Im = ∫[(x^m)(cosx)]dx
= (x^m)sinx + m [x^(m-1)] cosx - m(m-1) * I(m-2)
となるのですが、これ以上計算することは出来ますか?
またどうやればいいですか、やり方を教えてください。

A 回答 (1件)

 計算可能です。



 まず、m=4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3 の4通りで場合分けします。
 次に、得られた漸化式に対し、両辺に -m!/(m-2)! を掛けたものを
左辺が「±m!/2! I(2)=」または「±m!/3! I(3)=」となるまで書き下して、すべて足し合わせてください。(ただし、複合は上記のmの場合分けによって符号が異なることを表しています。)
 すると、左辺には「I(m)=」だけとなり、右辺にsin(x)の項と、cos(x)の項、そしてI(0)=sin(x)+C またはI(1)=cos(x)+x sin(x)+C の項が残りますので、これらを Σを使ってまとめれば 一般項が得られると思います。

 ちなみに、一般項は次のようになると思います。

  I(2k)=cos(x) Σ[i=1→k] (-1)^(k-i) (2k)!/(2i-1)! x^(2i-1) + sin(x) Σ[i=0→k] (-1)^(k-i) (2k)!/(2i)! x^(2i) + C (k≧1)

  I(2k+1)=cos(x) Σ[i=0→k] (-1)^(k-i) (2k+1)!/(2i)! x^(2i) + sin(x) Σ[i=0→k] (-1)^(k-i) (2k+1)!/(2i+1)! x^(2i+1) +C  (k≧0)

 なお、この一般項は、m/2を整数値にする関数を使えば、さらにまとめることができると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/25 14:33

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