3つの異なる材料の密度を測定するために、まず材料の質量を電子天秤(0.01[g]まで測定できるもの)で測定しました。結果、0.52[g]、2.32[g]、0.60[g]となりました。ここで、0.52は有効数字が2桁、2.32は3桁、0.60が有効数字が2桁となります。この場合、有効数字を揃える(2桁か3桁)必要があるのかないのかどちらになるのでしょうか。お手数ですが、よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

揃えてはいけません。

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この回答へのお礼

回答ありがとうござました。

お礼日時:2009/05/24 18:35

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Q有効数字

掛け算、割り算の混在する計算における最終的な答えの有効数字は、「最も小さい有効桁数にまとめる」ことがJISで定められています。
 例 5桁x3桁÷2桁x4桁→2桁にまとめる

しかし、この考え方は本当に正しいでしょうか?

例えば、有効数字0.90に対する0.01の影響は約1%です。
これに対して、有効数字0.20に対する0.01の影響は5%で、上記よりもはるかに影響が大です。

単に「”桁数”で見切って処理する」というやり方は、理論的に間違っているのではないでしょうか?

統計理論上の質問です。

Aベストアンサー

2桁×2桁の結果を2桁取るということは3桁取っても無意味であるという意味です。1桁目は確かです。結果の2桁目の数字は誤差を含んでいます。その数字の両側に±αと幅を持っています。α が4とか5になれば2桁目の数字はほとんど意味のないものになってしまいます。α が1とか2程度であれば2桁目の数字は曖昧さはあるが無意味ではないということになります。誤差の大きさ α は元の2桁の数字の組み合わせによって変化します。
これは難しい理屈を使ったものではありません。はじめ四捨五入で考えた曖昧さが結果にどう響いていくかを計算で示しただけのものです。

>(例えば)乗除算のルールで「2桁x2桁の乗除算では2桁をとる」という手法は、数値信頼性の観点からは一歩引いている(採用された数値の精度が2桁あることを保証するものではない)と考えてよろしいでしょうか?

上に書いたような意味ですのでいいと思います。ただこれしか選択の余地がないのです。2桁目が誤差を含んでいるからと言って1桁目だけにするのであれば荒っぽすぎます。

QMathematicaでのTr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1];

pauli2times[g1_,g2_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]];

g1={{0,1},{1,0}};
g2={{0,-I},{I,0}};
g3={{1,0},{0,-1}};
g0={{1,0},{0,1}};

gu[0]=pauli2times[g2,g3];
gu[1]=-pauli2times[g1,g3];
gu[2]=pauli2times[g0,g2];
gu[3]=-pauli2times[g0,g1];

e4=IdentityMatrix[4];

gd[0]=1*gu[0];
gd[1]=-1*gu[1];
gd[2]=-1*gu[2];
gd[3]=-1*gu[3];

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*-q1+gu[2]*-q2+gu[3]*-q3);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*-p1+gu[2]*-p2+gu[3]*-p3);
sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*-k1+gu[2]*-k2+gu[3]*-k3);
gmu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gnu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gmd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);
gnd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);

ms=m*e4;


(*式ー1*)
s=0;
y1=0;
For[x=0,x£3,x++,
s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]];
y1=y1+s;
Print[FullSimplify[y1]];
];

(*式ー2*)
y2=Tr[(sl[q]+ms).gmu.(sl[p]+sl[k]+ms).gnu(sl[p]+ms).gnd.(sl[p]+sl[k]+ms).gmd];
Print[FullSimplify[y1]];

(*式ー3*)
y3=Tr[(-2sl[q]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms).(-2sl[p]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms)];

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Fla...続きを読む

Aベストアンサー

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]]
としたのでは
γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d + γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(2)
のような計算をすることになります。また(*式ー2*)では
(γu0+γu1+γu2+γu3) (γu0+γu1+γu2+γu3) (γd0+γd1+γd2+γd3) (γd0+γd1+γd2+γd3) …(3)
のような計算になってしまいます。(1)と(2)(3)は等しくありません。これは単にプログラミングのミスでしょうか。(1)はローレンツ不変な形になっていますが、(2)(3)はローレンツ不変な形ではありません。ローレンツ不変でない式を書くようでは基本的な部分の理解が不十分なのではないでしょうか。これは数式処理とか場の量子論の問題ではありません。場の量子論の問題とはもっと重要で微妙な問題のことを指します。

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x]....続きを読む

Q有効数字の表現方法

科学の問題で、「次の数を指数(A*10^Bという形)を用いて指定された有効数字で示せ」という問題で、
60200、0.062734という数字をそれぞれ有効数字1桁、2桁、3桁、4桁であらわさなければいけないのですが、
僕が考えた結果、

60200
有効数字1桁→6*10^4
有効数字2桁→60*10^3
有効数字3桁→602*10^2
有効数字4桁→6020*10

0.062734
有効数字1桁→6*10^-2
有効数字2桁→62*10^-3
有効数字3桁→627*10^-4
有効数字4桁→6273*10^-5

と思うのですが、この答えが正しいのでしょうか。
もし正しくても、たとえば60200を有効数字1桁で表して、6*10^4にしてしまうと、200という数字が無くなってしまうのにも疑問があります。

どなたか教えてくれませんでしょうか。

Aベストアンサー

>「次の数を指数(A*10^Bという形)を用いて指定された有効数字で示せ」

という指定がある場合、BはAの最も大きい桁にして、それより小さい桁は小数点以下で書きます。
なので、0.062734は#1さんが書かれたものが正しいです。60200は同様に

有効数字1桁 6×10^4
有効数字2桁 6.0×10^4 (*)
有効数字3桁 6.02×10^4
有効数字4桁 6.020×10^4 (*)

(*)のところで、一見無用の様ですが最後の0を消さないのがポイントです。

QTr[(sl[q]+m)( sl[p]+sl[k]+m)(sl[p]+m)( sl[p]+sl[k]+m)]の計算について

コンプトン散乱の振幅を求める際、m=0のときは、
Tr[sl[q]( sl[p]+sl[k])sl[p]( sl[p]+sl[k])]で求まりますが、
mが0で無い時は、
Tr[(sl[q]+m)( sl[p]+sl[k]+m)(sl[p]+m)( sl[p]+sl[k]+m)]
だと思うのですが、下記は、それを計算したものです。計算は正しいでしょうか?


計算結果は、
MSN→「コミュニケーション」の「コミュニテイ」を選択(左の欄にあります)
→「物理とともに」を選択→「物理研究室群」を選択→「量子力学」を選択
→「Tr[(sl[q]+m)( sl[p]+sl[k]+m)(sl[p]+m)( sl[p]+sl[k]+m)]の計算について」を選択
で計算結果が表示します。

教えて!gooでは、質問をHPに記載できません。誠に勝手ですが、もしよろしければ上記のMSNのサイト(質問をHPに記載可能)を通してご回答頂きましたら幸いです。

Aベストアンサー

γμu γνu γμd = -2 γνu
γμu γμd = 4
より
 Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

p0^2=p1^2=p2^2=p3^2=0 という条件がどこから出てくるのかさっぱり分かりません。低エネルギーの極限での断面積を求めようとしているのか? 低エネルギーの極限でもp0は0ではなくmです。またm=0 とおくことは3次元運動量に比べて質量が小さいとすることなので運動量が大きい時の近似であることを確認しておきます。

Q有効数字とはなんですか?

中学生にもわかるように説明してくだされば幸いです。
色々調べたのですが、よくわからなくて、、
以下の認識で合ってますか?

認識:近似値や測定値を表す数字のうち,実用上有意義な桁数だけとった数字。
また、「有効桁数」とは、有効数字の桁数のこと。

例えば、1.2345という数字があったとしたら、実用上有意義な桁数が3なら、有効数字は1.23で、有効桁数は3桁。

また、0の処理については以下の通り。

0ではない数字に挟まれた0は有効である。例えば、

60.8 は有効数字3桁である。
39008 は有効数字5桁である。
0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。例えば、

0.093827 は有効数字5桁である。
0.0008 は有効数字1桁である。
0.012 は有効数字2桁である。
小数点より右にある0は有効である。例えば、

35.00 は有効数字4桁である。
8 000.000000 は有効数字10桁である。

Aベストアンサー

こんばんは、はじめまして。

有効数字、確かによくわからない考え方ですよね。
(私も習った当初はちんぷんかんぷんでした)

そもそも、
「有効数字とはどんな時に使う物なのか?」とか、
「有効数字は何のために考えるのか?」がわからないと、
ただ、「考えるのがとても厄介なよくわからない数字」になってしまうと思います。

という事で、有効数字の利用例を1つだけ。
分かりやすい所で、両端に丸い棒が立った、H型の鉄棒の幅を計る事にしてみましょう。

両端の丸い棒は、30cmものさし(mmの目盛りあり)で太さを調べてみると4.8cm
間の鉄棒の部分は、1cm単位の巻尺(mmの目盛りなし)で長さを調べて85cm
さて、鉄棒の端から端までの幅はいくつなのかを考えます。

両端の丸い棒は左右で2本あるので、計算式は
(4.8cm)×2 + 85cm = 9.6cm + 85cm = 94.6cm
になりますが、この"94.6cm"って、どこまで信用できる良い数字ですか?

両端の丸い棒は、mmの目盛りがある30cmものさしで調べたので、0.1cm単位で正しいです。
でも、間の鉄棒の部分は、1cm単位の巻尺(mmの目盛りなし)で調べているので、1cm単位までしか分かっていませんよね?
おそらく、84.5cm~85.4cmの間なら、"だいたい85cm"になってしまう。
この場合、鉄棒の幅は"94.6cm"と言い切ってしまって良い物でしょうか?

1cm単位で調べた物がある以上は、その合計の幅の94.6cmも1cm単位までしか正確ではない。
と言う事は、この94.6cmの有効数字は2桁。6を四捨五入して約95cmとすれば確実です。

確か、中学校(?)で出てきた有効数字とはイメージがだいぶ異なると思いますが、実用例が頭に入っていると理解の度合いも変わってくるのではないでしょうか?

こんばんは、はじめまして。

有効数字、確かによくわからない考え方ですよね。
(私も習った当初はちんぷんかんぷんでした)

そもそも、
「有効数字とはどんな時に使う物なのか?」とか、
「有効数字は何のために考えるのか?」がわからないと、
ただ、「考えるのがとても厄介なよくわからない数字」になってしまうと思います。

という事で、有効数字の利用例を1つだけ。
分かりやすい所で、両端に丸い棒が立った、H型の鉄棒の幅を計る事にしてみましょう。

両端の丸い棒は、30cmものさし(mmの目盛りあり)...続きを読む

Q[V], [C], [J] の関係

なぜ起電力1Vの電池から1Cの電荷を取り出した時のエネルギーが1Jなのですか?
そのような公式を探てもどうしても見つかりません。

Aベストアンサー

エネルギーJは力学的な量、電磁気学的な量、化学的な量等いろんな量を用いて記述することができ、これはエネルギー変換の可能性を表しているといえます。

電磁気の世界では最もポピュラーなエネルギーJの定義は

J=W・sec

でしょう。1ワットの電熱器を1秒間使えば1ジュール発熱するというわけです。

W=A・V(アンペア・ボルト)

もよく使います。電位差が1ボルトある回路を1アンペアの電流が流れるとき1ワットの電力を使います。

さて、1アンペアの定義となるといろいろありますが最も基本的なのは

1A=1C/sec

です。つまり1秒間に1クーロンの電荷が流れるとき1アンペアの電流があることを指します。


以上をまとめると


J=W・sec=A・V・sec=CV

Q有効数字の桁数について

有効数字の桁数がよく分かりません。

(1)2.10mm が有効数字三桁ならば、521mm も有効数字三桁なのでしょうか。

(2)5212121mm だったら、有効数字七桁なのでしょうか。

(3)5.21×10^3 や 5,21×10^-3 は有効数字三桁で良いのでしょうか。


有効数字の計算は桁数が分かれば、多分できると思うので、桁数の考え方について教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)~(3) ご理解の通りです

乗除算の場合、計算途中は、有効数字を1桁多く計算しておいて、最後に有効数字の桁数で丸めるのが一般的です

加減算の場合、少々面倒です
絶対値の大きい数値は0を補填して、絶対値の小さい数値と桁をあわせて計算し最後に有効数字の桁数に丸めます
たとえば有効数字3桁で 5.21x10^3と1.11x10^1を加算する場合
05210.00  上位の0は、この表記が読み易いように入れただけで意味はありません
+0001.11
--------
05211.11 ですが この時点で1.11が意味を持たないことはお判りと思います

有効数字の場合下位の0が意味を持ちますから充分ご留意ください
52100の場合やや不正確です
本来は 0.52100x10^5 ですが 場合によっては 0.521x10^5 も想定されます、このようなあいまいな表記を行わないように注意してください

Q[H]×[F]=[s^2]が意味するもの 

 
ε0μ0 = 1/C^2 関係式より、インダクタンスの単位ヘンリー[H]とキャパシタンスの単位ファラッド[F]の積が時間の2乗[s^2]になるのは何を意味するのでしょうか。
 

Aベストアンサー

すぐ思いつくのは,LC 回路の共振周波数が
ω = 1/√(LC)
ですが,これではイメージわかないですか?

Q有効数字について

有効数字について教えて下さい。

以下のとおりで良いでしょうか?

100.4 → 有効数字4桁
100.05 → 有効数字5桁

Aベストアンサー

良いですよ。
4桁で末尾が0の場合、100.0 や 1000. と表記します。

Q力学の数式[F]と[G]の求め方がわかりません。

球形の雨滴が,静止している霧のなかを鉛直に落下しながら,霧の付着
により成長する場合の雨滴の運動について考える。霧は雨滴の表面積に比
例して付着するとする。時刻t=0における雨滴の半径をr₀,落下速度を
V₀とするとき,以下の数式[A]~[G]を埋め,文章を完成させよ。ただし,dm,dr,dt,dv,dPは微小量であるとする。
解答には、途中計算も記すこと。

時刻tにおける雨滴の質量をm,半径をr,水の密度をρ(一定)とすると,
M=(4/3)πr^3ρより,dm=[A]dr -(1)
ここでは、簡単のため,単位時間に単位表面積当たり質量aの割合で霧が
付着し,雨滴が成長すると仮定する。このとき,雨滴の質量変化は,
dm=[B]dt -(2)
となる。(1),(2)よりdmを消去すると,
dr=[C]dt -(3)
なので,時刻tにおける雨滴の半径rは,
r=[D]-(4)
となる。
ここで,鉛直下方をx軸の正の向きにとり,雨滴の時刻tにおける速度を
vとする。重力加速度の大きさをgとし,空気抵抗は無視できるものとし,
雨滴に働く外力は重力のみであると仮定する。このときの雨滴の運動方程式を考える。時刻tにおける雨滴の運動量は、P=mvである。時刻t+dt
における運動量は,時刻t+dtにおける雨滴の速度をv+dv,質量を、m+dm
とすると,
P+dP=[E]-(5)
となる。時刻tと時刻t+dtの間における運動量変化は,その間に外から働
いた外力の力積に等しいので,
dP=mgdt -(6)
である。(5),(6)式より次の運動方程式が得られる。
d(mv)/dt=[F] -(7)
(3),(4),(7)式などを用いることにより,時刻tにおける速度vが求められる。
速度vをr₀,a,t,v₀,g,ρを用いて表すと,以下のようになる。
v=[G]

最後の数式[F]と[G]のところを教えてくださいませんか。

途中まではこんな感じなのでしょうか?
↓↓↓↓

[A]は,両辺を積分してM=(4/3)πr^3ρに元に戻らなければならないので
4πr^2ρ

[B]は,単位時間に単位表面積当たり質量aの割合で霧が
付着し,雨滴が成長すると仮定する。なので
4πr^2a

[C]は,2式を代入してa/ρ

[D]は,両辺積分して
r+C_1=at/ρ+C_2
r=at/ρ+C_2- C_1
初期条件より
C_2- C_1=r_0
よって
r=at/ρ+r_0

[E]は,mv+(dm)v+(dv)m+dmdv

[F]は,2式を代入して
P+mgdt=mv+(dm)v+(dv)m+dmdv
P+mgdt=P+d(mv)+dmdv
d(mv)/dt=mg-dmdv/dt

お願いいたします。

球形の雨滴が,静止している霧のなかを鉛直に落下しながら,霧の付着
により成長する場合の雨滴の運動について考える。霧は雨滴の表面積に比
例して付着するとする。時刻t=0における雨滴の半径をr₀,落下速度を
V₀とするとき,以下の数式[A]~[G]を埋め,文章を完成させよ。ただし,dm,dr,dt,dv,dPは微小量であるとする。
解答には、途中計算も記すこと。

時刻tにおける雨滴の質量をm,半径をr,水の密度をρ(一定)とすると,
M=(4/3)πr^3ρより,dm=[A]dr -(1)
ここでは、簡単のため,単位時間に単位表面積当...続きを読む

Aベストアンサー

[E]

P+dP = (m+dm)(v+dv) = mv + mdv + vdm + dmdv

ですが,最終項は2次の微小量として省けます。

[F]

なかなか悩ましいですね。

d(mv)/dt = mg
mdv/dt + vdm/dt = mg
(2) より,dm = 4πr^2a dt
また,m = 4πr^3ρ/3
∴dv/dt = g - 3av/(ρr)

(4)を考慮して積分することになりますが…orz


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