て、これを展開してまとめると(8の倍数)+9=(8の倍数)+1となります(展開したときに8を因数に持つ項は全て8の倍数になる)。
Xは全部で50個の奇数を掛け合わせていますから、1*3を除いた5以降を4つずつに区切ると93*95*97*99でぴったり終わります。
従って、X=1*3*((8の倍数)+1)*((8の倍数)+1)*……*((8の倍数)+1)となりますが、1*3以外のところを展開してまとめると(8の倍数)+1になるので、結局、X=3*((8の倍数)+1)=3*(8の倍数)+3となりますから、これを8で割ると余りは3ということになります。
Xを8で割ると3余るのでYを8で割っても3余るはずで、上の候補からさがすとY=875であるとわかります。

#4さんの回答とほとんど同じですが、後半を中学生に説明するにはこのほうが納得してもらいやすいかと思って書きました。
しかし、こんなの高校受験で出来るんでしょうか?
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やさしく説明しようとして、何度も間違えてしまいました。


中学生向きではないですが、基本的なアイデアはこうです。
1000を、最大公約数が1になるような数の積に分解する。
1000=8・125
次に、A=1・3・5・7・9・11・13・15・・・99
を125および、8で割ったあまりをそれぞれ求める。
A≡0 (mod 125)
A≡3 (mod 8)
あまりがこれと同じになる数Xのうち、1000より小さいものを求める。
X≡0 (mod 125)
X≡3 (mod 8)
つまり、Xは125の倍数で、8で割ると3余るもの、すなわち875が答えになります。

中国剰余定理というのを使ったのですが、もっと簡単な方法があるかもしれません。

Aを8で割ったあまりの求め方は、次のようにします。
1・3・5・7=105≡1 (mod 8)
9・11・13・15≡1・3・5・7≡1 (mod 8)
17・19・21・23≡1・3・5・7≡1 (mod 8)
・・・
89・91・93・95≡1・3・5・7≡1 (mod 8)
であることから、4つかけるごとに1にもどることがわかります。最後は、
97・99≡1・3≡3 (mod 8)
よって、A≡3 (mod 8)
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だめだ。

#1も#2も間違いです。実際計算すると、875でした。
別の方の回答に期待します。
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おっと間違えた。


5^3=125でしたね。
だから、下3桁の数は125。
もう一つ、Aは2で割り切れないことも、いっておかないといけませんでしたね。
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A=1・3・5・7・9・11・13・15・・・99


の下3桁の数とは、Aを1000で割った余りのことである点に注目する。
Aは5^3で割り切れる。
1000も5^3で割り切れる。
だから、余りの数も5^3=625で割り切れる。
1000より小さい数のうち、625で割り切れるものは625自身しかない。
だから、Aの下3桁の数は625になる。
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