x を3 で割って2 余り、 5 で割って4 余り、 7 で割って4 余る数とする。このとき、 x を105 = 3・5・7 で割った余りを求めてみよう。今、
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7,
b1 = 2, b2 = 4, b3 = 4 である。
したがって、N = 105, N1 = 35, N2 = 21, N3 = 15 で、
これらからti を求めると、t1 = 2, t2 = 1, t3 = 1 である。
よって、
y = 2・35・2 + 4・21・1 + 4・15・1
= 140 + 84 + 60 = 284
したがって284 を105 で割って、 74 が余りである。

この問題についてN1~N3とt1~t3をどのように求めているのかがわかりません。よろしければ教えてください。

A 回答 (4件)

例によって書き込みミス。



(誤)(1)と(2)から、a=5n+4=7k+3であるから、mを非負の整数としてこの不定方程式を解くと、a=5m+3、c=7m+4. ‥‥(3)

(正)(1)と(2)から、a=5n+4=7k+3であるから、mを非負の整数としてこの不定方程式を解くと、k=5m+3、n=7m+4. ‥‥(3)
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この回答へのお礼

とても難しいですが、なんとか理解できたかと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/24 17:19

なかなか巧妙な方法だ。



xとyを題意を満たす一般的数とすると、x-yは3でも、5でも、7でも割り切れるから、x-y=105n つまり x=y+105n 。
この形から、xを105で割った時のあまりは、yを105で割った時のあまりに等しい。
そこで、特別にこのようなyを一つ見つければ、その数で余りを求めると良い。

y=3*5*a+3*7*b+5*7*c (a、b、cは0以上の整数)と置く。← これが、巧妙。

yを3で割る時の余りは、35=3*11+2であるから、2cを割る時のあまりに等しく、それで余りが2になるから、2c=2 つまり c=1.
3*7=5*4+1であるから、b=3とすると、yを5で割ると余りは4.
3*5=7*2+1であるから、a=4とすると、yを7で割ると余りは4.
従って、y=3*5*a+3*7*b+5*7*c=y=3*5*4+3*7*4+5*7*1=60+84+35=179=105+74.

考えられる方法は、他に2つほどあるが、その中で不定方程式を使う解を紹介する。

求める数をNとし、N=3a+2=5b+4=7c+4 、(a、b、cは0以上の整数)。
3a+2=5b+4より、nを非負の整数として不定方程式を解くと、a=5n+4、b=3n+2. ‥‥(1)
3a+2=7c+4 より、kを非負の整数として不定方程式を解くと、a=7k+3、c=3k+1. ‥‥(2)
(1)と(2)から、a=5n+4=7k+3であるから、mを非負の整数としてこの不定方程式を解くと、a=5m+3、c=7m+4. ‥‥(3)
以上から、a=7k+3=35m+24、b=3n+2=21m+14、c=3k+1=15m+10.
よって、N=3a+2=5b+4=7c+4 =105*m+74.
従って、題意の通りに成立する。
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 #1です。


 補足を拝見しました。

>tiのほうに関して、ti=Niをbiで割った余りだとすると
>t1 = 1, t2 = 1, t3 = 3
>にはなりませんか?

 ご指摘の通りです。
 誤記をしました。済みません。

 ti=Niをaiで割った余り です。
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この回答へのお礼

なるほど、その計算なら問題の通りになりますね。
やっと理解できました。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/24 17:16

 N1=a2 a3, N2=a3 a1, N3=a1 a2


 ti=Niをbiで割った余り

この回答への補足

回答ありがとうございます。
しかし、Niのほうに関しては納得できたのですが、
tiのほうに関して、ti=Niをbiで割った余りだとすると
t1 = 1, t2 = 1, t3 = 3
にはなりませんか?
理解できず申し訳ありません・・・。

補足日時:2009/05/24 12:28
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Aベストアンサー

huytarzan88です。13と19は素因数なので次のようにできると思います。
x≡8(mod13)より 19x≡19x8(mod13x19)-> 19x≡152(mod247)
x≡17(mod19)より 13x≡17x13(mod19x13)-> 13x≡221(mod247)
従って 19x-13x≡152-221(mod247) -> 6x≡-69(mod247) -> 12x≡-138(mod247)
従って 13x-12x≡221-(-138)(mod247) -> x≡359≡112(mod247)


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