x を3 で割って2 余り、 5 で割って4 余り、 7 で割って4 余る数とする。このとき、 x を105 = 3・5・7 で割った余りを求めてみよう。今、
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7,
b1 = 2, b2 = 4, b3 = 4 である。
したがって、N = 105, N1 = 35, N2 = 21, N3 = 15 で、
これらからti を求めると、t1 = 2, t2 = 1, t3 = 1 である。
よって、
y = 2・35・2 + 4・21・1 + 4・15・1
= 140 + 84 + 60 = 284
したがって284 を105 で割って、 74 が余りである。
この問題についてN1~N3とt1~t3をどのように求めているのかがわかりません。よろしければ教えてください。
A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
なかなか巧妙な方法だ。
xとyを題意を満たす一般的数とすると、x-yは3でも、5でも、7でも割り切れるから、x-y=105n つまり x=y+105n 。
この形から、xを105で割った時のあまりは、yを105で割った時のあまりに等しい。
そこで、特別にこのようなyを一つ見つければ、その数で余りを求めると良い。
y=3*5*a+3*7*b+5*7*c (a、b、cは0以上の整数)と置く。← これが、巧妙。
yを3で割る時の余りは、35=3*11+2であるから、2cを割る時のあまりに等しく、それで余りが2になるから、2c=2 つまり c=1.
3*7=5*4+1であるから、b=3とすると、yを5で割ると余りは4.
3*5=7*2+1であるから、a=4とすると、yを7で割ると余りは4.
従って、y=3*5*a+3*7*b+5*7*c=y=3*5*4+3*7*4+5*7*1=60+84+35=179=105+74.
考えられる方法は、他に2つほどあるが、その中で不定方程式を使う解を紹介する。
求める数をNとし、N=3a+2=5b+4=7c+4 、(a、b、cは0以上の整数)。
3a+2=5b+4より、nを非負の整数として不定方程式を解くと、a=5n+4、b=3n+2. ‥‥(1)
3a+2=7c+4 より、kを非負の整数として不定方程式を解くと、a=7k+3、c=3k+1. ‥‥(2)
(1)と(2)から、a=5n+4=7k+3であるから、mを非負の整数としてこの不定方程式を解くと、a=5m+3、c=7m+4. ‥‥(3)
以上から、a=7k+3=35m+24、b=3n+2=21m+14、c=3k+1=15m+10.
よって、N=3a+2=5b+4=7c+4 =105*m+74.
従って、題意の通りに成立する。
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